Ornstein-Uhlenbeck 配对交易：给价差一个可交易的回归速度 • halo 的技术博客

问题：两只股票的价差，凭什么会回来？#

配对交易的直觉人人都懂：找两只走势高度相关的股票（比如可乐和百事、两家银行），它们的价差偏离历史正常范围时，做多便宜的、做空贵的，赌价差会收敛回来。

但这个直觉里藏着一个致命的模糊：“价差会回来”到底是什么意思？ 多久回来？回到哪里？如果不回来怎么办？

上一篇讲 Hurst 指数时我们说过：判断一段序列是均值回归还是随机游走， $H<0.5$ 是均值回归。但 $H$ 只告诉你”有没有回归倾向”，不告诉你回归有多快——而”多快”恰恰是配对交易能不能赚钱的全部。一个半衰期 5 天的价差和一个半衰期 50 天的价差，都是 $H<0.5$ ，但前者是印钞机，后者是资金效率的坟墓。

要把”多快”量化，需要一个带回归速度参数的模型。Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程就是配对交易价差最经典的连续时间模型：

$dX_t = \theta(\mu - X_t)\,dt + \sigma\,dW_t$

三个参数各司其职： $\mu$ 是价差的长期均值（回到哪里）， $\sigma$ 是瞬时波动（噪声多大）， $\theta$ 是均值回归速度（回得多快）。这个 $\theta$ 就是整篇文章的主角。

本文用固定随机种子（20260801）把价差生成成 OU 过程，回答四个层层递进的问题：

$\theta$ 到底如何通过”半衰期”决定策略的可交易性？
用真实数据估 $\theta$ ，能估准吗？
入场阈值应该设在几倍标准差？怎么权衡收益、频率、持仓期？
当价差不再回归、或用了偷看未来的标准化，会发生什么？

理论：θ 如何变成半衰期#

OU 过程的美妙之处在于它有解析解。从 $X_0$ 出发，期望路径是：

$\mathbb{E}[X_t] = \mu + (X_0 - \mu)e^{-\theta t}$

价差偏离均值的部分以 $e^{-\theta t}$ 指数衰减。定义半衰期为偏离衰减到一半所需的时间：

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\theta}$

这是配对交易最该记住的公式。 $\theta$ 越大，半衰期越短，价差回归越快。它同时决定了自相关的衰减——滞后 $k$ 天的自相关正好是 $e^{-\theta k}$ ，半衰期就是自相关衰到 0.5 的时间。

OU 还有一个平稳分布：长期来看价差服从均值 $\mu$ 、标准差 $\sigma/\sqrt{2\theta}$ 的正态分布。注意这个平稳标准差里也有 $\theta$ ——回归越慢（ $\theta$ 小），价差能漂得越远（标准差越大）。

我用精确离散化来模拟（避免欧拉法的离散误差）：

def simulate_ou(theta, mu, sigma, n, x0=None, rng=None):
    """精确离散：X_{t+1} = mu + (X_t-mu)e^{-θ} + η,
       η ~ N(0, σ²(1-e^{-2θ})/(2θ))"""
    x = np.zeros(n)
    x[0] = mu if x0 is None else x0
    a = np.exp(-theta)
    eta_sd = sigma * np.sqrt((1 - np.exp(-2*theta)) / (2*theta))
    for t in range(1, n):
        x[t] = mu + (x[t-1] - mu) * a + eta_sd * rng.standard_normal()
    return x

python

先看 $\theta$ 如何塑造价差的形状：

OU 价差解剖：θ 决定半衰期

左图：三条价差从同样的起点 $x_0=4$ 出发。 $\theta=0.15$ （蓝，半衰期 4.6 天）几天就拉回中枢附近； $\theta=0.05$ （橙，半衰期 13.9 天）慢悠悠回归； $\theta=0.02$ （红，半衰期 34.7 天）晃了几百天还在大幅偏离。右图是理论自相关 $e^{-\theta k}$ ：半衰期就是曲线穿过 0.5 那条虚线的横坐标。

对交易的含义直接而残酷：你做多一个偏离 4σ 的价差， $\theta=0.15$ 时一周就能兑现，资金一年能翻很多轮； $\theta=0.02$ 时你要占用资金一个多月等它回来，中途还可能先偏离到 6σ 让你怀疑人生。同样是”均值回归”，θ 决定了它是不是一门生意。

验证一：θ 估得准吗？短样本的系统性谎言#

$\theta$ 这么重要，那用真实价差数据能估准吗？标准做法是把 OU 离散成 AR(1) 回归：

$\Delta X_t = a + b\,X_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \theta = -\ln(1+b)$

def estimate_theta_ar1(x):
    dx = np.diff(x); xl = x[:-1]
    A = np.vstack([np.ones_like(xl), xl]).T
    coef, *_ = np.linalg.lstsq(A, dx, rcond=None)
    a, b = coef
    theta_hat = -np.log(1 + b)   # b 应落在 (-1, 0)
    return theta_hat, -a / b

python

我用真实 $\theta=0.05$ （半衰期 13.9 天）生成价差，把样本长度从 60 扫到 2000，每个长度重复 400 次，看估计的偏差：

θ 估计的有限样本偏差

左图是这篇最该警惕的一张图：AR(1) 估计 $\hat\theta$ 在短样本上系统性高估回归速度。

$N=60$ ： $\hat\theta=0.145$ ，是真值 0.05 的近 3 倍
$N=120$ ： $\hat\theta=0.091$ ，仍高估 80%
$N=250$ ： $\hat\theta=0.069$
$N=1000$ ： $\hat\theta=0.055$ ，才基本收敛
$N=2000$ ： $\hat\theta=0.052$

翻译成半衰期（右图）：真实 13.9 天， $N=60$ 时估成 5.6 天， $N=250$ 估成 10.8 天，要到 $N=1000$ 才收敛到 12.8 天。

这个偏差不是随机噪声，是方向恒定的系统性偏误——这是 AR(1) 系数在有限样本下的经典向下偏（Dickey-Fuller 类统计量的老问题）， $b$ 被低估、 $\theta=-\ln(1+b)$ 被高估。

对配对交易的杀伤力是致命的：你用两年的历史数据（约 500 天）估出”这对股票半衰期 8 天，回归很快，值得做”，真相可能是半衰期 14 天。 你按 8 天的预期设了止损和持仓上限，实盘却发现价差回归比你想的慢一倍——不是市场变了，是你的 $\theta$ 从一开始就估高了。历史越短，你越会高估自己的策略。

验证二：入场阈值设在几倍标准差？#

假设 $\theta$ 、 $\mu$ 都估对了，下一个决策是：价差偏离多少才入场？把价差标准化成 $z=(X-\mu)/\sigma_{\text{stat}}$ ， $z$ 超过某个阈值 $z^*$ 就反向下注，回到均值附近（ $|z|<0.3$ ）平仓。

$z^*$ 设多高是个经典权衡：太低则频繁进出、每笔利润薄、被噪声反复打脸；太高则机会稀少、资金大量空置。我在 $\theta=0.05$ 的价差上（40 条独立路径）把 $z^*$ 从 0.5 扫到 3.0：

入场阈值扫描

三条线讲了一个完整的权衡故事：

Sharpe（红，左轴）：在 $z^*\approx0.75$ 见顶（约 2.03），然后随阈值升高单调下降。 $z^*=3.0$ 时只剩 0.49。
交易次数（蓝，右轴）：从 $z^*=0.5$ 的 250 笔陡降到 $z^*=3.0$ 的 2.2 笔。
平均持仓期（绿，右轴）：从 11 天升到 30 天左右——阈值越高，你等的偏离越极端，回归到均值花的时间也越长。

反直觉的结论是最优阈值相当低（0.75σ 而非教科书常说的 2σ）。原因在于 OU 的强回归性：只要 $\theta$ 够大，即使小偏离也有可靠的回归动力，低阈值捕捉的机会多、每笔虽薄但胜在频繁、且持仓期短、资金周转快。经典的”2σ 开、0σ 平”是把配对交易当稀有事件来做，在强回归的价差上反而牺牲了大量 Sharpe。

但要注意：这是零成本口径。一旦加上买卖价差和冲击成本，低阈值的高换手（ $z^*=0.5$ 时 250 笔）会被交易成本严重侵蚀，最优阈值会向右移。真实的最优 $z^*$ 是”回归速度 vs 交易成本”的交点—— $\theta$ 越大、成本越低，阈值越该往下压。

验证三：不回归会怎样？三个鲁棒性拷问#

前面都假设价差真的是 OU。但真实配对最大的风险是：协整关系破裂，价差不再回归（一家公司基本面永久变化、被并购、行业格局重构）。这时 OU 策略会发生什么？还有两个隐蔽的回测陷阱一并检验：

regime 鲁棒性与对抗式检验

图4a：θ→0，Sharpe 崩塌。 我把 $\theta$ 从 0.15 逐步降到 0（价差从强回归退化成纯随机游走），用同一套最优策略跑：

θ	半衰期(天)	Sharpe
0.15	4.6	2.68
0.10	6.9	2.48
0.05	13.9	2.04
0.02	34.7	1.36
0.01	69	0.98
0.005	139	0.67
0.00	∞	0.04

结论无可辩驳：策略的全部 alpha 来自 θ。当价差退化成随机游走（ $\theta=0$ ），Sharpe 崩到 0.04——统计意义上等于零。配对交易不是在赚”价差大就会小”的钱，是在赚”价差有回归动力”的钱；一旦回归动力消失，策略立刻变成随机下注。这也是为什么实盘配对交易必须持续监控协整关系、并设”价差回归失败”的硬止损。

图4b：look-ahead 标准化陷阱。 一个极其隐蔽的 bug：算 $z$ 分数时用全样本的均值和标准差。这看起来无害，实则是 look-ahead——你用了未来才知道的全局均值。在纯随机游走价差（ $\theta=0$ ，本该无 alpha）上：

全样本 z（look-ahead）：Sharpe 均值 0.47——凭空刷出假回归利润！因为全局均值把随机游走”钉”在了它事后才知道的中心，价格看起来总在”回归”这个中心。
滚动窗口 z（诚实）：Sharpe 均值 0.02——正确地回到零。

这个陷阱的可怕之处在于它不报错、不违反任何常识检查，还恰好让回测变好看。任何在纯随机游走上能刷出正 Sharpe 的回测，一定藏着 look-ahead。 检验方法就是这个：把策略搬到一个你确定没有 alpha 的世界（随机游走价差），如果它还赚钱，回去找 bug。

图4c：置换检验。 把真实 OU 价差的顺序打乱 300 次（破坏时序自相关，但保留边际分布），真实 OU 的 Sharpe 2.19 超过了全部 300 次置换的最大值 0.51（置换均值锚在 0.007）。这证明策略赚的是价差的时间结构（回归动力），而非分布形状的偶然。图4d 展示一条真实 OU 价差与 ±0.75σ 阈值带——价差反复穿越阈值又被拉回，正是策略的盈利来源。

三段式总结#

A. 实现细节#

价差模型：Ornstein-Uhlenbeck 过程 $dX=\theta(\mu-X)dt+\sigma dW$ ，精确离散化采样（非欧拉近似），固定种子 20260801。本文直接对价差建模，隐含假设两腿的对冲比率已由协整回归确定、价差已是平稳序列。
θ 估计：AR(1) 回归 $\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\varepsilon$ ， $\theta=-\ln(1+b)$ ， $\mu=-a/b$ 。有限样本偏差用 400 次重复、6 个样本长度量化。
交易规则：价差标准化 $z=(X-\mu)/\sigma_{\text{stat}}$ （ $\sigma_{\text{stat}}=\sigma/\sqrt{2\theta}$ ）， $z>z^*$ 做空价差、 $z<-z^*$ 做多价差、 $|z|<0.3$ 平仓。信号在 $t$ 观察、 $t{+}1$ 结算（无 look-ahead），阈值扫描用 40 条独立路径取均值。
对抗式检验：(1) θ 从 0.15 降到 0 看 Sharpe 崩塌；(2) 纯随机游走价差上比较全样本 z（look-ahead）与滚动窗口 z（诚实）；(3) 300 次价差顺序置换检验；(4) 真实 OU vs 置换分布上限。

B. 已知偏差#

单价差建模，跳过了协整这一步：本文假设价差已经是干净的平稳序列，但真实配对交易最难的恰恰是找到并维持协整关系、确定对冲比率。协整可能是伪回归的产物，对冲比率本身会漂移——这些误差都不在本文模拟里。真实策略的第一大风险源被我用”假设价差是 OU”绕过了。
θ 假设恒定：真实价差的回归速度会随市场环境变化（流动性枯竭时回归变慢），本文的 $\theta$ 是常数。用固定 $\theta$ 估出的半衰期只是长期平均，不代表任意时点的回归速度。
零成本口径：入场阈值扫描没建模买卖价差、冲击成本、融券费。加上成本后，低阈值（0.75σ）的高换手优势会被大幅侵蚀，真实最优阈值更靠右，Sharpe 也会显著下降。
对称双腿假设：模拟隐含两腿可自由做多做空。A 股配对的空头腿受融券约束（券源、费率、强平），可实施版本的收益会明显低于理论值——这一点在真实统计套利里往往是成败关键。

C. 结果解读#

θ 是唯一决定生死的参数：半衰期 $\ln2/\theta$ 直接翻译成资金周转速度。 $\theta=0.15$ （半衰期 4.6 天）是印钞机， $\theta=0.02$ （34.7 天）资金效率极低。选配对的第一标准不是相关性高，而是价差回归够快。
短样本会系统性骗你说”回归很快”：AR(1) 在 $N=60$ 上把真实 $\theta=0.05$ 估成 0.145（半衰期 13.9 天→5.6 天，高估近 3 倍）， $N=1000$ 才收敛。用短历史选出的”快速回归配对”，大概率是估计偏差制造的幻觉。 判断一对能不能做，需要足够长的历史，且要对短样本 $\theta$ 打折。
最优入场阈值比教科书低：强回归价差上 $z^*\approx0.75$ （Sharpe 2.03）优于经典的 2σ。低阈值多机会、短持仓、高周转。但这是零成本结论——加成本后阈值右移，真实最优是”回归速度 vs 交易成本”的交点。
不回归 = 没有 alpha： $\theta\to0$ 时 Sharpe 从 2.04 崩到 0.04。配对交易赚的是回归动力的钱，协整关系一旦破裂，策略立刻变成随机下注。实盘必须持续监控协整、设”回归失败”硬止损——这是配对交易爆仓的头号原因（价差单边发散、越亏越加）。
两个必查的回测陷阱：其一，全样本均值/标准差算 z 是隐蔽 look-ahead，在纯随机游走上都能刷出 Sharpe 0.47 的假利润，务必用滚动窗口。其二，任何在”确定无 alpha 的世界”（随机游走价差）上还赚钱的回测，一定藏着未来信息——这个”随机世界对照”比任何统计检验都更能抓住偷看未来的 bug。真实 OU 策略 Sharpe 2.19 超过置换上限 0.51，才算通过了”赚的是时间结构而非运气”的最终质检。