传播子模型价格冲击：把每笔成交的冲击写成核函数衰减

先问一个看似简单、其实很多人答错的问题：你砸出一笔买单，把价格推高了 5bp，一秒钟之后，这 5bp 还在吗？

有三种流行的答案，对应三种世界观：

• 永久派：还在。你的成交泄露了信息，市场永久性地重新定价了，5bp 不会退回去。
• 瞬时派：没了。你吃穿了几档订单簿，但挂单立刻补回来，价格弹回原点，冲击是”一锤子”的，成交完就结束。
• 传播子派：还剩一部分，而且在慢慢消退。冲击既不是永久的也不是瞬时的，它有余韵——推高之后按某个衰减节奏一点点退去，可能几秒、几分钟、甚至更久才完全消化。

结论先放这：真实市场是第三种。 Jean-Philippe Bouchaud 和合作者在 2004 年前后提出的传播子模型（Propagator Model）把这个”余韵”写成一个衰减核 G(t)，整条价格轨迹就是所有历史成交冲击按 G(t) 衰减后的叠加。这个模型不只是拟合得更好——它背后有一个深刻到近乎必然的逻辑：如果冲击不是这样衰减的，市场就会遍地是无风险套利。 本文从零把这套逻辑和代码走一遍。

冲击核 G(t)：一笔成交的余韵长什么样#

传播子模型的核心对象是冲击核（Impact Kernel） G(t)：一笔成交发生后，经过 t 个事件（或 t 单位时间），它对当前价格还残留多少冲击。

三种世界观对应三种 G(t) 的形状：

• 永久冲击：G(t) = 常数。冲击永不消退。
• 瞬时冲击：G(t) 在 t>0 时立刻归零。
• 传播子：G(t) 缓慢衰减。经验研究发现它接近一个幂律 G(t) ~ t^(-β)，β 通常在 0.5 附近——衰减得非常慢，有长长的尾巴。

import numpy as np

lag = np.arange(1, 200)
G_power = 1.0 / (lag ** 0.5)         # 幂律衰减（传播子）β=0.5
G_exp   = np.exp(-lag / 15.0)        # 指数衰减（对照）
G_perm  = np.ones_like(lag) * 0.35   # 永久冲击（不衰减）

左图是三种核在普通坐标下的样子：永久冲击是一条水平线；指数衰减在 t≈75 就基本归零；而幂律衰减（红线）虽然一开始下降快，但拖着一条长尾——到 t=200 还残留 0.07 的冲击没消完。右图用 log-log 坐标揭示本质区别：幂律在 log-log 上是一条直线（这是幂律的指纹），而指数衰减在 log-log 上迅速向下坠落。

这个”长尾”是全文的关键。幂律核意味着：一笔很久以前的大单，它的冲击到现在还没完全消化。市场的价格，是被一长串历史成交的余韵共同撑着的。

价格是历史冲击的叠加#

有了核 G(t)，传播子模型的价格公式就写出来了。t 时刻的价格 = 基准价 + 过去每一笔成交的冲击按各自的衰减程度加权求和：

$p(t) = p_0 + \sum_{s<t} G(t-s)\, f(v_s)\, \varepsilon_s$

其中 ε_s 是第 s 笔成交的方向（买 +1 / 卖 −1），v_s 是成交量，f(v) 是冲击强度函数（经验上是凹的，常取 f(v)~√v，即成交量翻倍冲击并不翻倍）。

N = 300
signs = rng.choice([-1, 1], size=N)         # 每笔成交方向
vols  = rng.gamma(2.0, 1.0, size=N)
f_v   = np.sqrt(vols)                        # 冲击强度 ~ √成交量（凹）

price = np.zeros(N)
for t in range(N):
    contrib = 0.0
    for s in range(t):                       # 累加所有历史成交的余韵
        contrib += (1.0/np.sqrt(t-s)) * f_v[s] * signs[s]
    price[t] = 100.0 + 1e-4 * 100 * contrib

蓝线是完整的传播子价格——它看起来就像一条正常的随机波动价格序列，但它的每一个点都是过去所有成交冲击叠加的结果。橙线单独拎出了某一笔大单（红色竖线标注）的冲击轨迹：它在成交那一刻把价格顶上去，然后按幂律核缓慢衰减，几十笔成交之后还没完全退回去。

这就是传播子模型的世界观：市场价格不是一堆独立跳变的拼接，而是无数笔成交冲击的余韵在时间轴上层层叠加、互相干涉的结果。 你现在看到的价格，一半是新成交推的，一半是老成交还没消化完的余温。

为什么核必须衰减：订单流的长记忆#

到这里你可能会问：凭什么说冲击一定是”缓慢衰减”这种形状？为什么不能是永久的，或瞬时的？

答案藏在一个惊人的经验事实里：订单流方向有极强的长记忆。

如果你去统计真实市场里连续成交的方向（买还是卖），你会发现它们远不是独立的——一笔买单后面更可能跟着买单，一笔卖单后面更可能跟着卖单。而且这种正相关衰减得极慢，能一直拖到上百笔成交之后仍然显著（同样是幂律衰减）。原因很实际：大机构的单子拆成几百上千笔小单在几小时内慢慢执行（正是上一篇 TWAP/VWAP 讲的事），所以订单流里充满了同方向的连续片段。

def long_memory_signs(n, p_cont=0.62, seed=1):
    r = np.random.default_rng(seed)
    s = np.zeros(n); s[0] = r.choice([-1, 1])
    for i in range(1, n):
        s[i] = s[i-1] if r.random() < p_cont else -s[i-1]  # 高概率延续上一方向
    return s

左图是成交方向的自相关：红线（真实订单流）从 0.25 起步，缓慢衰减、长时间保持正值——这就是长记忆。灰线（独立订单流）则贴着零线抖动，毫无记忆。

现在关键的矛盾来了，看右图。假设冲击是永久的，那么价格 = 所有历史成交方向的累加。订单流有长记忆（买后面跟买），累加起来就会形成强趋势（橙线一路向上）。而强趋势意味着价格可预测——你看到过去几笔都是买、就知道后面大概率还是买、价格还会涨，于是你抢先买入，无风险套利。这在有效市场里是不可能长期存在的。

传播子的衰减核，正是市场自我修复这个矛盾的机制。 当冲击按幂律衰减时（蓝线），老的买入冲击在慢慢退去，恰好抵消掉订单流长记忆带来的持续推力，最终让价格回到接近鞅（无法预测下一步涨跌）的无套利状态。Bouchaud 团队证明了一个精妙的定量关系：冲击核的衰减速度 β 和订单流自相关的衰减速度 γ 必须满足一个特定的匹配条件（大致是 β ≈ (1−γ)/2），价格才能恰好保持无套利。冲击衰减得太快，价格会均值回复（也可套利）；衰减太慢，价格会趋势（也可套利）。只有幂律核以恰到好处的速度衰减，市场才能既允许订单流长记忆存在、又不泄露可套利的价格趋势。

这是传播子模型最深刻的地方：冲击核不是随便拟合出来的经验曲线，它的形状被”市场必须近似无套利”这个约束几乎唯一地钉死了。

从数据反推冲击核：响应函数#

理论说核是幂律衰减的，那怎么从真实成交数据里把它测出来？工具是响应函数（Response Function） R(l)：在一笔方向为 ε 的成交之后，隔 l 个事件，价格平均移动了多少（乘上方向对齐）：

$R(l) = \mathbb{E}\big[(p_{t+l}-p_t)\cdot \varepsilon_t\big]$

直觉上，R(l) 度量的是”一笔成交对未来 l 步价格的平均净影响”。我用一段两万笔的模拟传播子数据（含长记忆订单流 + 幂律核 + 独立微观结构噪声）把它反推出来：

def response_function(price, signs, maxl):
    R = []
    for l in range(1, maxl+1):
        dp = price[l:] - price[:-l]
        R.append(np.mean(dp * signs[:-l]))
    return np.array(R)

蓝点是标定出的响应函数：R(l) 从接近零起步（R(1)≈0.019），随着滞后 l 单调上升，然后逐渐趋平饱和（渐近到约 0.54）。红色虚线是一个饱和曲线拟合作为参照。

这条”先升后趋平”的形状本身就是传播子模型的强证据。它同时否定了另外两种世界观：

• 如果冲击是瞬时的，R(l) 应该在 l=1 就跳到最大值然后立刻掉回去——不会有这条缓慢爬升的曲线。
• 如果冲击是永久的，R(l) 会随 l 无限线性增长（趋势）——不会饱和趋平。

而先升后平恰恰是传播子的签名：单笔成交的直接冲击（核 G）在衰减，但因为订单流长记忆，后续同方向成交不断跟进补充，两股力量此消彼长，净响应先累积上升、再在衰减和补充达到平衡时趋于饱和。诚实说一句：真实的 R(l) 常带一点 S 形（前段加速），单指数饱和曲线只能近似捕捉大势，精确刻画需要把订单流自相关也建模进去——但”从近零上升到饱和”这个定性结论是稳健的，它就是传播子存在的直接指纹。

已知偏差（一定要说清楚）#

1. 模型是单一资产、事件时间的简化版。真实的传播子研究要区分事件时间 vs 物理时间、区分主动成交与被动成交、处理买卖价差的离散跳变（bid-ask bounce）。本文用等权事件时间是为了让核的作用干净可见。
2. 冲击强度函数 f(v)~√v 是示意的。经验上冲击对成交量确实是凹的（著名的”平方根律”也出现在这里），但精确形状因市场、因标的而异，需要用自家成交数据标定。本文的 √v 只是一个合理的凹函数占位。
3. 无套利匹配条件是渐近结论。β 与订单流自相关指数 γ 的匹配关系（β≈(1−γ)/2）是在幂律、长时间尺度的渐近意义下成立的。有限样本、短尺度、非平稳市场都会让它偏离，本文的模拟是理想化的验证而非严格证明。
4. 响应函数标定对噪声敏感。R(l) 是两个随机量的乘积期望，独立微观结构噪声、有限样本会让估计在长滞后处方差很大（图中尾部的抖动就是），实盘标定需要大样本 + 稳健估计。

结果解读#

市场冲击不是一锤子买卖，它有记忆。 传播子模型最颠覆直觉的一点是：你今天砸出的一笔单，它对价格的影响不会立刻消失，而会以幂律的节奏拖很久。这对执行有直接含义——如果你在短时间内密集下同方向的单，你不只是在承受每一笔的即时冲击，还在给自己”叠加”前面几笔尚未消退的余韵，让后续成交越来越贵。这正是上一篇里”拆单要摊开、参与率要压平”的微观结构根源。

核的衰减速度是被无套利钉死的，不是自由参数。 这是传播子模型和普通经验拟合模型的本质区别。它告诉你：市场冲击的形状不是偶然，而是”允许大单长记忆存在”和”不泄露可套利趋势”这两个约束博弈出的唯一解。理解这一点，你就能预判：一个订单流长记忆更强的市场（比如机构占比高、拆单更普遍），它的冲击核会衰减得相应更慢。

响应函数是连接理论和数据的桥。 R(l) 的”先升后平”形状是可以在真实数据上测出来的，它同时证伪了瞬时冲击和永久冲击两种简化观点。任何认真做执行成本建模的团队，第一步都是把自家成交的 R(l) 标定出来，用它反推冲击核，再用这个核去优化拆单节奏、预估大单的全周期冲击成本。

传播子模型是市场微观结构里少有的”美学与实用兼得”的理论：它用一个衰减核统一了三种割裂的冲击观，用无套利条件把这个核的形状几乎唯一地推导出来，又能落到可标定、可优化的实操层面。它告诉你一件很反直觉但很重要的事——市场是有记忆的，而这份记忆的衰减节奏，恰恰是它保持效率的方式。