门限协整与 TVECM：非线性误差修正的配对交易

标准协整配对交易有一个悄悄的假设：价差是线性均值回复的——偏离多远，回复的力就有多大，像一根弹簧。但真实市场的配对往往不是这样。很多「协整对」在价差很小时其实在随机游走（互不理睬），只有当价差拉大到一定程度，套利者才进场、把价差往回拽。这种「该回复时才回复」的非线性，标准 Engle-Granger / Johansen 框架完全看不见——它只会给你一个被平均掉的、虚低的调整速度，于是你按线性信号频繁进出，白白给券商打工。

本文聊 门限协整(threshold cointegration) 和它对应的门限向量误差修正模型(TVECM)。核心思想只有一句：用门限把价差切成两个 regime，分别估回复速度。我们用 3000 个交易日的合成配对，把它跑成看得见的数据：TVECM 还原出门限 τ≈0.22（真值 0.20）、带外调整速度 κ=0.49（真值 0.25）、带内斜率≈0（随机游走）；门控后只赚「带外那段真会快速回复」的钱，配对 Sharpe 从朴素 z-score 的 0.31 拉到 0.81，交易次数从 31 次砍到 5 次。

一、线性协整的盲区：伪平稳#

先说清楚问题。标准协整说：价差 z_t = p_A − p_B 是平稳的，误差修正模型(VECM)写成

Δz_t = −κ · z_{t-1} + ε_t

κ>0 就是回复力：z 越偏离 0，Δz 反向拉得越猛。κ 越大，回复越快。

但 Balke 和 Fomby (1997) 指出，很多宏观经济/金融对其实是门限协整：价差在「带内」(|z| ≤ τ) 是随机游走（不回复），只有冲出「带外」(|z| > τ) 才被一股力快速拽回。写成

Δz_t = −κ · (|z_{t-1}| − τ) · I(|z_{t-1}| > τ) + ε_t

后果很严重：标准 ADF 检验会把这个门限协整价差判为「非平稳」（因为带内那段随机游走拉低了整体的均值回复证据），而即便你用线性 VECM，得到的 κ 也是带内+带外的折中值，严重低估带外的真实回复速度。你据此设定的 ±2σ 入场带，会把大量「带内假信号」当成真机会。

import numpy as np

def simulate_threshold(T=3000, tau=0.20, kappa=0.25, seed=42):
    """带门限的价差：带内随机游走，带外快速回复。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    spread = np.zeros(T)
    for t in range(1, T):
        s_lag = spread[t - 1]
        a = abs(s_lag)
        if a > tau:
            drift = -kappa * (a - tau) * np.sign(s_lag)
        else:
            drift = 0.0                      # 带内：不回复
        spread[t] = s_lag + drift + rng.normal(0, 0.012)
    common = np.cumsum(rng.normal(0.0002, 0.010, T))
    p1 = common + rng.normal(0, 0.004, T)
    p2 = common - spread + rng.normal(0, 0.004, T)
    return p1, p2, spread

两只资产共享一条共同趋势（所以长期「绑在一起」），但中间夹着这条带门限的价差。这就是配对交易的原材料。

二、TVECM：把门限也当作要估计的参数#

门限协整的难点是：τ 本身未知。TVECM 的做法是「网格搜门限 + 分区 OLS」：

1. 在价差绝对值的合理范围内扫一堆候选 τ；
2. 对每个 τ，把样本切成「带内」(|z|≤τ) 和「带外」(|z|>τ) 两堆；
3. 带外用 Δz = −κ·(|z|−τ)·sign(z) + ε 做 OLS 估 κ，带内直接看 Δz 是否≈0；
4. 选残差平方和(SSR)最小的那个 τ 作为估计门限。

def fit_tvec(spread, taus):
    abslag = np.abs(spread[:-1])
    dspread = np.diff(spread)
    best = (np.inf, np.nan, np.nan, 0.0)
    for tau in taus:
        outside = abslag > tau
        inside = ~outside
        if outside.sum() > 30 and inside.sum() > 30:
            Xo = -(np.sign(spread[:-1][outside]) * (abslag[outside] - tau)).reshape(-1, 1)
            yo = dspread[outside]
            ko = np.linalg.lstsq(Xo, yo, rcond=None)[0][0]
            ssr = float(((yo - Xo[:, 0] * ko) ** 2).sum()
                        + (dspread[inside] ** 2).sum())
            if ssr < best[0]:
                best = (ssr, ko, dspread[inside].mean() / (abslag[inside].mean() + 1e-9), tau)
    return best    # (SSR, kappa_out, slope_in, tau_hat)

跑出来（T=3000, seed=7）：

两点信息量极大：

1. 门限几乎被精确还原（0.2155 vs 0.20），说明网格搜门限是可行、稳定的；
2. 带内斜率≈0 坐实了「伪平稳」假说——价差在带内根本不回复，正是这段让线性 ADF 和线性 VECM 失效；
3. 带外 κ=0.49，远比线性 VECM 会报出的「整体平均 κ」大，意味着带外回复极快（半衰期≈1 期）——这才是真正能赚钱的信号。

三、价差的门限结构长什么样#

把价差画出来，门限带 ±τ 一目了然：

肉眼能看出价差大部分时间在 ±0.22 的窄带里「磨蹭」（随机游走），偶尔冲出去又被快速拽回——拽回的那一下，就是门限协整给的超额收益。

把「两区制」的本质画成散点更清楚：横轴是 |z_{t-1}|，纵轴是 Δz_t：

带内那一坨点（绿）横着铺开，斜率≈0——偏离了也不回复；带外（红）是一条陡降的直线，斜率 −κ=−0.49——偏离越多，回复力越大。这条红线的存在，就是门限协整区别于线性协整的全部证据。

四、门控配对：只赚带外那段#

TVECM 给交易的直接启发：带内信号是噪声，别动；只在带外（|z|>τ）才按 z-score 方向下注。对比两种配对：

def backtest(spread, tau, roll=120, entry=2.0, exit_z=0.5, gated=True):
    T = len(spread)
    mu = np.array([spread[max(0, i - roll):i].mean() for i in range(1, T + 1)])
    sd = np.array([spread[max(0, i - roll):i].std() + 1e-9 for i in range(1, T + 1)])
    z = (spread - mu) / sd
    pos = np.zeros(T)
    for i in range(1, T):
        in_strong = abs(spread[i - 1]) > tau          # 门控：仅带外
        if gated and not in_strong:
            pos[i] = pos[i - 1]                         # 带内：持仓不变，不新开
        elif z[i - 1] > entry:      pos[i] = -1
        elif z[i - 1] < -entry:     pos[i] = 1
        elif abs(z[i - 1]) < exit_z: pos[i] = 0
        else:                       pos[i] = pos[i - 1]
    ret = np.zeros(T)
    ret[1:] = pos[:-1] * np.diff(spread)                # 价差 delta 近似 PnL
    eq = np.cumsum(ret)
    sh = float(np.sqrt(252) * ret[1:].mean() / ret[1:].std())
    return eq, sh, int((np.diff(pos) != 0).sum() / 2)

结果（价差 delta 近似 PnL，τ=0.2155）：

注意一个反直觉的点：门控的累计收益（35.2%）反而低于朴素（44.8%），但 Sharpe 高一倍多（0.81 vs 0.31），交易次数砍到 1/6。这正是门限协整想表达的事：

• 朴素策略在带内频繁假突破里反复进出，赚了次数但每笔胜率/盈亏比差，把风险调整后收益拖垮；
• 门控策略只在确定会快速回复的带外下注，单笔质量高、换手极低，风险调整后收益碾压。

如果你按「总收益」排名会误判门控更差；按「Sharpe / 换手」排名，门控完胜。这也是实盘更该看后者——因为真实成本下，31 次交易的摩擦会吃掉朴素策略的大部分纸面收益。

五、和线性协整的衔接#

门限协整不是要推翻 Johansen，而是补它的盲区：

• Johansen / Engle-Granger 先用来确认「长期绑在一起」（存在协整关系）——这是门限协整成立的前提；
• TVECM 再用来刻画「回复的非线性」——决定在哪下注、下注多猛。

所以实务流程是：先用线性检验确认配对资格 → 再用 TVECM 估计门限和带外 κ → 用带外 κ 决定最大持仓周期（半衰期≈1/(−ln(1−κ))）、用 τ 决定入场带。

六、六类真实陷阱#

1. 门限 τ 的样本外漂移：τ 是估计出来的，换一段历史会动。真实配对里 τ 会随波动率 regime 变化——高波动期该放宽 τ，否则带内假信号暴增。必须用滚动窗口重估，或把 τ 与近期价差波动率挂钩。
2. 带内随机游走的致命性：这是头号坑。如果你没识别出门限，用线性信号在带内频繁交易，那些「偏离了却不回复」的时段会持续亏钱。门限协整的价值一半在于「识别哪些时候不该交易」。
3. 门限搜参的过拟合：在历史上把 τ 调到最优，样本外失效。要对 τ 做稳健性扫描（±20% τ 下策略是否还赚钱），且警惕「既用这段数据选 τ 又用这段数据评估」。
4. 幸存者/平稳性幻觉：ADF 对门限协整功效低（容易判非平稳）。别因为 ADF 说「不平稳」就丢掉一个好配对——改用 Hansen-Seo (2002) 的门限协整检验，它是专门为真门限结构设计的。
5. 交易成本敏感：门控策略的优势是低换手，但一旦你为了「多赚几笔」把入场带从带外往带内挪，换手会指数级上升，成本吞噬优势。门控的纪律性比参数精细度重要。
6. 跳空与流动性断裂：真实价差会被跳空、停牌、流动性枯竭打断。带外「快速回复」的假设在系统性危机里可能暂时失效（大家一起跌、价差不回归），必须叠加波动率过滤器或最大持仓时限止损。

七、结语#

门限协整与 TVECM 给配对交易上了一课：「协整」不等于「任何偏离都该回复」。真实的配对更像一根有阈值的弹簧——平时松垮（带内随机游走），只有被拉过临界点时才有劲（带外快速回复）。

对量化研究者，记住三件事：

• 线性协整看到的是被平均的假象，门限结构才是配对「何时真会回归」的真相；
• 门控的核心收益来自「少做」——只赚带外那段确定性回复，风险调整后收益远高于频繁进出；
• Hansen-Seo 检验 + 滚动重估 τ 是把这套思想落到实盘的两个必备动作。

它和之前聊过的 Johansen 多变量协整、统计套利配对是同一谱系：先确认长期绑定，再刻画回复结构，最后用结构化的信号只赚「真会回复」的那段。

注：本文价差序列为带门限误差修正的自洽合成数据（带内随机游走、带外 κ=0.25），用于演示 TVECM 机制；真实配对中 τ 与 κ 时变、且受跳空/流动性断裂干扰，落地需接入真实价格、用 Hansen-Seo 检验确认门限、滚动重估参数并扣真实交易成本。