向量误差修正模型 VECM：把协整关系写成向长期均衡的拉力 • halo 的技术博客

先说结论：两条价格序列各自都是随机游走（单位根过程），教科书说”非平稳序列要先差分再建模”。但如果这两条序列是协整的——存在某个线性组合是平稳的——差分建模会把它们之间最值钱的信息直接扔掉：长期均衡关系。VECM（Vector Error Correction Model）的做法是在差分方程里加回一个误差修正项 $\alpha \cdot (y_{1,t-1} - \beta y_{2,t-1})$ ，让”偏离均衡多远”本身成为把价格拉回来的力。合成协整对实测：Engle-Granger 两步法估出协整系数 1.232（真值 1.25），残差 ADF 统计量 −7.24 远超临界值；误差修正系数 α₁=−0.061、α₂=+0.062，方向相反、双双显著（|t|=3.8），价差半衰期 4.8 天。配对交易样本外 500 天：净费后 Sharpe 2.08，最大回撤 3.5%，全程只动手 19 次。但必须先泼冷水：合成数据里协整关系永不破裂，真实市场里它会死——而且死的时候不会提前打招呼。

协整对：各自游走，却被同一条随机趋势拴着

一、协整是什么：两个醉汉和一条狗绳#

经典比喻：两个醉汉各自随机游走，但他们之间拴着一条狗绳。任何一个人的位置都不可预测（单位根），但两人的距离是有界的、会回归的（平稳）。

数学上，若 $y_1, y_2$ 都是 I(1)（一阶单整，差分后平稳），且存在 $\beta$ 使得 $y_1 - \beta y_2$ 是 I(0)（平稳），则称两者协整。本文的合成数据把这个结构写得很明白：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)

T = 1250  # 约5年日频
w = np.cumsum(rng.standard_normal(T) * 0.012) + 4.0  # 共同随机趋势(狗绳的主人)
u1 = np.zeros(T); u2 = np.zeros(T)
for t in range(1, T):
    u1[t] = 0.92 * u1[t-1] + rng.standard_normal() * 0.010  # 各自的平稳偏离
    u2[t] = 0.85 * u2[t-1] + rng.standard_normal() * 0.012

lp1 = w + u1              # log价格1: 载荷 1.0
lp2 = 0.8 * w + u2 + 1.0  # log价格2: 载荷 0.8

python

两条 log 价格共享同一个随机趋势 $w$ ，载荷分别是 1 和 0.8。于是 $lp_1 - 1.25 \cdot lp_2$ 把 $w$ 完全消掉，剩下的 $u_1 - 1.25 u_2$ 是平稳的——协整向量是 $(1, -1.25)$ 。这就是”统计套利”的物理基础：你交易的不是价格，是那条被拉长的狗绳。

二、Engle-Granger 两步法：先回归，再验尸#

第一步，用前 750 天（训练段）做水平回归：

split = 750
X = np.column_stack([np.ones(split), lp2[:split]])
alpha_hat, beta_hat = np.linalg.lstsq(X, lp1[:split], rcond=None)[0]
spread_in = lp1[:split] - (alpha_hat + beta_hat * lp2[:split])
# 结果: lp1 = -1.175 + 1.232 * lp2  (真值斜率 1.25)

python

第二步，检验残差是否平稳。这一步是生死线——任何两条趋势序列做回归都能得到高 R²，但只有残差平稳才是协整，否则就是伪回归。手写 ADF 检验：

def adf_stat(x, lags=1):
    dx = np.diff(x)
    xl = x[lags:-1]
    Xm = np.column_stack([np.ones(len(xl)), xl, dx[:-lags]])
    y = dx[lags:]
    b = np.linalg.lstsq(Xm, y, rcond=None)[0]
    resid = y - Xm @ b
    s2 = resid @ resid / (len(y) - Xm.shape[1])
    se = np.sqrt(s2 * np.linalg.inv(Xm.T @ Xm)[1, 1])
    return b[1] / se   # 单位根 t 统计量

python

协整残差的 ADF = −7.24，远超 Engle-Granger 5% 临界值 −3.34（注意：EG 残差检验的临界值比普通 ADF 更严，因为 β 是估出来的），干脆利落地拒绝”无协整”。

对照组是本文最想让你记住的图：两条独立的带漂移随机游走互相回归，R² 高达 0.62——看起来”高度相关”——但残差 ADF 只有 −1.60，根本不平稳。

高 R² 不等于协整 + 误差修正系数

左图绿线（真协整残差）在零轴附近反复穿越，红线（伪回归残差）一去不回头。用相关系数或 R² 找配对，是配对交易散户亏钱的第一大原因：相关性度量的是短期共动，协整度量的是长期绑定，两者可以完全脱钩。

三、VECM：把偏离写成拉力#

确认协整后，第二步把动态写成误差修正形式：

$\Delta y_{1,t} = c_1 + \alpha_1 \underbrace{(y_{1,t-1} - \hat\alpha - \hat\beta y_{2,t-1})}_{\text{误差修正项 ECT}} + \gamma_{11}\Delta y_{1,t-1} + \gamma_{12}\Delta y_{2,t-1} + \varepsilon_{1,t}$

$\Delta y_2$ 方程同理。α 是调整速度：ECT 为正（资产1 相对贵了）时，α₁<0 会把 $\Delta y_1$ 往下拽，α₂>0 会把 $\Delta y_2$ 往上抬——两腿对向收敛。估计结果：

系数	估计值	t 统计量	解读
α₁	−0.0605	−3.8	资产1 每天修正偏离的 6%
α₂	+0.0622	+3.8	资产2 反向修正 6.2%

两个 α 都显著且方向正确。这里有一个真实市场中非常有用的诊断：如果 α₁ 显著而 α₂ 不显著，说明收敛全靠资产1 完成，资产2 是”领导者”——配对交易时应该意识到你的均值回归敞口集中在跟随者那条腿上。价差 AR(1) 系数 0.866，对应半衰期 4.8 天：偏离一半的距离平均 5 天修复，这个数字直接决定策略的资金周转率和止损耐心。

用 statsmodels 的 Johansen 迹检验交叉验证：迹统计量 54.87 >> 5% 临界值 15.49（拒绝”0 个协整关系”），第二个统计量 2.11 < 3.84（接受”至多 1 个”）——恰好 1 条协整关系，标准化协整向量 (1, −1.24)，与 EG 结果和真值一致。两变量用 EG 够了；三个以上变量必须上 Johansen，因为协整关系可能不止一条，EG 只能找到其中某一条的投影。

四、配对交易回测：z-score 开平仓状态机#

信号规则：价差 z-score（用训练段均值方差标准化）超过 ±2 开仓做收敛，回到 ±0.5 内平仓，突破 ±4 视为协整破裂止损。t 日确认信号，t+1 日成交：

mu_in, sd_in = spread_in.mean(), spread_in.std()   # 只用训练段统计量
z = (ect - mu_in) / sd_in

state = 0
for t in range(split, T - 1):
    if state == 0:
        if z[t] > 2.0:  state = -1   # 价差过高: 空1多2
        elif z[t] < -2.0: state = 1  # 价差过低: 多1空2
    else:
        if abs(z[t]) < 0.5: state = 0   # 收敛平仓
        elif abs(z[t]) > 4.0: state = 0 # 协整破裂止损
    pos[t + 1] = state   # t 确认, t+1 生效

spread_ret = pos[1:] * (r1 - beta_hat * r2) / (1 + beta_hat)  # 两腿名义额归一

python

样本外 500 天结果（单边 5bp 交易成本）：

口径	总收益	Sharpe	最大回撤	动作次数
毛收益	+31.9%	2.22	3.2%	19
净收益	+29.4%	2.08	3.5%	19

样本外 500 天配对交易

几个值得注意的读法。第一，成本侵蚀很小（Sharpe 2.22→2.08），因为半衰期 4.8 天的价差对应低频交易——500 天只动手 19 次。协整策略天然是低换手策略，这是它和高频统计套利的本质区别。第二，净值曲线是典型的”楼梯形”：持仓期赚取收敛收益，空仓期走平。橙色持仓区间显示大部分时间其实在场外等待——配对交易的收益密度集中在偏离发生后的几天里，其余时间的耐心是策略的一部分。第三，回撤只有 3.5%，因为多空对冲消掉了共同趋势 $w$ 的方向性风险，剩下的敞口只有价差本身。

五、诚实的翻车与边界#

1. 合成数据里协整永不破裂，真实市场里它会死。 这是本文和现实之间最大的鸿沟。真实协整对的死法有很多种：招商银行/平安银行这类同行业对会因为基本面分化渐行渐远；可口可乐/百事的经典协整在 2000 年代逐渐失效；LTCM 的故事本质上就是”协整关系在你加满杠杆之后破裂”。z>4 止损能挡住急性破裂，挡不住缓慢漂移型破裂——价差从新的均衡水平看永远回不到旧均值，但 z-score 一直在 2~3 之间徘徊，让你反复开仓反复小亏。工程上的缓解是滚动重估 β 和滚动 ADF 监控：一旦残差平稳性检验开始失败，无条件退出。

2. EG 两步法把 β 的估计误差全部灌进价差。 第一步 OLS 估出的 β̂=1.232 不是真值 1.25，这 1.4% 的误差意味着你构造的”价差”里还残留着一小截没消干净的随机趋势 $0.018 \cdot w_t$ 。样本内看不出来，样本外时间够长就会显形为价差的缓慢漂移。样本越短、两腿波动比越极端，这个问题越严重。Johansen 的极大似然估计在统计性质上更好，但也只是缓解不是根治。

3. 半衰期不是常数。 本实验的 AR 结构固定，所以 4.8 天的半衰期全程成立。真实价差的均值回归速度随市场状态剧烈变化——平静期 5 天，危机期可能 50 天（流动性撤退时没人来修复价差，2008 年和 2020 年 3 月的统计套利集体回撤都是这个机制）。用全样本估一个半衰期然后当常数用，是把策略的生死交给了最坏时期的资金承受力。

4. 本回测没有建模做空成本与保证金占用。 配对交易永远有一条空腿，A 股融券几乎不可行、港股部分标的券源紧张、美股 hard-to-borrow 名单的费率可以吃掉全部价差收益。落地时”能不能借到券、多少钱”往往比模型本身更决定成败。

六、什么时候该用 VECM#

适合： 有真实经济纽带的配对——同一公司的 A/H 股、股指期货与现货、同一产业链上下游商品（原油/汽油裂解价差）、ETF 与其成份篮子。这些对的协整有经济机制托底，不只是统计巧合。也适合宏观建模：消费与收入、汇率与利差这类理论上存在长期均衡的变量组。

不适合： 纯数据挖掘筛出来的配对——在 5000 只股票里两两做协整检验，5% 显著性水平下光靠运气就能”发现”60 多万对协整关系，其中绝大多数样本外即死。也不适合协整半衰期长于你的资金耐心的场景：半衰期 60 天的价差理论上也能做，但回撤深度和资金占用会让 Sharpe 毫无吸引力。

一句话总结：VECM 是少数把”长期均衡”这个经济学概念直接翻译成可交易信号的模型——误差修正项就是仓位方向，调整速度就是持仓周期，残差平稳性就是策略存活的体检指标。它的数学是七十年代的，但”先证明狗绳存在，再赌狗绳收紧”这个纪律，今天依然是统计套利的第一课。

本文实验代码基于 numpy 手写实现（EG 两步法 + ADF 检验 + 误差修正方程 + 状态机回测），Johansen 检验用 statsmodels 交叉验证，所有数字均为真实运行输出。文中回测为教学演示，不构成投资建议。