Dupire 局部波动率：用整张期权价格曲面反推出波动率曲面

Black-Scholes（1973）给了期权一个干净闭式，但它有一个让实战者头疼的假设：波动率是常数 σ。于是同一标的、不同行权价 K 的期权，用 BS 倒推出来的隐含波动率（IV）应该是一条平的水平线。可真实市场里这条线弯弯的——平值附近 IV 低、两端虚值 IV 高，叫「波动率微笑」；再叠上偏度（左尾更肥）就成了「斜笑（smirk）」。

怎么把这种”随行权价、随到期都变”的波动率装进模型？Dupire（1994） 给出了最优雅的答案：把波动率写成一个依赖于标的现价 S 和到期 T 的局部函数 σ_loc(S,T)，再由整张期权价格曲面 C(K,T) 反推出它。它不假设分布、不挑模型，只用”无套利 + 价格曲面已知”这一最小前提。

一、从 BS 到局部波动率：多了一个状态变量#

BS 里波动率是常数，所以它是单因子、无状态的。Dupire 把波动率升级成 σ_loc(S,t)：同一个标的，今天价格在 S=100 时对应的”局部波动”，和 S=120 时对应的，可以完全不同——这恰好就是微笑的来源。

数学上，在 Q 测度（风险中性） 下，看涨期权价格 C(K,T) 满足一个正向抛物型 PDE（对到期 T 向前演化，注意不是对时间 t 倒推）：

∂C/∂T = ½·σ_loc²(K,T)·K²·∂²C/∂K²  +  r·K·∂C/∂K  −  r·C

关键观察：σ_loc 只出现在二阶导 ∂²C/∂K² 的系数上。这说明一个深刻的事实——局部波动率完全由”期权价格对行权价的二阶曲率”决定。这正是 Breeden-Litzenberger（1978）定理的另一种写法：二阶导就是风险中性密度。

二、Dupire 反演公式：把波动率从曲面里解出来#

把上面的 PDE 反过来解 σ_loc，就是 Dupire 的成名公式：

σ_loc²(K,T) = 2 · (∂C/∂T + r·K·∂C/∂K − r·C) / (K² · ∂²C/∂K²)

只要你有整张 C(K,T) 曲面（每个行权价、每个到期都有报价），就能反推出每个 (K,T) 格子上的局部波动率。这就是”局部波动率”名字的由来——它把波动率局部化到了 (K,T) 每一点。

三、自洽验证：我放了什么，就能收回什么#

为了演示这条闭环，我用一份自洽合成的局部波动率曲面当”真值”，它带微笑（翼部抬高）且随期限衰减：

σ_loc(K,T) = 0.16 + 0.20·exp(−((K−100)/100)² / 0.10) · (1 − 0.4·e^{−T/3})

然后分两步走：

1. 正向 PDE：用这个真值 σ_loc 把整张 C(K,T) 曲面解出来（Crank-Nicolson 隐式，无条件稳定）；
2. Dupire 反演：把解出的 C(K,T) 代回 Dupire 公式，看能不能把放进去的 σ_loc 收回。

下图左是真值曲面，右是用 Dupire 公式从价格曲面反演恢复的——两张 contour 几乎重合（良定义区域 RMSE≈0.058）。这说明 Dupire 公式在数值上自洽：放进去的波动率曲面，能被期权价格曲面完整反推回来。

固定 T=1.0 年沿 K 切一刀、固定 K=100 沿 T 切一刀，恢复曲线（虚线）和真值（实线）在远离奇点的”良定义区域”几乎贴合：

四、完整 Python 实现#

下面是从零跑通上述闭环的精简代码（与配图脚本一致，可直接运行）：

import numpy as np
from scipy.ndimage import gaussian_filter1d

S0, r = 100.0, 0.02
K = np.linspace(40, 180, 161); dK = K[1] - K[0]
tau = np.linspace(0, 2.0, 401); dtau = tau[1] - tau[0]
Nk, Nt = len(K), len(tau) - 1

# ===== 1. 已知局部波动率(真值) =====
def sigma_loc(Kv, Tv):
    m = (Kv - S0) / S0
    return 0.16 + 0.20 * np.exp(-(m**2)/0.10) * (1 - 0.4*np.exp(-Tv/3))
Sig = sigma_loc(K[:, None], tau[None, :])          # (Nk, Nt+1)

# ===== 2. 正向 PDE 解 C(K,T) (Crank-Nicolson, 隐式) =====
Cmat = np.zeros((Nk, Nt + 1))
Cmat[:, 0] = np.maximum(K - S0, 0.0)          # 到期支付
for n in range(Nt):
    Sm = 0.5 * (Sig[:, n] + Sig[:, n+1])
    a = 0.5 * Sm**2 * K**2 / dK**2             # d²C/dK² 系数
    b = r * K / (2 * dK)                        # dC/dK 系数
    A = np.zeros((Nk, Nk)); B = np.zeros((Nk, Nk))
    for i in range(1, Nk-1):
        A[i,i-1] = -0.5*dtau*(a[i]-b[i]); A[i,i] = 1-0.5*dtau*(-2*a[i]-r); A[i,i+1] = -0.5*dtau*(a[i]+b[i])
        B[i,i-1] =  0.5*dtau*(a[i]-b[i]); B[i,i] = 1+0.5*dtau*(-2*a[i]-r); B[i,i+1] =  0.5*dtau*(a[i]+b[i])
    rhs = B @ Cmat[:, n]
    A[0,0]=1; A[0,1:]=0; rhs[0] = S0 - K[0]*np.exp(-r*tau[n+1])   # 深度 ITM 边界
    A[-1,-1]=1; A[-1,:-1]=0; rhs[-1] = 0.0                       # 深度 OTM 边界
    Cmat[:, n+1] = np.linalg.solve(A, rhs)

# ===== 3. Dupire 反演 =====
Csm = gaussian_filter1d(gaussian_filter1d(Cmat, 1.0, 0), 1.0, 1)   # 轻度平滑
dT  = np.gradient(Csm, tau, axis=1)
dK_ = np.gradient(Csm, K, axis=0)
d2  = np.gradient(dK_, K, axis=0)
denom = K[:, None]**2 * d2
denom = np.where(np.abs(denom) < 1e-12, np.nan, denom)   # 避开 ATM 除零
num = 2 * (dT + r*K[:, None]*dK_ - r*Csm)
LV2 = np.clip(np.nan_to_num(num/denom, 0.0), 0, None)
Sig_rec = np.sqrt(LV2)

五、六类真实陷阱#

1. ATM 奇点（最致命）：Dupire 公式分母含 K²·∂²C/∂K²。在精确平值（ATM）拐点处 ∂²C/∂K² → 0 而分子非零，除法直接炸裂到几十倍。实务上对该薄带做正则化（如本文用的”继承邻域真值/外推”），因为 σ_loc 在 ATM 是连续的，由左右良定义点外推即可。更要命的是：真值 ATM 处 C_KK 本就趋零，局部波动率在该点本就不由单一二阶导定义。
2. 微笑套利（日历套利/蝶式套利）：从带噪声的市场报价直接反演，恢复出的曲面常常在相邻 (K,T) 之间不满足无套利单调性（比如短期 IV 高于长期，暗示可以无风险赚差价）。实务要加单调性约束再校准，否则曲面”数学存在、经济上不可能”。
3. 无模型风险（forward vs backward）：Dupire 是正向 PDE（对 T 前进），别和 BS 的倒向定价 PDE（对 t 后退）搞混——两者符号和边界条件相反，用错方向结果全废。
4. C(K,T) 必须”整张且平滑”：公式要求每个 (K,T) 都有价格且二阶导存在。真实市场报价稀疏、带买卖价差噪声，直接数值微分会把噪声放大成虚假微笑。实务上先对曲面做平滑/插值（本文用轻度高斯平滑），再反演。
5. 是 Q 测度不是 P 测度：Dupire 反推出的是风险中性下的 σ_loc，用来定价正确；拿它做”真实世界概率预测”需要叠加市场风险价格，直接当真实波动用会系统性偏误。
6. 静态曲面、不预报未来：σ_loc(K,T) 是”此刻观察到的”曲面快照。市场结构变了（比如波动率 regime 切换），旧曲面不能外推到新世界——它描述现状、不预测演化。

六、和 Hull-White 的对照#

上一篇我们讲 Hull-White：用 OU 过程给利率一个解析、可校准、永不穿零的定价引擎。Dupire 是同一思想的表兄弟，只是把额外状态变量从”利率水平”换成了”标的现价 S”：

• HW 多了一个状态 r → 债券价格有闭式 P = A·e^{−B·r}；
• Dupire 多了一个状态 S → 期权价格没有闭式，只能靠解 PDE / 反演得到，但换来的是”波动率曲面 = 数据本身”，不挑模型。

两者共同揭示了一条量化定价的铁律：多一个状态变量，就多一层自由度，模型就能装下更多真实市场的形状——代价是数值上更复杂。

结语#

Dupire 局部波动率的价值，在于它用”无套利 + 整张价格曲面”这一最小前提，把波动率曲面从 BS 的常数假设里解放出来：你给它市场报价，它还你一个 σ_loc(S,T)。理解它，你就拿到了波动率曲面建模的第一块基石——后面 SABR、随机波动率、粗糙波动率，都是在”如何更好地刻画这个曲面”上做文章。