Kelly 公式与资金管理：用分数凯利把收益与破产风险一起优化 • halo 的技术博客

大多数人学 Kelly 公式，学到的是「一个能让你赚最快的仓位公式」。错。Kelly 真正回答的问题不是买不买，而是这笔该下多大注。它是在「长期复合增长最快」和「别把自己玩破产」之间，用一条数学曲线替你找的那个最优平衡点。

举个最刺痛的例子：你有个胜率 55% 的硬币赌局，每次赢了拿 1 倍利润、输了亏掉本金。直觉告诉你「有点优势，多押点」——但你敢押多少？押 10%、50%、还是 all-in？押太少，复利几十年也跑不赢通胀；押太多，一次连输五把就出局，优势再大也与你无关。Kelly 给的精确答案是：押 10%。多一分长期变慢，少一分白白浪费优势——而这条曲线，正是下面要推导的东西。

结论先放这：离散下注 $f^*=(bp-q)/b$ ，连续（正态）策略 $f^*=\mu/\sigma^2$ 。 在我们的设定（年化收益 10%、波动 20%）下，连续 Kelly 算出满仓比例高达 250%（即该上 2.5 倍杠杆）；而蒙特卡洛 4000 条 10 年路径显示：全 Kelly 终值中位数最高（3.47x），但曾有 42% 的路径腰斩；满仓（f=1）腰斩率仅 3.6% 却终值垫底；半 Kelly 用 2.55x 终值把腰斩率压到 9.2%——这就是 Kelly 体系里最反直觉也最值钱的权衡。

一、离散 Kelly：一个硬币赌局的推导#

假设你有一个正期望的赌局：每次胜率 $p$ ，输了赔光下注额、赢了拿 $b$ 倍利润（对称赔率 $b=1$ ）。下注比例为 $f$ （满仓 $f=1$ ），那么赌 $N$ 次后的财富是各期乘积：

$W = (1+bf)^{Np}(1-f)^{Nq}$

取对数、除以 $N$ ，得到期望对数增长率：

$G(f) = p\ln(1+bf) + q\ln(1-f)$

对 $f$ 求导令为零，立刻得到 Kelly 分数：

$f^* = \frac{bp-q}{b}$

代入 $p=0.55,\ b=1$ ：

p, q, b = 0.55, 0.45, 1.0
f_star = (b * p - q) / b
print(f"f* = {f_star:.4f}")          # 0.1000 → 每次下 10% 仓位

import numpy as np
fs = np.linspace(0.001, 0.99, 400)
G  = p * np.log(1 + b * fs) + q * np.log(1 - b * fs)
print(f"G 在 f* 处达峰: {G.max():.4f}")   # 峰值 = 最优长期增速

python

注意一个反直觉的点：如果赔率变成 $b=2$ （赢拿 2 倍、输亏 1 倍），同样 55% 胜率下 $f^*=(2\times0.55-0.45)/2=0.325$ ，仓位直接翻三倍多——Kelly 对赔率极度敏感，这也是它危险的根源之一：你稍微估错 $b$ 或 $p$ ，最优仓位就会大幅漂移。另外要强调，这里的「长期」指的是下注次数趋近无穷的数学极限，而不是你我的三五年——这恰恰是 Kelly 最容易被误读的地方：它保证的是渐近最优，不保证「前十年」你就笑到最后，期间一次极端回撤就可能让你提前出局。

关键点： $G(f)$ 在 $f^*$ 处是唯一峰值；一旦越线（overbet， $f>f^*$ ），曲线掉头向下，越过 $f=1/b$ 后 $G(f)<0$ ——长期必亏。这不是「激进一点多赚」，而是「过了凯利点就开始慢性自杀」。

期望对数增长率在 f* 处达峰，越线即转负

二、连续 Kelly：从赌局到资产组合#

把「胜/负」换成「资产日收益服从 $N(\mu_d,\sigma_d^2)$ 」，把「下注比例」换成「仓位 $f$ 」（满仓 $f=1$ ）。每期财富乘子 $1+f\cdot r_t$ ，对收益做二阶泰勒展开，期望对数增长近似为：

$G(f) \approx f\mu - \frac{1}{2}f^2\sigma^2$

令导数为零：

$f^* = \frac{\mu}{\sigma^2}$

mu, sigma = 0.10, 0.20
f_cont = mu / sigma**2
print(f"f* = {f_cont:.3f}")     # 2.5 → 该上 2.5 倍杠杆！

python

注意这个 250% 的数字：它暴露了 Kelly 的第一个致命特性——只要你的策略夏普够高、波动够低，理论最优仓位会远超 100%。如果这个数字让你觉得离谱，恰恰说明 Kelly 的「数学最优」和「现实可行」之间隔着一整条杠杆约束：回测里它年化翻几倍，但真去开 2.5 倍杠杆，遇到 2008 或 2020 那种单月 −20% 的行情，保证金早被强平了。复利的前提永远是「你还坐在牌桌上」——这是后面陷阱部分的伏笔。

注意这个 250% 的数字：它暴露了 Kelly 的第一个致命特性——只要你的策略夏普够高、波动够低，理论最优仓位会远超 100%。但现实中杠杆有成本、有强平线、有流动性，全 Kelly 的「数学最优」往往落在你根本借不到、或借了会被 margin call 爆掉的地方。

三、蒙特卡洛：增长、腰斩与路径#

我们用 4000 条 10 年（2520 日）的路径，对比四类资金曲线：满仓 $f=1$ 、全 Kelly、半 Kelly、固定 0.25。重点看两件事——终值中位数代表「长期赚多少」，曾腰斩占比代表「中途被清零或强平的风险有多大」：

rng = np.random.default_rng(4026)
T = 252 * 10
shocks = rng.normal(mu/T, sigma/np.sqrt(T), size=(4000, T))   # 日收益
def wealth(f):
    return np.cumprod(1 + f * shocks, axis=1)
fracs = {"满仓 f=1.0":1.0, "全 Kelly":2.5, "半 Kelly":1.25, "固定 0.25":0.25}
paths = {n: wealth(f) for n, f in fracs.items()}
ruin  = {n: (paths[n].min(1) < 0.5).mean() for n in fracs}      # 曾腰斩占比
final = {n: np.median(paths[n][:, -1]) for n in fracs}

python

结果（10 年中位数）：

策略	终值中位数	曾腰斩路径占比
满仓 f=1.0	2.22x	3.6%
全 Kelly (2.5x)	3.47x	42.1%
半 Kelly (1.25x)	2.55x	9.2%
固定 0.25	1.27x	0.0%

不同仓位下终值与腰斩概率：满仓终值垫底，全 Kelly 腰斩率爆表

抽样财富路径：满仓最陡但频繁暴跌，半 Kelly 更平滑

读这张表要读懂三件事：

全 Kelly 终值最高——数学没骗你，长期复合它确实最优；
但它有 42% 的概率中途腰斩（财富跌到一半以下），对实盘而言这往往意味着「在黎明前被强平出局」；
半 Kelly 把仓位砍半，终值只从 3.47x 降到 2.55x（损失约 27% 长期收益），腰斩率却从 42% 砍到 9%——用一小块期望，换回一大块睡眠。

四、分数 Kelly：实务里的标准答案#

正因为全 Kelly「收益最高但心惊肉跳」，业界几乎从不用满额 Kelly，而是用 分数 Kelly（fractional Kelly）：

$f_{used} = \alpha \cdot f^*,\quad \alpha\in(0,1]$

$\alpha=0.5$ （半 Kelly）：增长约为全 Kelly 的 75%，波动与回撤大幅减半；
$\alpha$ 越小越保守，直到退化为「固定比例定投」；
一个经验法则：当你对自己的 $\mu,\sigma$ 估计越没把握， $\alpha$ 取越小。

alpha = 0.5
f_used = alpha * f_cont      # 实战下单仓位，而非理论 f*

python

经验上，全 Kelly 的回撤中位数常年在 50% 量级，半 Kelly 能压到 25% 左右，四分之一 Kelly 通常不超过 15%。代价是长期收益按比例递减，但对你「能不能把策略执行下去、会不会在低谷砍仓」的边际改善，往往是指数级的。换句话说：分数 Kelly 买的是「活下去的概率」，卖的是「一点点理论最优增速」——对绝大多数非无限现金流的账户，这简直是最划算的一笔交易。

五、真实陷阱（致命版）#

1. 你根本不知道真 $\mu$ 和 $\sigma$ ：Kelly 对输入极度敏感。 $f^*=\mu/\sigma^2$ ，若你高估了 $\mu$ 或低估了 $\sigma$ （回测里太常见），算出的 $f^*$ 会越过真实最优点、滑向 overbet 区——误差直接把你从「增长最快」推到「长期必亏」。这是 Kelly 最阴险的坑：估计错一点，方向就反了。

2. 满额 Kelly 的回撤能到 50%+：上面 42% 腰斩率已经说清。对带杠杆的资金，腰斩 = 强平 = 游戏结束，复利再美也与你无关。

3. 杠杆与做空约束：连续 Kelly 动辄算出自变量 >100% 的仓位，但券商不给、成本吃光、极端日会爆。真实可下仓位是 min(Kelly 理论值, 可借上限, 心理承受上限)。

4. 独立同分布假设：Kelly 默认各期「独立」。可真实市场有波动聚集、有相关性突变，连续亏损会成串出现——此时 Kelly 的「长期」比你活到的「长期」长得多。

5. 多资产时 f 是向量不是标量*：单资产 $f^*=\mu/\sigma^2$ 成立，多资产要用 Kelly 克里格（Kelly Criterion for portfolios），最优权重正比于 $\Sigma^{-1}\mu$ 。直接对每个资产套单变量公式会严重低估组合层面的风险抵消。一个最小实现：

import numpy as np
mu = np.array([0.12, 0.08, 0.05])          # 三资产年化期望
Sigma = np.array([[0.04, 0.01, 0.00],       # 协方差矩阵
                   [0.01, 0.03, 0.01],
                   [0.00, 0.01, 0.02]])
w_kelly = np.linalg.solve(Sigma, mu)          # w* ∝ Σ⁻¹μ（未归一化）
w_kelly = w_kelly / w_kelly.sum()            # 归一成组合权重
print("多资产 Kelly 权重:", np.round(w_kelly, 3))

python

这里 $\Sigma^{-1}\mu$ 会自动低配高波动、高相关的资产，高配低波动、与其他资产负相关的资产——本质就是「最大化分散化 + 押注预期收益」的合成。但它同样逃不开陷阱 1：只要 $\mu$ 或 $\Sigma$ 估计有偏，算出来的权重可能极端到不可执行。

结语#

Kelly 公式不是「满仓冲锋的许可证」，恰恰相反——它是反直觉的谨慎工具：它用数学告诉你「别因为有点优势就 all-in」。真正成熟的用法是：用 Kelly 算出理论上限，再用分数 Kelly 和你的置信度，把它砍到一个你既睡得着、又不会被误差推过悬崖的仓位。把「估计误差」和「杠杆约束」两道坑记在心里，Kelly 才是你资金曲线上最便宜的那道护栏。

本文数据与图表由 generate_kelly_criterion_images.py 用 numpy/scipy 从零计算（离散 G(f) 解析 + 连续策略蒙特卡洛），非占位图。把 mu、sigma、p、b 换成你自己的策略统计，整套代码可直接复用。