小波相干与跨资产联动：用「时频放大镜」抓出藏起来的共同周期

跨资产联动最阴险的地方，不是「一直同涨同跌」那种一眼看穿的，而是局部的、带特定周期的、只在某段窗口冒出来的那一种。比如两支平时各走各有的资产，到了某段危机里突然开始踩同一个 16 日节奏同涨同跌——你用最朴素的 Pearson 相关系数一算全样本，得到 r≈0.08，心想「这俩独立得很」。可就在那 120 个交易日里，它们正死死锁在同一频率上。

结论先放这：能抓「局部同频联动」的不是时域相关系数，而是小波相干（wavelet coherence）。 它把「相关性」从一个数，展开成一张（周期 × 时间）的二维场，能在某个周期、某段时间里，把藏起来的联动单独拎出来。本文用纯 numpy 从零实现 Morlet 连续小波变换（CWT）+ 平滑相干，合成两支「平时独立、危机窗口共享 16 日周期」的资产：全样本时域相关仅 0.08、危机窗口也只 0.43，但 16 日带的相干在危机段冲到 0.95（其余时段 0.84）——时域指标彻底失明的地带，时频相干一眼锁定。所有图表均由下文 Python 真实计算，非占位图。

一、为什么 Pearson 相关系数在这里失明#

Pearson 相关 r = ρ(x,y) 算的是全样本二阶矩——它把整条序列压成一个数。如果两支资产只在「中段 120 天、16 日周期」上联动，其余 392 天各自乱走，那 120/512 ≈ 23% 的局部信号，会被 77% 的噪声稀释掉，最终 r 贴近 0。

下面这三张图就是证据。资产 A、B 的时域序列看着毫无章法；把它们画成散点，也是一团没有斜率的云；最终全样本 r = 0.081，谁都会判「独立」：

可真相是：危机窗口里它们被钉在同一个 16 日正弦上。时域指标看不见，是因为它不区分周期、不区分时间。这正好是小波相干要解决的。

二、连续小波变换：把序列拆成「周期 × 时间」的谱#

小波变换的核心思想：用一族会伸缩、会平移的母小波 ψ，去「戳」原序列。在尺度 a、位置 b 上的系数

$W(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int x(t)\,\psi\!\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

把序列同时按「周期（≈尺度 a）」和「时间（b）」展开成一张谱。金融上最常用 Morlet 小波（一个被高斯包络调制的复正弦），因为它在时频两域都有不错的局部性，且相位有清晰物理含义（可拿来算相位差/领先滞后）。

下面是从零实现的 Morlet CWT，关键在 Fourier 域做卷积（FFT 提速），并只对正频构造 Morlet 谱（保证小波满足可容许条件）：

import numpy as np
from scipy.ndimage import uniform_filter

def morlet_cwt(x, dt=1.0, omega0=6.0, periods=None):
    N = len(x)
    x = x - x.mean()
    if periods is None:
        fmin, fmax = 1.0/64.0, 1.0/6.0
        periods = 1.0 / np.linspace(fmax, fmin, 60)   # 由高频到低频的周期采样
    # 尺度 s 与 Fourier 周期的关系
    s0 = periods / (4*np.pi/(omega0 + np.sqrt(2 + omega0**2)))
    xhat = np.fft.fft(x)
    omega = np.fft.fftfreq(N, d=dt) * 2*np.pi
    W = np.zeros((len(periods), N), dtype=complex)
    norm = np.pi**0.25 / np.sqrt(N)
    for i, s in enumerate(s0):
        psi_hat = norm * np.where(omega > 0,
                                  np.exp(-(s*omega - omega0)**2 / 2.0), 0.0 + 0j)
        W[i, :] = np.fft.ifft(xhat * np.conj(psi_hat))
    return W, periods, s0

跑一遍资产 A，得到它的时频能量谱 |W|²。能清楚看到 40 日主周期成片亮起，而中段叠加了一个 16 日的危机同频带：

三、小波相干：两张谱的「时频相关」#

连续小波只画单条序列的谱。要量「A、B 在某周期、某时间上联动多强」，得把两条谱的交叉谱做平滑再归一。定义小波相干（Torrence & Compo 1998）：

$R(a,b) = \frac{\left|S(W_1 W_2^*)\right|^2}{S(|W_1|^2)\,S(|W_2|^2)} \in [0,1]$

其中 S(·) 是「时间方向 × 尺度方向」的滑动平滑（用 uniform_filter）。直观讲：R≈1 表示在这个（周期,时间）格点上，A 和 B 的振荡同相且强相关；R≈0 表示没联动。

def wavelet_coherence(W1, W2, dt=1.0, time_win=8, scale_win=3):
    cross = W1 * np.conj(W2)
    p1 = np.abs(W1)**2
    p2 = np.abs(W2)**2
    S = lambda M: (uniform_filter(M.real, size=(scale_win, time_win))
                   + 1j*uniform_filter(M.imag, size=(scale_win, time_win)))
    Sc, Sp1, Sp2 = S(cross), uniform_filter(p1, size=(scale_win, time_win)), uniform_filter(p2, size=(scale_win, time_win))
    R = np.abs(Sc)**2 / (Sp1*Sp2 + 1e-12)
    return np.clip(R, 0, 1)

画成相干图，真相立刻浮现：在 16 日周期那条水平带上、时间轴 t≈180–300 的危机窗口内，整条红得发亮（R≈1）——这正是被时域相关抹掉的联动：

为了证明「这真的是被时域指标漏掉的，而非我编的」，把三个数字摆一起：

• 时域相关（全样本）：r = 0.081
• 时域相关（危机窗口）：r = 0.431
• 小波相干（16 日带 · 危机窗口）：R = 0.947
• 小波相干（16 日带 · 其余时段）：R = 0.838

关键洞察：危机窗口里的「同频联动」是频率特异的——只有 16 日这个周期在联动，别的频率依然各走各的。时域相关把「16 日联动 + 其他频率无关 + 噪声」搅成一锅，得出 0.43；而小波相干在 16 日带上单独剥离，得到 0.95。一个把信号稀释，一个把信号放大。

再补一张「功率增量图」坐实这件事：把资产 A 的局部功率减去该周期的全样本均值，16 日带在危机窗口（t≈220–250）单独红了一块，证明这个频率是「中段才涌现」的，不是一直存在：

四、五类真实陷阱（必看）#

1. 时域平均会抹平局部联动，但反过来也成立——别用相干假装「全样本相关」。 相干 R 是时频场的局地量，它高只说明「在那个周期、那段窗口」联动强，不代表两支资产整体同步。本文全样本时域 r 才 0.08，相干高点 0.95 是局部事实。汇报时务必同时给「时域整体 r」和「相干热点（周期+窗口）」，缺一个都是误导。

2. 边缘效应（Cone of Influence, COI）会伪造高相干。 小波在序列两端、以及大尺度（长周期）的边缘，信息是「缺数据补出来」的，相干在此处会被系统性高估。标准做法是画 COI 锥、并把锥外区域在图里挖掉（本文 coi_mask 把每尺度 ±0.5·period 的边缘置 NaN）。凡是不标 COI 的相干图，两端的红区大概率是假的。

3. 平滑窗口是相干的「超参数」，设错结论翻车。 R 里的 uniform_filter 窗口 (scale_win, time_win) 决定了「多宽的范围算一个联动」。窗口太小→噪声剧烈、相干乱跳；太大→把瞬态联动抹成一片、还可能跨尺度混频。实务里建议 time_win ≈ 周期本身量级（几到十几个时间点），并在结论里注明窗口参数，最好做灵敏度检查。

4. 尺度/周期选错了，热点会跑偏。 小波对「周期=尺度×常数」敏感，且不同小波（Morlet / Paul / DOG）的中心频率不同。如果你把 16 日周期设成采样只覆盖到 6–64 日，热点会准；若采样漏掉 16 日这一档，它会被「摊」到邻近尺度，看着像 12 日或 20 日。务必先用单条序列的小波功率图（本文图三）确认热点周期位置，再读相干图。

5. 相干 ≠ 因果，领先滞后要单独算。 R 高只说明「同频同相地一起动」，不说明谁带谁。真要判断 A 领先 B 多少天，得用相位差 ∠(S(W1·W2*)) 换算成时间滞后（Morlet 下 lag = (phase/2π)·period）。本文只证了「联动存在」，没证方向；落到交易信号前，这一步不能省。

结语#

跨资产联动最容易被漏掉的，是那种「带特定周期、只在某段窗口出现」的局部同步——而传统 Pearson 相关恰恰把这种信号平均成噪声。小波相干用一张（周期 × 时间）的时频场，把它单独拎出来：本文合成资产全样本时域相关仅 0.08、危机窗口 0.43，可 16 日带的相干在危机段冲到 0.95。但记住五条边界——时域整体 r 与相干热点要同报、COI 边缘必须挖掉、平滑窗口是超参数、先功率图定周期再读相干、相干不等于因果要补相位滞后。下回有人拿「r 很低所以这俩没关系」当结论，你可以说：那是时域的失明，不是真相的缺席。