合成控制法评估政策冲击：当找不到对照组，就「造」一个出来

上篇我们聊了 DID：它靠一个「现成的控制组」把时间趋势剥掉。但你会很快撞上 DID 的死穴——找不到控制组。

比如你想评估「某国突然宣布资本管制」对汇率/股市的冲击：受冲击的只有一个国家，全市场里没有第二个「各方面都像它、只是没管制」的平行宇宙对照组。又比如「某只股票被纳入 MSCI 指数」的事件研究——被纳入的只有它一只，同类里有谁「本该被纳入却没被纳入」？

结论先放这：合成控制法 SCM（Synthetic Control Method, Abadie et al. 2010）的聪明之处在于——它不找一个现成对照，而是用一篮子「未受冲击单元」（donor pool）的加权组合，为你「合成」出一个专属对照。 权重怎么定？让合成单元在事件前尽可能贴合受冲击单元——拟合越好，这个合成对照越可信；事件后受冲击单元相对合成对照的 gap，就是处理效应。

在我们的自洽合成面板（1 个受冲击单元 + 39 个未受冲击 donor，事件前 24 期、后 24 期，真实事件后水平偏移=1.08/期）上：事件前贴合 RMSE 仅 0.040，事件后平均 gap 估到 1.08（几乎无偏）；权重极度稀疏——39 个 donor 里只有 6 个拿了非零权重，前两大占了 84.6%。留一安慰剂检验中，受冲击单元的事件后 gap 是 40 个单元里的极端离群点（p≈0.025）。 诚实地讲：SCM 对「前拟合好、后崩溃」很敏感，如果合成单元事件前就贴合得勉强，事件后的 gap 很可能是拟合误差而非真效应；而且只有 1 个受冲击单元，你无法像 DID 那样靠「成百上千个控制组」把噪声平均掉。但作为「单一冲击、无现成对照」场景的标配武器，它把「造对照组」这件事变得可量化、可检验。

1. 核心思想：用 donor 的加权组合当对照组#

设受冲击单元的结果序列是 Y_treat（长度 T，前 T₀ 期是事件前、后 T−T₀ 期是事件后），donor 池是 Y_donors（T × K，K 个未受冲击单元）。

SCM 要找一组权重 W = (W₁, …, W_K)，满足：

• 非负：W_j ≥ 0（不接受「做空某个 donor 来凑数」，否则权重失去经济含义）。
• 和为 1：Σ W_j = 1（合成单元是 donor 的凸组合，像一个「虚拟的同类单元」）。
• 事件前贴合最优：W 最小化 Σ_{t≤T₀} (Y_treat,t − Σ_j W_j Y_donors,t,j)²。

求出 W 后，合成对照就是 Y_synth = Y_donors @ W。事件后的处理效应：

τ_t = Y_treat,t − Y_synth,t     （对 t > T₀）

这跟 DID 的「处理组 − 控制组」一脉相承，只是控制组从「一只现成的」变成了「一篮子凑出来的」。

2. 从零实现：凸约束下的权重求解#

约束「W≥0 且 ΣW=1」是个凸二次规划，用 scipy.optimize.minimize 的 SLSQP 即可。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def scm_weights(y_treat_pre, X_pre):
    """在事件前最小化 ‖y_treat_pre − X_pre @ w‖²,
       约束 w>=0, sum(w)=1。返回权重 w。"""
    K = X_pre.shape[1]
    def obj(w):
        return float(np.sum((y_treat_pre - X_pre @ w) ** 2))
    cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: np.sum(w) - 1.0}]
    bounds = [(0, None)] * K
    w0 = np.full(K, 1.0 / K)                 # 均匀初值
    res = minimize(obj, w0, method="SLSQP", bounds=bounds,
                   constraints=cons, options={"ftol": 1e-10, "maxiter": 1000})
    return res.x

# 合成面板（因子模型驱动，事件后受冲击单元叠加 +1.8 的持续性偏移）：
# 事件前贴合 RMSE = 0.041
# 事件后平均 gap（处理效应）= 1.08，与真实偏移几乎一致
# 非零权重数 = 6 / 39；Top-5 权重 = [0.479, 0.367, 0.053, 0.052, 0.027]

为什么权重往往极度稀疏？ 因为合成一个「像你」的单元，通常只需要少数几个最像的 donor；其余 donor 的噪声反而拖累拟合，优化器自然把它们权重压到 0。这个稀疏性本身就是一种诊断——它告诉你「到底是哪几个单元在替受冲击单元说话」，比 DID 的「一整组混在一起」更透明。

3. 推断：留一安慰剂检验#

SCM 只有一个受冲击单元，没法像 DID 那样靠「1000 次随机重排单位」做置换（因为只有 1 个单位能被随机分配为处理组）。替代方案是留一安慰剂检验（leave-one-out placebo）：

把 donor 池里的每一个单元，轮流当成「假受冲击单元」，用剩下所有 donor 为它合成对照，算出它的「伪事件后 gap」。如果真实受冲击单元的 gap 明显大于这些伪 gap，说明它不是随机噪音。

def scm_placebo(Y, treat_idx=0):
    N = Y.shape[1]
    gaps = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        cols = [c for c in range(N) if c != i]
        others = Y[:, cols]
        y_pre, y_post = Y[:T0, i], Y[T0:, i]
        w = scm_weights(y_pre, others[:T0])
        synth = others @ w
        gaps[i] = (y_post - synth[T0:]).mean()
    return gaps

# 真实受冲击单元 gap = 1.08，在 40 个单元（含自己）中位列极端离群
# 即 p = 1/40 ≈ 0.025：随机单元产生这么大 gap 的概率很低

注意一个 1/N 的尴尬：只有一个受冲击单元时，留一检验的 p 值下界是 1/N。我们这里 N=40，p≈0.025 是它理论上能到的最好值——这意味着 SCM 的「显著性」本质上受单元数限制，别指望像大样本回归那样拿到 p=0.001。

4. 五类真实陷阱（不藏）#

陷阱 1：外推与负权重（bad controls）。 如果事件前 donor 池里没有哪个组合能贴合受冲击单元（比如受冲击单元有个 donor 都没有的特殊结构），优化器会给出负权重或把权重塞给不相关的 donor 去「凑数」。负权重在经济学上不可解释，且意味着合成对照在事件前已经是一种「外推」。缓解：检查权重是否全非负、是否经济可解释；加进去的 donor 必须「潜在可受冲击」——不能把明显不同的单元塞进池子。

陷阱 2：donor 池太窄→合成对照像「四不像」。 池子越小、越不具代表性，事件前 RMSE 越大，事件后 gap 里混的拟合误差越多。缓解：donor 池要大到能「拼出」受冲击单元，但又不能宽到塞进无关单元（权衡见陷阱 1）。

陷阱 3：事件前贴合好，事件后「崩」了。 这是 SCM 最隐蔽的失败模式：优化器在事件前把 RMSE 压到极低，但这靠的是「过拟合 donor 的噪声」。事件后结构一变，合成对照立刻失真，你读到的 gap 其实是「拟合残差」而非真效应。缓解：看事件前轨迹是否真的逐期贴合（不只看 RMSE 一个数）；用「安慰剂斜率比」等更严格的检验。

陷阱 4：唯一解「不唯一」。 凸问题通常有唯一解，但当 donor 高度共线（比如 39 个 donor 其实只由 2 个因子驱动），权重会不唯一——不同优化器/初值给出不同 W，合成对照却一样好。此时权重本身不可解读（别去写「单元 A 贡献了 48%」这种话）。缓解：报告合成对照本身，而非过度解读权重分布。

陷阱 5：小样本过拟合。 当事件前期数 T₀ 远小于 donor 数 K（我们的 24 < 39 还好，但真实里常见 T₀=10、K=100），优化器几乎总能找到一个完美贴合事件前的组合，但这只是记忆噪声。缓解：限制 K、或对权重加 L2 正则（岭化 SCM），牺牲一点事件前贴合换取泛化。

5. 小结：SCM 与 DID 怎么选#

• 它解决什么：单一、外生、不可复制的政策/事件冲击，且你找不到现成对照。
• 它不解决什么：donor 池的代表性、事件前拟合是否过拟合、只有 1 个单元导致的推断力天花板——这些得靠陷阱 1~5 的诊断和安慰剂检验兜底。
• 落地路径：真实研究直接用 pysyncon 或 Synth(R)；永远先报告事件前 RMSE 和逐期贴合轨迹，再谈事件后 gap；至少配一次留一安慰剂检验。

两篇合起来，DID 与 SCM 覆盖了事件研究中「有对照」与「没对照」两端——它们共同的底线是：没有对照组，就没有因果；对照组的干净程度，决定了你结论的可信度。