标签： #黎曼流形

Markowitz 在欧氏空间里做组合优化，但权重本身活在概率单纯形上——一个有曲率的黎曼流形。本文从 Fisher 信息度量出发，把组合优化的梯度下降搬到信息几何的框架里：用自然梯度替代欧氏梯度，让更新方向自动适配权重的概率结构。在受控实验中，Riemannian 梯度的样本外 Sharpe 衰减比 Euclidean 梯度低 30–50%，且收敛步数减少约 40%。附完整 numpy 实现与三张真实计算图。