白噪声检验 Ljung-Box：用自相关把「真信号」和「伪相关」分开 • halo 的技术博客

你刚跑完一个「聪明」的策略：用过去 5 天的收益预测今天。回测夏普 1.2，你有点心动。

但理性先问一句——这 1.2 里有多少是真预测力，有多少只是收益序列天然的自相关被你「无意中」捕捉到了？

再比如，你发现 A 股和美股「日收益相关 0.35」。你激动地要拿去做配置。但等等：两根独立随机游走，光是有限样本就能给你撞出 ±0.2 的相关。0.35 到底是结构，还是噪声？

这两类问题，本质都是同一件事：我看到的序列依赖，到底能不能被「纯随机（白噪声）」解释？

把这个问题交给 Ljung-Box 白噪声检验，它会给你一个 p 值，干脆地回答：能（通过，视作白噪声）/ 不能（拒绝，序列里有真结构）。本文从零复现它，并用三类合成序列把「怎么用、怎么误用」跑出数字。

一、什么是「白噪声」#

对一个零均值平稳序列 $\{x_t\}$ ，如果：

$E[x_t]=0$
$\text{Var}(x_t)=\sigma^2$ （常数）
任意两个不同时刻不相关： $E[x_t x_{t-k}]=0,\;\forall k\neq 0$

就称它为白噪声。换句话说，知道了过去，对预测未来毫无帮助——过去的信息含量为零。

所以「白噪声检验」等价于问：这个序列里，还有没有没被利用的可预测结构？ 这就是为什么它是每一个时间序列模型（ARIMA、GARCH、因子残差诊断）出厂必做的「健康证」。

二、ACF 的缺陷：单点看不全#

最直观的工具是自相关函数（ACF）：

$\hat\rho_k = \frac{\sum_{t=k+1}^{n}(x_t-\bar x)(x_{t-k}-\bar x)}{\sum_{t=1}^{n}(x_t-\bar x)^2}$

然后画「懒汉置信带」 $\pm 1.96/\sqrt{n}$ ：单个 $\hat\rho_k$ 落进带里就算「不显著」。

但问题来了：

你只看了一个滞后阶，万一结构藏在 $k=7$ 呢？
多个滞后同时看，单个不显著但合起来显著，你根本看不见；
置信带本身粗糙，它假设「每个 $\hat\rho_k$ 独立近似正态」，实际上相邻 ACF 是相关的。

所以单点 ACF 只能「看个大概」。要做一个对全部滞后统一判决的检验，就得把前 $h$ 个自相关打包——这正是 Ljung-Box 做的事。

三、Ljung-Box Q 统计量#

把前 $h$ 个自相关 $\hat\rho_1,\dots,\hat\rho_h$ 拼成一个数：

$Q(h) = n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}$

在「序列是白噪声」的原假设下：

$Q(h) \;\xrightarrow{d}\; \chi^2_h$

于是：

算 $Q(h)$ ，查卡方分布得 p 值 $p = 1 - F_{\chi^2_h}(Q)$ ；
p 很小（如 < 0.05）→ 拒绝白噪声 → 序列里有依赖结构；
p 很大 → 不能拒绝 → 视作白噪声，过去对预测未来无益。

相比 Box-Pierce 原始 $Q_{BP}=n\sum\rho_k^2$ ，Ljung-Box 在分母里加了 $\frac{n+2}{n-k}$ 的小样本修正，有限样本下更稳——所以今天默认都用 Ljung-Box。

下面用纯 numpy 自己实现一遍（不依赖 statsmodels，看清每一步）：

import numpy as np
from scipy import stats

def acf(x, lags):
    x = np.asarray(x, float) - np.mean(x)
    n = len(x)
    denom = np.sum(x ** 2)
    out = np.empty(lags + 1)
    out[0] = 1.0
    for k in range(1, lags + 1):
        out[k] = np.sum(x[k:] * x[:-k]) / denom
    return out

def ljung_box(x, h):
    x = np.asarray(x, float) - np.mean(x)
    n = len(x)
    rho = acf(x, h)
    Q = n * (n + 2) * np.sum(rho[1:] ** 2 / (n - np.arange(1, h + 1)))
    p = 1 - stats.chi2.cdf(Q, h)
    return float(Q), float(p)

python

四、三类序列：白噪声一眼现形#

造三组长度 500 的序列：

白噪声：noise = rng.normal(0, 1, T)（纯独立）；
AR(1)：x_t = 0.6·x_{t-1} + ε_t（强序列依赖）；
AR(1) 残差：先把 AR(1) 用 OLS 拟合成 x_t = a + b·x_{t-1} + u_t，取残差 u_t。如果模型抓对了结构，残差应该变回白噪声。

先看它们的 ACF：

T = 500
rng = np.random.default_rng(20260719)
noise = rng.normal(0, 1, T)
phi = 0.6
ar = np.zeros(T); ar[0] = rng.normal(0, 1)
for t in range(1, T):
    ar[t] = phi * ar[t-1] + rng.normal(0, 1)
ar = ar / np.std(ar)
# 拟合 AR(1) 取残差
X = np.column_stack([np.ones(T-1), ar[:-1]])
beta, *_ = np.linalg.lstsq(X, ar[1:], rcond=None)
resid = ar[1:] - X @ beta

python

白噪声 vs AR(1) 的 ACF：前者全在带内，后者指数衰减出带

图 1：左=纯白噪声 ACF，所有柱都落在 ±1.96/√T 虚线内；右=AR(1) φ=0.6 的 ACF，呈典型指数衰减、好几根戳出带外。但光看单点 ACF，你能确定「右图整体显著」吗？得靠下面打包的 Q 检验。

五、Ljung-Box：把 ACF 打包成 p 值#

对三组序列分别算 h=1..20 的 p 值：

Hs = np.arange(1, 21)
p_noise, p_arraw, p_arres = [], [], []
for h in Hs:
    p_noise.append(ljung_box(noise, h)[1])
    p_arraw.append(ljung_box(ar, h)[1])
    p_arres.append(ljung_box(resid, h)[1])

python

Ljung-Box p 值随滞后阶：白噪声≈1、AR 原始→0、AR 残差回到高位

图 2：蓝线（白噪声）p 值始终 ≈1，稳稳通过；橙线（AR(1) 原始序列）p 值一路砸到 0，明确拒绝白噪声；绿线（AR(1) 拟合后的残差）p 值回到 0.4 以上——说明模型把结构抓走了，残差变干净了。红色虚线是 α=0.05 显著性线。

实跑单点数字（取 h=10）：

序列	LB(h=10) p 值	结论
白噪声	0.617	通过（视作白噪声）
AR(1) 原始	0.000	拒绝（有强结构）
AR(1) 残差	0.406	通过（模型抓走了结构）

这串数字把白噪声检验的用法讲透了：

它对真白噪声大方放行（p=0.617）；
对藏了依赖的序列铁面拒绝（p≈0）；
更妙的是第三行——它其实是模型诊断工具：当你说「我的 AR(1) 拟合完了」，残差必须过白噪声检验，否则说明你还漏了结构没抓。这是 Box-Jenkins 建模流程的「出厂质检」。

六、蒙特卡洛：检验靠谱吗？#

一个检验好不好，看两件事：原假设下不乱杀（一类错误率≈α）、备择假设下能抓到（功效→1）。跑 400 次：

H0 组：每次生成纯白噪声（T=300），记 p<0.05 的比例；
H1 组：每次生成 AR(1) φ=0.35，记 p<0.05 的比例。

M, Tmc = 400, 300
p_h0, p_h1 = [], []
for i in range(M):
    z = rng.normal(0, 1, Tmc)
    p_h0.append(ljung_box(z, 10)[1])
    a = np.zeros(Tmc); a[0] = rng.normal(0, 1)
    for t in range(1, Tmc):
        a[t] = 0.35 * a[t-1] + rng.normal(0, 1)
    p_h1.append(ljung_box(a, 10)[1])
rate_h0 = np.mean(np.array(p_h0) < 0.05)   # 应≈0.05
rate_h1 = np.mean(np.array(p_h1) < 0.05)   # 应→1

python

p 值分布：H0 下≈均匀，H1 下堆向 0

图 3：左=H0 下 p 值近似均匀（红线是均匀基准），说明「没结构时不冤枉好人」；右=H1 下 p 值严重堆向 0，说明「有结构时抓得住」。

实测：

H0 下 p<0.05 比例 = 0.070（理论 0.05，略高但属 400 次抽样的随机波动，±2 SE 内）；
H1 下 p<0.05 比例 = 0.988（检验功效接近满分，几乎不漏真信号）。

结论：这个检验在「该放时放、该抓时抓」上是站得住的。

七、四类真实陷阱#

滞后阶 h 怎么选：这是 Ljung-Box 最容易踩的坑。h 太小（如 h=5）可能漏掉长周期依赖；h 太大（如 h=50 而 T=100），分母 n-k 变小、卡方自由度虚高，检验会「过度敏感」乱拒绝。经验法则 h ≈ min(10, T/5)，或按你关心的周期（如交易策略看 20 日周期就取 h≈20）。不同 h 给出不同结论，必须在文中固定并披露。
短期记忆被误判为「无结构」：很多金融序列依赖只在前几阶显著、之后迅速衰减（如日收益弱 AR(1) φ≈0.05）。此时 h 取太大，把大量「不显著」的滞后一起打包，Q 统计量被稀释，可能漏报弱结构。对策：先看 ACF 图定位显著滞后的范围，再针对性取 h。
小样本下卡方近似失真：Q 的 $\chi^2_h$ 极限分布要求 n 足够大（经验 n>50，最好 n>100）。n=30 的短线，p 值偏差明显，可能把噪声当结构（一类错误飙升）。小样本改用 Box-Pierce 修正版或 bootstrap 重抽样得 p 值更稳。
多序列「家族错误率」：你同时对 50 个因子残差做白噪声检验，每个 α=0.05，期望就有 2.5 个被误判「有结构」。这和 FDR 问题同源——要用 BH 程序（见本专栏 FDR 一文）控制发现集的假阳性比例，别挨个看 p<0.05。

八、结论#

Ljung-Box 是把「序列里还有没有没榨干的结构」变成一句话判决的工具：

ACF 看单点，可能漏掉藏在深处的依赖；
Ljung-Box Q 把前 h 个自相关打包成卡方统计量，给一个干净的 p 值；
本文实跑：白噪声 p=0.617 通过、AR(1) 原始 p≈0 拒绝、AR(1) 残差 p=0.406 回到白噪声——它既是「结构探测器」，也是「模型出厂质检」；
蒙特卡洛证明它在 H0 下不乱杀、H1 下功效 0.988；
但 h 的选择、弱结构漏报、小样本失真、多序列家族错误，四个坑任一踩中都会让你把噪声当信号、或把信号当噪声。

记住：白噪声检验不证明「模型对」，它只证明「残差里暂时找不到还能利用的依赖」。找不到了 ≠ 真的不存在，只是你当前的工具没抓到。

本文数据均为自洽合成（白噪声、AR(1) 及其 OLS 残差），仅用于演示方法。真实落地时：按周期固定并披露滞后阶 h、先画 ACF 定位显著范围再选 h、小样本改用 bootstrap p 值、多序列用 BH 控制家族错误率。代码已全部跑通，ACF/Q/p 值即输出。