粗糙波动率模型：用分数布朗运动重写波动率的记忆

经典的随机波动率模型（Heston、OU 波动率）默认：波动率遵循一条普通布朗运动——也就是 Hurst 指数 $H = 1/2$。在这个假设下，对数波动率是一个平滑、温和漂移的过程。于是模型预测：短期期权的隐含波动率偏度（skew）应该大致 $\propto 1/\sqrt{T}$。

但真实市场的股权微笑，短端比 $1/\sqrt{T}$ 还陡得多。少了一截——模型漏了什么？

Gatheral、Jaisson、Rosenbaum(2014, “Volatility is rough”) 用高频数据做了个简单却颠覆的实验：直接对「对数已实现波动率」算 variogram（变差函数），发现它随滞后 $h$ 的 scaling 是 $h^{2H}$，而估计出来的 $H \approx 0.1$——远小于 0.5。也就是说，波动率不是平滑的，它是粗糙的（rough）：它剧烈地、高频地来回折返，记性很短。

本文用一份自包含的 Monte Carlo，把这件事从头跑一遍：分数布朗运动怎么造、怎么从路径里估 $H$、以及粗糙假设如何自然解释那个「短端过陡」的股权微笑。

一、直觉：波动率是「锯齿」不是「波浪」#

想清楚 $H$ 在管什么。分数布朗运动 $B^H$ 的增量方差是：

E[(B^H_{t+h} − B^H_t)^2] = h^{2H}

• $H = 0.5$：增量独立，路径像普通随机游走，温和连续；
• $H < 0.5$：增量负相关——涨一下就更容易跌回去，路径出现密集的来回折返，视觉上「毛刺很多」；
• $H > 0.5$：增量正相关，趋势被拉长，路径平滑。

实证说波动率的 $H \approx 0.1$，意味着它处在「极度负相关增量」那一端：波动率一跳起来就迅速被拉回，表面上看起来像高频噪声。这对期权定价是致命的——因为短端微笑的斜率完全由这个 $H$ 决定。

二、造一条分数布朗运动（Cholesky 法）#

分数布朗运动没有独立增量，不能一步一步地随机游走生成；它的协方差由 $H$ 闭式给出，所以最干净的做法是直接构造协方差矩阵、Cholesky 分解、乘以标准正态向量：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(20260716)

def fbm_chol(N, H):
    """协方差矩阵 Cholesky 分解, 生成一条分数布朗运动样本(B_H(0)=0)"""
    t = np.arange(1, N + 1)
    R = np.zeros((N, N))
    for i in range(N):
        ti = t[i]; ti2h = ti ** (2 * H)
        for j in range(i, N):
            # 分数布朗运动协方差闭式: 0.5*(t_i^{2H}+t_j^{2H}-|t_i-t_j|^{2H})
            v = 0.5 * (ti2h + t[j] ** (2 * H) - abs(ti - t[j]) ** (2 * H))
            R[i, j] = v; R[j, i] = v
    return np.linalg.cholesky(R)

N_path = 600
BH_rough  = fbm_chol(N_path, 0.1) @ rng.normal(0, 1, N_path)   # 粗糙
BH_smooth = fbm_chol(N_path, 0.5) @ rng.normal(0, 1, N_path)   # 平滑
eta = 1.8
tgrid = np.arange(1, N_path + 1)
logvol_rough  = eta * BH_rough  - 0.5 * eta ** 2 * tgrid ** (2 * 0.1)
logvol_smooth = eta * BH_smooth - 0.5 * eta ** 2 * tgrid ** (2 * 0.5)

注意那个 −0.5·η²·t^{2H} 的确定性漂移项——它是让 $v_t = \exp(\eta B^H_t - \frac12\eta^2 t^{2H})$ 的无条件期望保持为 1（即方差水平不随时间漂移）所需的补偿，正是粗糙 Bergomi 模型里的「detrend」项。

图上对比一目了然：粗糙那条（红）像被高频噪声反复抽打，每一步都在抖；平滑那条（蓝）则是我们熟悉的、缓和的随机游走。这视觉差异不是风格问题，是期权短端定价的全部来源。

三、从路径里估 H：variogram + 平均消除小样本偏误#

估 $H$ 的标准做法是对数波动率算 variogram，再用 log-log 斜率回收 $2H$：

def estimate_H(logvol, hmax):
    Tlen = len(logvol)
    hs = np.arange(1, hmax + 1)
    V = np.array([np.mean((logvol[h:] - logvol[:-h]) ** 2) for h in hs])
    valid = V > 0
    slope = np.polyfit(np.log(hs[valid]), np.log(V[valid]), 1)[0]
    return slope / 2.0

单条路径用二阶矩估计器有偏（小样本下滞后项把斜率压低）。更稳的做法是先把多条路径的 variogram 平均，再拟合——这抵消了单路径噪声：

n_rep = 60; hmax = 200; hs = np.arange(1, hmax + 1)
V_rough = np.zeros(hmax)
for _ in range(n_rep):
    BH = fbm_chol(400, 0.1) @ rng.normal(0, 1, 400)
    for j, h in enumerate(hs):
        V_rough[j] += np.mean((BH[h:] - BH[:-h]) ** 2)
V_rough /= n_rep
slope_avg = np.polyfit(np.log(hs), np.log(V_rough), 1)[0]
H_avg = slope_avg / 2.0        # ≈ 0.11

实测（本脚本口径）：

• 粗糙 H=0.1 的平均 variogram 回收 H≈0.11（slope 2H≈0.22）——几乎命中真值；
• H=0.5 对照回收 ≈0.47——同样被小样本滞后偏误轻微下压（约 −0.03），但二者之间的**巨大鸿沟（0.11 vs 0.47）**毫不含糊地证明了「粗糙 vs 平滑」是真实结构差异，不是噪声；
• 单条路径的 $H$ 估计均值 ≈0.08、分布很散（图 4），这正是真实实证研究里的难点：单路径估不准，必须平均或上极大似然。

四、粗糙 Bergomi 与短端偏度：为什么它能解释股权微笑#

把粗糙波动率接进 Bergomi 框架（Gatheral 等 2014），方差过程写成：

v_t = ξ_t · exp( η·W_t^H − ½·η²·t^{2H} ),   W_t^H 为分数布朗运动(H<1/2)

它的招牌结论极其干净——ATM 隐含波动率偏度满足 scaling：

skew(T) ∝ −η·ρ·T^{H−1/2}

• $H = 0.1$ 时：$T^{H-1/2} = T^{-0.4}$，到期越短、偏度越陡；
• $H = 0.5$ 时：$T^{0} = 1$，偏度与到期无关——这正是经典 SV 模型「短端不够陡」的病根。

取 $\eta=1.8,\ \rho=-0.7$（杠杆效应：跌时波动升），直接画这条 scaling 曲线：

H_b, rho, xi = 0.1, -0.7, 0.04
Tgrid = np.linspace(0.05, 2.0, 60)
skew_rough = -eta * rho * Tgrid ** (0.1 - 0.5)    # H=0.1
skew_class = -eta * rho * Tgrid ** (0.5 - 0.5)    # H=0.5 对照(常数)

实测幅度（低行权价一侧、即左偏）：

短端偏度是长端的 约 4.4 倍——这个「短端过陡、长端趋平」正是真实股权微笑的形状。经典模型（H=0.5）给不出这种短端强化，粗糙模型（H≈0.1）则天然命中。一句话：股权微笑短端之所以比 1/√T 还陡，是因为波动率本身是粗糙的。

五、真实陷阱（别直接照抄）#

1. 二阶矩 variogram 估计器小样本有偏。本文单路径均值 0.08、平均 variogram 才回到 0.11（真值 0.1），H=0.5 对照也只 0.47。真实研究要用极大似然 / Whittle 估计 + 长样本，否则会把 H 系统性低估。

2. 「粗糙」是真实现象还是微观结构噪声？ 批评者认为 H≈0.1 是买卖价差、离散报价等微观结构伪影。Gatheral 等用无微观结构污染的已实现方差（如 MedRV）复现了 H≈0.1，但实盘部署前你要先排除自己数据的噪声贡献，别把报价伪影当波动率记忆。

3. 粗糙 Bergomi 的校准是非平凡的。分数积分项让似然没有闭式，MC 估计波动大。生产上常用 Hyberbolic 近似 + 粒子/MCMC 校准，且 $\eta,\rho,H$ 三参数强相关，单独动一个会走私另一个——要联合校准并做置信区间。

4. H 会随市场环境漂移吗？ 大量实证假设 H 是常数 0.1，但危机期波动聚集改变，H 可能短暂抬升。把 H 当常数会低估危机期短端偏度风险。进阶用时变 H或 regime-switching。

5. 模型对短端期权定价更准，但对长端/希腊字母仍要小心。粗糙模型主要修正短端 skew；长端它退化回经典行为，所以别指望它改善长端 vega 风险。且分数驱动让 delta/gamma 的路径依赖更强，对冲要重算。

6. 数值生成 fBm 的 O(N²) Cholesky 在高频长序列上很贵。本文 N=600 够演示；实盘用 5 分钟级、数年数据会爆内存。要用 Wood-Chan / circulant embedding 的 O(N log N) 算法，别直接套 Cholesky。

六、小结#

「波动率是不是平滑的」看似一个技术细节，却是期权定价的一道分水岭。本文用自包含 Monte Carlo 跑通了 Gatheral 等人的核心论证：

• 分数布朗运动把波动率的记忆写进协方差，H 决定它是锯齿(H≈0.1)还是波浪(H=0.5)；
• 平均 variogram 回收 H≈0.11，对照 H=0.5 仅 ≈0.47——鸿沟证明「粗糙」是真实结构；
• 粗糙 Bergomi 的短端偏度 $\propto T^{H-1/2}$：短端 4.18 vs 长端 0.95，自然解释股权微笑短端过陡；
• 单路径 H 估计有偏、经典模型短端不够陡、校准非平凡——六类陷阱逐一列出。

从 «SABR 把微笑张开» 到 «Heston 用随机波动率解释微笑»，再到本文——期权定价的进化史，本质上就是「波动率假设越来越贴住真实记忆结构」的历史。粗糙模型告诉我们：波动率的记性很短，而它短到什么程度，决定了短端期权该值多少钱。