状态切换凯利下注：让仓位在牛熊之间自动收放

先说结论：凯利公式算的是”赔率固定时下多少注”，但市场的赔率不是固定的——它在牛市和熊市两套参数间反复横跳。把一个固定杠杆焊死在账户上，等于用牛市的胆量去接熊市的刀。本文的实验会证明：同样一套凯利逻辑，固定下注和买入持有几乎跑成一条线（总收益 25%、最大回撤 -64%），而让下注比例跟着”现在是牛是熊”的后验概率自动收放之后，总收益 77%、最大回撤压到 -32%——多出来的钱不来自预测涨跌，来自熊市里主动把杠杆收回去。但这套东西对参数估计误差极度敏感，用不好就是加速破产的杠杆放大器。

一、凯利公式：理论最优，但有一个致命假设#

凯利公式的核心是最大化长期对数增长率，而不是单期期望收益。对于连续收益的近似形式，最优下注比例是：

$f^* = \frac{\mu}{\sigma^2}$

其中 μ 是资产的期望收益，σ² 是方差。直觉很清楚：预期回报越高、波动越小，就该押得越重。对数增长率随下注比例的变化曲线是一条开口向下的抛物线，顶点就在 f* 处：

$g(f) = f\mu - \frac{1}{2}f^2\sigma^2$

上图是关键。绿线是牛市参数下的 g(f)，红线是熊市参数下的 g(f)。看两条曲线的顶点位置：牛市的最优下注在正区间（该做多），熊市的最优下注在负区间（该做空或至少空仓）。如果你用牛市参数算出的 f* 去跑整段行情，那么每次进入熊市，你都停在红线的右侧——一个 g(f) 深度为负的位置，也就是在以最快速度亏钱。

这就是固定凯利的致命假设：它默认 μ 和 σ 永远不变。而真实市场最稳定的特征恰恰是”参数会变”。

二、两状态市场：用马尔可夫链造一个会切换的世界#

要验证这件事，我先造一个诚实的、参数确实会切换的市场。用一个两状态隐马尔可夫模型：

• 状态 0（牛市）：日均值 μ=+0.09%，日波动 σ=0.9%
• 状态 1（熊市）：日均值 μ=-0.16%，日波动 σ=2.4%
• 状态转移矩阵 P：牛市粘性 0.992（平均持续 125 天），熊市粘性 0.97（平均持续 33 天）

import numpy as np
np.random.seed(42)

T = 2000
P = np.array([[0.992, 0.008],    # 牛市 -> [牛, 熊]
              [0.030, 0.970]])   # 熊市 -> [牛, 熊]
mu  = np.array([0.0009, -0.0016])
sig = np.array([0.009,   0.024])

states = np.zeros(T, dtype=int)
for t in range(1, T):
    states[t] = np.random.choice(2, p=P[states[t-1]])

rets  = np.random.normal(mu[states], sig[states])
price = 100 * np.cumprod(1 + rets)

这段代码里熊市天数占比约 23%。注意熊市的波动（2.4%）是牛市（0.9%）的近 3 倍——这符合现实的波动率聚集特征：跌的时候不但方向不对，晃动还更剧烈。

红色阴影就是熊市段。价格在牛市里稳步爬升，一进熊市就大幅回吐。肉眼都能看出，能不能在阴影区把仓位收回来，是这条曲线赚钱还是亏钱的分水岭。

三、在线滤波：用前向算法实时估计”现在是熊市的概率”#

问题来了：真实交易里你看不到 states 数组，只能看到收益序列。你得反过来从收益推断当前状态。这就是 HMM 的滤波问题——用前向算法在线估计状态后验概率。

关键在于”在线”：每天只用截至今天的信息更新后验，绝不偷看未来。前向递推分两步——先用转移矩阵做状态预测，再用当天收益的观测似然做贝叶斯更新：

def gaussian_pdf(x, m, s):
    return np.exp(-0.5*((x-m)/s)**2) / (s*np.sqrt(2*np.pi))

alpha = np.zeros((T, 2))
alpha[0] = np.array([0.5, 0.5]) * gaussian_pdf(rets[0], mu, sig)
alpha[0] /= alpha[0].sum()

for t in range(1, T):
    pred = alpha[t-1] @ P                    # 用转移矩阵预测今天的先验
    emis = gaussian_pdf(rets[t], mu, sig)    # 今天收益的观测似然
    a = pred * emis                          # 贝叶斯更新
    alpha[t] = a / a.sum()

p_bear = alpha[:, 1]   # 熊市后验概率

alpha[t] 是归一化后的后验分布，p_bear 就是”今天处于熊市的概率”。这个滤波器的识别准确率（后验 >0.5 判熊市，与真实状态比对）达到 95%。

灰色块是真实熊市，红线是滤波器估的熊市后验概率。整体贴合得很好，但请盯住每一个切换点：真实状态从牛翻熊的瞬间，红线不会同步跳到 1，而是需要几天累积证据才爬上去。这个滞后不是 bug，是在线滤波的物理下限——你只有在坏消息发生之后才能确认坏消息。这几天的滞后，就是这套策略必然要交的学费，后面会算这笔账。

四、把凯利分数按后验概率加权#

现在把两块拼起来。每个状态有自己的凯利分数：

f_bull = mu[0] / sig[0]**2   # 牛市理论凯利 ≈ 11.1
f_bear = mu[1] / sig[1]**2   # 熊市理论凯利 ≈ -2.8

注意牛市理论凯利高达 11 倍杠杆——这是全凯利的通病：它算出的杠杆在现实中大到荒谬，因为它假设你对 μ、σ 的估计完全精确。任何估计误差都会被平方项放大成灾难。所以实务上必须用半凯利（乘 0.5）再加一个硬上限 CAP=1.0：

HALF, CAP, FLOOR = 0.5, 1.0, -0.5

def clip_f(f, floor=0.0):
    return np.clip(f * HALF, floor, CAP)

# 状态切换凯利：用后验概率对两状态凯利做加权
f_dynamic = clip_f(p_bear * f_bear + (1 - p_bear) * f_bull, floor=FLOOR)

# 对照：固定半凯利（假设永远是牛市），忽略状态
f_static = clip_f(f_bull)

f_dynamic 的逻辑是：熊市概率越高，凯利仓位越往负区间收——从满仓做多，逐渐降到空仓，极端时反手做空（FLOOR=-0.5 允许适度做空）。

蓝线是动态仓位，橙色虚线是固定半凯利（永远顶格）。红色阴影是熊市。可以看到动态仓位在阴影区大幅下沉甚至转负，而固定策略始终焊死在上限——这就是全部差异的来源。

五、回测对决：收益翻三倍，回撤砍半#

用严格的次日执行（signal-on-t、execute-on-t+1，绝不用当天信号赚当天收益）跑三条曲线：

def equity(frac_arr):
    eq = np.ones(T)
    for t in range(1, T):
        f = frac_arr[t-1]              # 昨天收盘定的仓位
        eq[t] = eq[t-1] * (1 + f * rets[t])   # 吃今天的收益
    return eq

固定半凯利和买入持有几乎完全重叠——因为顶格满仓的半凯利本质就是”一直满仓”，跟买入持有没区别。真正拉开差距的是蓝线：它没有更会预测涨跌，它只是在熊市里认怂。收益翻三倍的表象之下，真正的功臣是最大回撤从 -64% 压到 -32%——回撤小了，复利的底子就没被打断，长期增长率自然更高。这正是凯利公式的初心：最大化长期增长的关键是活下去，而不是每一注都押满。

A. 实现细节#

• 信号字段：只用每日收益 rets[t] 喂给前向滤波器，估出熊市后验 p_bear[t]。仓位由后验对两状态凯利加权得出，绝不使用未来数据。
• 执行时点：严格次日执行。t 日收盘算出的仓位 f_dynamic[t]，用于捕获 t+1 日的收益。代码里用 frac_arr[t-1] * rets[t] 保证不偷看。
• 仓位口径：f 是账户净值的杠杆倍数。CAP=1.0 表示最多满仓（不加杠杆），FLOOR=-0.5 表示最多用半仓做空。半凯利系数 0.5 是抵御参数估计误差的安全边际。
• 凯利分数：用连续收益近似 f* = μ/σ²，而非离散赔率版凯利。这在日频小收益下是标准近似。
• 权益曲线口径：单资产、含杠杆、含做空、无交易成本的纯理论净值，用于隔离”状态切换”这一个变量的贡献。

B. 已知偏差#

• 参数已知是最大作弊：本文把真实的 μ、σ、转移矩阵 P 直接喂给了滤波器。真实市场里这三组参数都得从历史数据估计，且会随时间漂移。全凯利理论值 f*=11 的荒谬程度已经说明：凯利分数对 μ 的估计误差是平方级敏感，μ 估高一倍，杠杆就错到离谱。这也是为什么实务只敢用半凯利甚至四分之一凯利。
• 在线滤波必然滞后：第三节图里每个切换点的滞后是硬约束。状态真正翻转后，滤波器要累积几天证据才反应过来，这几天你还停在错误仓位上挨打。回测收益已经包含了这部分损失——它是净值，不是理论上限。
• 两状态是强先验：真实市场不止牛熊两态（还有震荡市、危机市、复苏市……），也没有干净的马尔可夫转移结构。状态数选错、转移矩阵设错，滤波器会系统性误判。
• 无交易成本：动态仓位每天都在微调，换手率远高于买入持有。真实的手续费和冲击成本会侵蚀相当一部分超额收益，尤其在仓位频繁反复的震荡段。

C. 结果解读#

超额收益的真正来源是回撤控制，不是选股或择时的方向能力。 看指标：两个策略的年化 Sharpe 从 0.24 提升到 0.52，翻了一倍多，但这不是靠多抓了几个涨停，而是靠在 23% 的熊市天数里把仓位收回来，避免了 -64% 那种伤筋动骨的回撤。复利数学的残酷在于：亏 50% 需要涨 100% 才能回本，把最大回撤从 64% 压到 32%，等于把”回本所需涨幅”从 178% 降到 47%——这才是总收益从 25% 跳到 77% 的底层原因。

滞后决定了这套策略吃不到拐点，只吃得到趋势中段。 从后验概率图能看出，滤波器在熊市中段最自信、仓位收得最狠，但在牛熊切换的头几天总是慢半拍。所以它赚的不是”精准逃顶抄底”的钱，而是”确认熊市后不再挨打、确认牛市后重新上仓”的钱。任何宣称能靠状态切换精准抓拐点的说法，都违背在线滤波的物理下限。

这套框架的实盘生死线在参数估计，不在模型结构。 本文用已知参数得到的漂亮结果，是这套方法的上限而非期望。真实部署时，μ 的估计噪声会让凯利分数剧烈抖动，稍不留神半凯利就变成过度杠杆。稳健的做法是：用滚动窗口估参数、用远低于理论值的凯利系数（1/4 或更低）、给转移矩阵加正则、并在样本外用 walk-forward 反复验证状态识别的稳定性。凯利公式是放大器——放大你的优势，也放大你估参数的错误。 在你确认自己真能估准牛熊参数之前，它更可能是加速破产的杠杆，而不是通往最优增长的捷径。