贝叶斯模型平均：把「哪个模型对」变成权重而非赌注 • halo 的技术博客

你手上有 5 个因子模型，各自预测下个月的横截面预期收益。回测一年：

M1 年化 IR 0.9，但最近三个月拉胯；
M3 年化 IR 0.7，却异常稳定；
其余三个各有高低。

于是你陷入经典纠结：到底信哪个？

传统做法——挑「历史最优」那个，把全部仓位押上去。这本质上是用一次抽签，赌上整个样本外的命运：万一只因为噪声 M1 暂时领先，你未来就一直被它带着走。

贝叶斯模型平均（Bayesian Model Averaging, BMA） 换了一种思路：不挑，而是问——「在已有数据下，每个模型可能对的概率是多少？」然后把预测做成加权平均，权重就是这些后验概率。于是「哪个模型对」从一道单选题，变成了一份分散的、可更新的投资组合。

本文用横截面预期收益预测的合成实验，从零实现 BMA，把它和「单模型最优」正面对比，所有图表与数字由文末代码真实生成。

一、BMA 的核心公式#

设你有 $M$ 个候选模型 $\mathcal{M}_1,\dots,\mathcal{M}_M$ ，要对目标 $y$ 做预测。BMA 的预测分布是：

$p(y_{\text{new}} \mid D) = \sum_{k=1}^{M} p(y_{\text{new}} \mid D, \mathcal{M}_k)\; \underbrace{p(\mathcal{M}_k \mid D)}_{\text{后验模型权重 } w_k}$

其中点预测（取期望）就是加权平均：

$\hat y_{\text{BMA}} = \sum_{k=1}^{M} w_k\, f_k(x_{\text{new}})$

后验权重由贝叶斯定理给出：

$w_k = p(\mathcal{M}_k \mid D) = \frac{p(D \mid \mathcal{M}_k)\,p(\mathcal{M}_k)}{\sum_{j} p(D \mid \mathcal{M}_j)\,p(\mathcal{M}_j)}$

$p(\mathcal{M}_k)$ ：模型先验（通常设均匀 $1/M$ ）；
$p(D \mid \mathcal{M}_k)$ ：边际似然（marginal likelihood），也叫证据（evidence），对「模型复杂度」自动惩罚——这正是 BMA 抗过拟合的来源。

二、用 BIC 近似边际似然（实战够用）#

精确算边际似然要在参数上积分，很贵。实战里用 BIC 近似：

$\log p(D \mid \mathcal{M}_k) \approx -\tfrac{1}{2}\,\text{BIC}_k, \qquad \text{BIC}_k = n\log(\hat\sigma_k^2) + p_k \log n$

其中 $n$ 是样本量， $\hat\sigma_k^2$ 是模型 $k$ 的残差方差， $p_k$ 是参数个数。BIC 越小越好（对数似然惩罚复杂度）。

把它指数化、归一化就得到权重：

$w_k = \frac{\exp(-\tfrac{1}{2}\text{BIC}_k)}{\sum_j \exp(-\tfrac{1}{2}\text{BIC}_j)}$

关键直觉：好模型 = 拟合好（残差小）+ 不复杂（参数少）。BIC 把这两件事压进一个可比较的数。

三、合成实验：5 个模型，各自「懂多少」不同#

我们造一个横截面场景：真实预期收益 $\mu_i\sim N(0,1)$ ，共 12 个资产。5 个候选模型各自对 $\mu$ 做不同程度的信息提取：

每个模型得到一个「带噪声的 $\mu$ 估计」 $g_k = (1-a_k)\mu + \sqrt{1-(1-a_k)^2}\,\varepsilon$ ；
$a_k$ 是收缩强度， $a_k$ 越小表示模型越贴近真值（信息越强）。本文取 $a = [0.05, 0.20, 0.40, 0.60, 0.85]$ ，即 M1 最强、M5 最弱。

逐资产后验模型权重 (BMA)：不同资产「信哪个模型」并不一致

热力图是关键洞察：权重是逐资产分配的。某个资产上 M1 拿到 0.8，另一个资产上 M3 反超——因为不同资产的信息结构不同，没有一个模型在所有资产上「通吃」。这正是「赌一个模型」会漏掉的东西。

四、预测对比：BMA 离真值更近#

我们在测试期比较三种预测：真实 $\mu$ 、「历史最优单模型」、BMA 加权平均。

预测对比：BMA 不会盲信某一模型，离真值更近

单模型最优（红）在个别资产上押错方向，BMA（蓝）因为混合了多个模型，预测更「居中、稳健」，整体上离灰色真值更近。在本例测试期：

最优单模型 MSPE = 1.651
BMA MSPE = 1.559（相对提升约 5.6%）

5.6% 看着不大，但注意这是平均意义——BMA 的价值不在单次碾压，而在「不赌错」。

五、蒙特卡洛胜率：BMA 不是偶尔好#

一次实验有运气成分。跑 200 次独立重复，每次重新生成 $\mu$ 与噪声，比较 BMA 与「该次最优单模型」的 MSPE：

200 次蒙特卡洛：BMA 在 93% 情形下不劣于单模型最优

比值 = MSPE(最优单模型) / MSPE(BMA)，大于 1 表示 BMA 更优或打平。结果：在 93% 的重复里，BMA 不劣于当次最优单模型。也就是说，你不用事先知道「这次该信谁」，BMA 自动把赌注摊到了大概率正确的模型上。

六、完整 Python 实现#

下面代码自包含（不依赖 statsmodels），可直接复现本文全部图表与数字。

import numpy as np

# ---------- 1) 候选模型构造 ----------
def build_models(mu, a, seed):
    """a: 各模型收缩强度(0=贴真值,1=丢真值); 返回 (M, N) 估计矩阵"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    M, N = len(a), len(mu)
    G = np.zeros((M, N))
    for k in range(M):
        inform = 1.0 - a[k]
        G[k] = inform * mu + np.sqrt(1 - inform ** 2) * rng.normal(0, 1, size=N)
    return G

# ---------- 2) 逐资产 BIC 后验权重 ----------
def bma_weights_per_asset(F, Ytr):
    """F:(M,N) 模型估计; Ytr:(T,N) 训练观测; 返回 W:(N,M) 逐资产权重"""
    T, N = Ytr.shape
    W = np.zeros((N, len(F)))
    for i in range(N):
        w = []
        for k in range(len(F)):
            resid = Ytr[:, i] - F[k, i]
            ssr = np.sum(resid ** 2)
            sigma2 = max(ssr / T, 1e-12)
            bic = T * np.log(sigma2) + np.log(T)   # 1 参数
            w.append(-0.5 * bic)                    # ∝ log 边际似然
        w = np.array(w); w -= w.max()
        p = np.exp(w); W[i] = p / p.sum()
    return W

# ---------- 3) 一次完整 run: 返回权重与预测 ----------
def run_once(seed, N=12, T=120, Tt=40, a=np.array([0.05, 0.20, 0.40, 0.60, 0.85])):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    mu = rng.normal(0, 1, size=N)
    F = build_models(mu, a, seed + 1)
    Ytr = mu[None, :] + rng.normal(0, 1.2, size=(T, N))
    Yte = mu[None, :] + rng.normal(0, 1.2, size=(Tt, N))
    W = bma_weights_per_asset(F, Ytr)
    pred_bma = np.einsum("ik,ki->i", W, F)         # 逐资产 Σ_k W[i,k]·F[k,i]
    # 单模型最优: 用测试期 MSPE 反选(实战里用验证集, 此处为演示)
    mspe_k = [np.mean((Yte - F[k][None, :]) ** 2) for k in range(len(F))]
    pred_single = F[np.argmin(mspe_k)]
    mspe_bma = np.mean((Yte - pred_bma) ** 2)
    mspe_single = np.mean((Yte - pred_single) ** 2)
    return W, F, mu, pred_bma, pred_single, mspe_single, mspe_bma

# ---------- 4) 跑一次看权重与 MSPE ----------
W, F, mu, pb, ps, ms, mb = run_once(20260719)
print("全局后验权重:", np.round(W.mean(axis=0), 3))
print(f"MSPE  单模型最优={ms:.3f}  BMA={mb:.3f}  提升={1-mb/ms:.1%}")

# ---------- 5) 蒙特卡洛胜率 ----------
R = 200
ratios = [run_once(1000 + r)[5] / run_once(1000 + r)[6] for r in range(R)]
winrate = np.mean(np.array(ratios) >= 1.0)
print(f"BMA 在 {winrate:.0%} 情形下不劣于单模型最优")

python

跑出来：全局权重约 [0.55, 0.13, 0.15, 0.10, 0.08]（最强模型拿大头但非全部），BMA MSPE 相对提升 ~5.6%，200 次蒙特卡洛胜率 93%。

七、三个必须知道的坑#

BIC 近似只在「大样本 + 参数少」时靠谱。它假设后验高斯、忽略先验——小样本 $n$ 小的时候，BIC 的边际似然近似会偏，权重可能过度集中。真要严格，应算精确边际似然（含先验积分）或用 WAIC/LOO-CV 替代理据。
权重会「赢者通吃」。如果某个模型明显碾压其他，BMA 权重会塌成一个尖峰，退化成「单模型」——这本身不是 bug，而是数据告诉你「确实就它最对」；但要警惕这是否来自过拟合：一个过拟合模型在训练集上残差极小、BIC 极低，会把权重吸走，却在样本外崩。配合 Purged K-Fold 交叉验证的 BIC 更稳。
对先验敏感。先验 $p(\mathcal{M}_k)$ 不取均匀、或模型集合本身偏斜（比如 9 个弱模型 + 1 个强模型），权重分布会整体偏移。BMA 的结论质量上限取决于你的模型集合是否包含了「真模型附近」的候选——垃圾模型集合进 BMA，出来的还是垃圾的平均。

八、小结#

BMA 的精髓就一句：把「哪个模型对」从一道赌题，变成一个加权平均的组合题。它不要求你事先知道谁赢，而是用数据给每个模型分配概率，预测时自然倾斜到「大概率对」的那一边，同时保留对不确定性的对冲。在本文实验里，它用 93% 的胜率证明：与其一次押注历史最优，不如把赌注摊开——这跟分散投资是同一个智慧，只不过发生在「模型」这一层。

所有图表均由本文代码在合成数据上真实生成，数字可复现；换成你的真实多因子预测，只需替换 build_models 里的候选模型与训练/测试数据即可。