Johnson SU 分布拟合收益：用四参数分布同时抓住偏度与厚尾 • halo 的技术博客

问题：正态分布对收益撒了两个谎#

打开任何一门金融工程课，收益率建模的起点几乎都是正态分布——数学漂亮、参数只有两个、什么都能算。但只要你把真实股票收益的直方图叠上一条正态曲线，两个谎言立刻现形：

收益不对称。 股票暴跌起来又快又狠，涨起来却慢慢磨。这意味着收益分布有一条向左伸出的长尾——负偏（negative skew）。正态分布是完美对称的，它假装暴跌和暴涨一样罕见。
收益是肥尾的。 「六个标准差的事件百年一遇」——正态分布这么说，可现实里每隔几年就来一次。真实收益中间比正态更尖、两端比正态更胖，这叫超额峰度（excess kurtosis）。

这两个谎的代价不是学术上的不优雅，而是真金白银：你用正态分布算出来的 VaR（在险价值）会系统性低估左尾风险。你以为 1% 概率最多亏 3.8%，结果真实的 1% 分位在 -5% 开外——风控模型天天被击穿，却总以为是「小概率巧合」。

正态分布只有均值和方差两个自由度，它结构上没有能力表达偏度和峰度。要如实描述收益，你需要一个能独立调节这四样东西的分布。Johnson SU 就是干这个的。

Johnson SU：一次 arcsinh 变换造出四个自由度#

Johnson 在 1949 年提出一族分布，核心思路朴素得惊人：如果一个变量不服从正态，那就找一个变换 g(·)，让变换后的它服从正态。

Johnson SU（“SU” = System Unbounded，无界系统）用的变换是反双曲正弦 arcsinh：

z = \gamma + \delta \cdot \sinh^{-1}\left(\frac{x - \xi}{\lambda}\right), \quad z \sim N(0, 1)

四个参数各司其职：

ξ（xi，位置）：把分布整体左右平移，管中心在哪。
λ（lambda，尺度）：管分布有多宽，类似标准差的角色。
γ（gamma，形状1）：管偏度。γ 让 z=0 对应的 x 偏离中心，制造不对称。
δ（delta，形状2）：管尾部厚度。δ 越小，arcsinh 的压缩越强，尾巴越肥。

关键在 sinh⁻¹。双曲正弦 sinh 在原点附近近似线性，但在两端指数级增长——反过来，arcsinh 把大的极端值压缩回正态的钟形里。换句话说：一个在 Johnson SU 下「6 个尺度单位」的极端亏损，经过 arcsinh 压缩后，在正态世界里可能只是「2.5 个标准差」，因此它的发生概率被大幅提高。这正是肥尾的数学来源。

而 γ 打破对称：它让压缩不再关于中心对称，一边的尾巴被拉得比另一边长——这就是偏度。

用 scipy 里的参数化（a=γ, b=δ），我们可以直观看到两个形状参数各自控制什么：

参数 a（γ）控制偏度、参数 b（δ）控制尾部厚度，位置和尺度不受影响

左图固定 b=1.5，只动 a：a>0 时分布向左偏（长左尾，对应股票的崩盘尾），a<0 向右偏，a=0 对称。右图固定 a=0，只动 b：b 越小尾巴越肥、峰越尖。两个形状参数正交可调——这是正态分布永远给不了的表达力。

实测：拟合一段有偏肥尾的收益#

光说不练没意义。我们造一段有真实统计特征的收益序列：2000 个观测，真实偏度约 -1.1（明显负偏）、真实超额峰度约 2.4（明显肥尾）——这大致对应一只波动偏大的个股或一个杠杆策略的日收益。

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)

# 用一个已知的 Johnson SU 作为"真实"数据生成过程
# a>0 -> 负偏(长左尾)，模拟股票的崩盘尾特征
true_a, true_b, true_loc, true_scale = 0.9, 1.4, 0.0008, 0.011
r = stats.johnsonsu.rvs(true_a, true_b, loc=true_loc,
                        scale=true_scale, size=2000)

print(f"样本偏度   = {stats.skew(r):.3f}")        # ≈ -1.11
print(f"样本超额峰度 = {stats.kurtosis(r):.3f}")   # ≈ 2.36

python

现在分别用正态和 Johnson SU 去拟合，看谁更贴：

# 正态拟合：只有两个参数
mu, sigma = np.mean(r), np.std(r, ddof=1)

# Johnson SU 拟合：MLE 一次求出四个参数
a_hat, b_hat, loc_hat, scale_hat = stats.johnsonsu.fit(r)

print(f"正态:       μ={mu:.4f}, σ={sigma:.4f}")
print(f"Johnson SU: a={a_hat:.3f}, b={b_hat:.3f}, "
      f"loc={loc_hat:.5f}, scale={scale_hat:.5f}")
# 拟合结果: a≈1.00, b≈1.51 —— 成功识别出负偏和肥尾特征

python

scipy 的 .fit() 内部跑的是极大似然估计（MLE）。把两条拟合曲线叠到经验直方图上：

正态拟合无法表达不对称，把左尾风险压平；Johnson SU 贴合真实的偏肥尾形状

蓝色虚线（正态）是对称的钟形，它既够不着左边的长尾、又高估了右尾的概率，中间的峰也不够尖。红色实线（Johnson SU）几乎描摹出直方图的每一处扭曲——左尾拖长、峰更尖锐。

QQ 图：诊断拟合好坏的照妖镜#

直方图看个大概，QQ 图（分位数-分位数图）才是判断分布拟合优劣的标准工具。它的逻辑很简单：把数据的分位数和理论分布的分位数一一配对，如果拟合完美，所有点应该落在一条 45° 直线上。点偏离直线的地方，就是模型撒谎的地方。

import matplotlib.pyplot as plt

# 正态 QQ：直接对比
stats.probplot(r, dist="norm", sparams=(mu, sigma), plot=plt)

# Johnson SU QQ：先用拟合的 CDF 做概率积分变换，再看是否标准正态
u = stats.johnsonsu.cdf(r, a_hat, b_hat, loc=loc_hat, scale=scale_hat)
u = np.clip(u, 1e-6, 1 - 1e-6)
z = stats.norm.ppf(u)   # 若拟合好，z 应服从标准正态
stats.probplot(z, dist="norm", plot=plt)

python

正态 QQ 图两端明显翘起，说明尾部被系统性错估；Johnson SU QQ 图点贴直线

左图（正态）是教科书级的「肥尾+负偏」病征：两端都翘离直线，左下角的点远远掉到直线下方——这说明真实的极端亏损比正态预测的更极端、更频繁。右图（Johnson SU）经过反变换后，点密密麻麻贴在直线上，只在最边缘有微小偏离。这就是四参数 vs 两参数的差距在尾部的直接体现。

落地：Johnson SU 算出的 VaR 才不会天天被击穿#

分布拟合的终极目的是度量风险。VaR 就是分布的一个左尾分位数：「95% 的日子里，亏损不超过多少？」——这直接是分布 ppf（分位数函数）在 5% 处的取值。

Johnson SU 的一大优势是它的 CDF 和分位数函数解析可算（因为 arcsinh 有闭式反函数），算 VaR 不需要蒙特卡洛，一行搞定：

levels = [0.10, 0.05, 0.01, 0.005]  # VaR 置信水平

for lv in levels:
    emp  = np.percentile(r, lv * 100)                              # 经验真值
    norm = stats.norm.ppf(lv, mu, sigma)                          # 正态 VaR
    jsu  = stats.johnsonsu.ppf(lv, a_hat, b_hat,
                               loc=loc_hat, scale=scale_hat)      # Johnson SU VaR
    print(f"{lv*100:>4.1f}% | 经验 {emp*100:6.2f}% | "
          f"正态 {norm*100:6.2f}% | JSU {jsu*100:6.2f}%")

python

实测结果（单位：日收益 %）：

分位	经验真值	正态 VaR	Johnson SU VaR
10.0%	-2.50	-2.49	-2.44
5.0%	-3.33	-2.95	-3.22
1.0%	-5.09	-3.80	-5.24
0.5%	-5.50	-4.11	-6.24

看 1% 这一行——这才是风控真正在意的深尾：经验真值是亏 5.09%，正态却告诉你只会亏 3.80%，低估了 1.3 个百分点。 对一个上了杠杆或做期权的账户，这 1.3% 的低估足以在一次真实的尾部事件里把你打穿。Johnson SU 报的是 5.24%，几乎贴住真值，甚至在 0.5% 的极深尾略微保守（-6.24% vs -5.50%）——保守在风控里恰恰是安全边际。

左尾 VaR 对比：分位越深，正态低估越严重；Johnson SU 在深尾贴合甚至略保守

注意一个细节：在 10% 这种「浅尾」，三者几乎没差别——正态的谎言只在尾部才致命。 平时看着没事，真出事的那一天你才发现风控模型早就失效了。这正是肥尾风险最阴险的地方。

什么时候用它，什么时候别用#

Johnson SU 不是银弹，用错地方一样翻车。三条边界必须记住：

第一，它是风险度量工具，不是收益预测工具。 用它拟合历史收益的形状、算 VaR/CVaR、做压力测试——很好。但别指望用它预测明天涨跌：分布描述的是「收益的散布规律」，不是「下一个收益的方向」。把它当水晶球，是把统计描述误当成因果预测。

第二，高阶矩的估计本身噪声极大。 偏度是三阶矩、峰度是四阶矩，它们对极端值极其敏感——样本里多一个崩盘日，峰度估计能翻倍。 这意味着 δ 和 γ 的拟合值在小样本下很不稳。经验法则：拟合 Johnson SU 至少要几百个观测，最好上千；样本太短时，四参数的自由度反而会去拟合噪声（过拟合）。

第三，MLE 偶尔不收敛或落到局部解。 scipy 的 .fit() 对初值敏感，遇到极端数据可能给出离谱参数。实践中要做两件事：(1) 拟合后务必画 QQ 图目检，别信手就用；(2) 和更稳健的历史模拟法（直接取经验分位数）交叉验证，两者在深尾差太多时，以更保守的一方为准。

A. 实现细节： 数据生成用已知参数的 johnsonsu.rvs 造 2000 个观测（真实偏度 -1.1、超额峰度 2.4），保证「真值」可对照。拟合用 scipy.stats 的 MLE（正态用矩估计 mean/std(ddof=1)，Johnson SU 用 .fit()）。VaR 直接取拟合分布的 .ppf() 解析分位数，经验真值用 np.percentile。QQ 图对 Johnson SU 采用「概率积分变换 → 标准正态」的方式验证拟合优度。

B. 已知偏差： (1) 数据是从 Johnson SU 生成的，天然对 Johnson SU 有利，真实市场收益未必严格服从任何参数分布——实证中 Johnson SU 也只是「更好的近似」而非真相；(2) 高阶矩估计的抽样误差大，2000 样本下 δ/γ 仍有可观方差，单次拟合的 VaR 数字应带置信区间看；(3) 静态拟合假设分布不随时间变化，但真实波动率和尾部厚度在危机中会剧烈漂移，滚动重估或配合 GARCH 才更现实。

C. 结果解读： 核心结论是正态分布的错只在尾部致命——10% 分位三种方法几乎无差别，但到 1% 分位正态低估 1.3 个百分点、0.5% 分位低估 1.4 个百分点，而这正是爆仓发生的区域。Johnson SU 的价值不在于「更精确」，而在于它结构上能表达负偏和肥尾，从而不会系统性地低估崩盘风险。QQ 图上正态两端翘起、Johnson SU 贴线，是这种表达力差距最直观的证据。适用边界很清楚：把它当风控的分位数计算器（VaR/CVaR/压力测试），别当收益方向的预测器；样本要够长、拟合完要目检、深尾处宁可信更保守的估计。