Avellaneda-Stoikov 做市：用库存风险与最优报价拆解买卖价差

问题：做市商到底在赚什么、又在怕什么#

做市（market making）表面上是一门”两头赚差价”的生意：在买一挂个买单、在卖一挂个卖单，被买方成交一次、卖方成交一次，就赚到一个价差。听起来像永动机。

但真做过的人都知道，做市的敌人不是”赚不到价差”，而是库存。当你的买单被大量成交，你手里就堆了一堆多头库存 $q>0$；如果这时候市场往下走，你的存货就在亏钱——你赚的那点价差远不够填坑。做市商的核心矛盾是：想多成交（多赚价差）就得把报价挂得离中间价近，但挂得越近、成交越频繁，库存越容易失控。

Avellaneda & Stoikov 在 2008 年给了这个矛盾一个漂亮的解析解。它的核心洞察是：不要围绕中间价对称报价，要围绕一个”保留价格”报价，而这个保留价格会随你手里的库存自动偏移——库存多就整体下移（引导别人从你这买走、去库存），库存空就整体上移（引导别人卖给你、补库存）。

本文用一个固定随机种子（20260801）、200 步的 tick 级受控模拟，从零把这个模型跑出来，回答三个问题：A-S 的库存偏移到底值多少钱？风险厌恶 γ 这根旋钮怎么调？以及最重要的——这套东西在真实世界里还剩多少？

先把结论摆前面：在教科书参数下，A-S 相对朴素对称做市把库存方差砍掉 86.3%、夏普从 4.71 翻到 9.04；但这个夏普 9 本身就是个危险信号，加入未知趋势和每笔成本后，它会在几档之内崩到 0.84、破产概率抬到 14%。

模型与模拟设计#

三个核心公式#

保留价格（reservation price）——做市商心里真正的”公允价”，随库存 $q$ 线性偏移：

$r(s, q, t) = s - q \cdot \gamma \cdot \sigma^2 \cdot (T - t)$

其中 $s$ 是中间价，$q$ 是当前库存，$\gamma$ 是风险厌恶，$\sigma$ 是波动率，$T-t$ 是到收盘的剩余时间。库存为正时 $r<s$（心里价比市场价低，急着卖）；库存为负时 $r>s$（急着买）。

最优总价差（optimal spread）——买卖两个报价的总宽度：

$\delta^a + \delta^b = \gamma \sigma^2 (T - t) + \frac{2}{\gamma} \ln\left(1 + \frac{\gamma}{\kappa}\right)$

它由两块拼成：前一项 $\gamma\sigma^2(T-t)$ 是库存风险项（越怕风险、波动越大、离收盘越远，价差越宽）；后一项 $\frac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/\kappa)$ 是成交激励项（由订单簿深度 $\kappa$ 决定，是你愿意为”多成交”让出的利润）。

报价摆放：买卖报价围绕保留价格 $r$ 对称摆放，而不是围绕中间价 $s$：

$p^a = r + \frac{\text{spread}}{2}, \qquad p^b = r - \frac{\text{spread}}{2}$

成交强度：一个报价离中间价越远，越不容易成交。成交强度按指数衰减：

$\lambda(\delta) = A \cdot e^{-\kappa \delta}$

在每个时间步 $dt$ 内成交的概率取 $1 - e^{-\lambda dt}$。

模拟设定#

中间价走几何布朗式随机游走（$ds = \sigma\sqrt{dt}\,Z$），初始价 $s_0=100$，$\sigma=2$，交易周期 $T=1$（一个交易日归一化），步长 $dt=0.005$（共 200 步）。基准参数 $\gamma=0.1$、$\kappa=1.5$、$A=140$。做市商每一步按 A-S 最优报价挂买卖单，成交后更新库存 $q$ 与现金，终端 PnL = 现金 + 库存按收盘中间价的市值。全部用 numpy 向量化，几千条路径同步推进。

对抗式检验：先证明公式没写错#

在跑任何模拟之前，先用三个极限情形做 sanity check——一个连极限都过不了的实现，出的数字再漂亮也是假的：

1. 库存为 0 时，保留价格必须等于中间价：$r(s,0,t)=s$。✅ 通过。
2. 零波动率时，价差退化为纯成交激励项：令 $\sigma=0$，库存风险项归零，价差应只剩 $\frac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/\kappa)$。实测价差 = 1.290770，与解析激励项 1.290770 完全吻合。✅
3. γ→0 时，价差收敛到 $2/\kappa$，库存偏移项归零：当风险厌恶趋近于 0，$\frac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/\kappa)\to 2/\kappa$，策略退化为激进的对称做市。实测 γ=1e-7 时价差 = 1.333334，理论 $2/\kappa$ = 1.333333。✅

三项全过。作为对照，基准参数下（$\gamma=0.1$）开盘时的完整最优价差是 1.690770（= 库存风险项 0.4 + 激励项 1.29077），后面所有结果都建立在这个已验证的引擎上。

逐图分析#

图1：保留价格如何随库存偏移#

上图是单条路径的完整演示。黑线是中间价 $s$，红色虚线是保留价格 $r$，蓝绿两条细线是卖出/买入报价。关键看红线相对黑线的偏移：下方库存面板显示库存为红色（净多头）的时段，保留价格与整条报价带整体压在中间价下方——做市商在”降价甩货”；库存翻绿（净空头）时，报价带整体抬到中间价上方——在”抬价补货”。

这不是视觉错觉：这条路径上库存与”保留价-中间价”偏移的相关系数是 −0.6169，负相关正是模型的设计意图。库存最大绝对值到过 6 手。还有一个容易忽略的细节：越靠近收盘（$t\to 1$），$T-t\to 0$，库存风险项消失，报价带重新收敛成围绕中间价对称——因为再没有时间被库存反噬了。

图2：A-S vs 朴素对称做市，库存方差砍掉 86%#

这是全文最核心的对照。对手是”朴素对称做市”：用同样宽度的价差，但永远对称挂在中间价两侧、完全无视库存。4000 条路径下：

• 终端库存：对称做市的库存标准差 8.14、平均绝对库存 6.48 手；A-S 是 3.01 和 2.37 手。库存方差降低 86.3%。左图里橙色（对称）胖而散，蓝色（A-S）瘦而聚。
• 终端 PnL：对称做市均值 60.86、标准差 12.92；A-S 均值 57.11、标准差 6.32。

读法要诚实：A-S 的期望利润其实略低（57.1 vs 60.9，因为它为了控库存有时会主动错过成交）。但它把 PnL 波动几乎砍半。两者一除，A-S 的夏普是 9.04，对称做市只有 4.71——控住库存换来的风险调整收益几乎翻倍。这就是 A-S 的全部价值：它不是让你多赚，是让你赚得更稳。

图3：风险厌恶 γ 是一根有代价的旋钮#

γ 不是越大越好，也不是越小越好，它是一条有效前沿上的位置选择。扫描 γ 从 0.01 到 1.0：

机制很清楚（右图）：γ↑ → 价差变宽 → 成交量下降 → 期望利润下降，但同时库存风险也被压得更小。左图的散点连成一条向右上凸的前沿：想要更低的库存风险，必须交出期望利润。有意思的是夏普并非单调——它在 γ≈0.1 附近见顶（9.18），因为 γ 太小则库存失控（分母大），太大则利润被价差挤没（分子小）。这说明”最优风险厌恶”是个可优化的中间值，不是拍脑袋的极端。

图4：泼冷水——教科书里的印钞机，一碰现实就崩#

到这里为止，A-S 看起来完美得可疑：6000 条路径的中性市场里，均值 57.06、夏普 9.00、破产概率 0%、最差的一条也赚 31.54。一个夏普 9、从不亏钱的策略——这本身就是最大的危险信号。真实做市桌子上没有人的夏普是 9。

问题出在哪？出在两个被教科书假设掉的东西：

一是未知趋势（毒性流/知情交易）。 我给每条路径注入一个未知漂移（$\text{drift\_sig}$，代表”这天到底是趋势市还是震荡市”你事先不知道）。当市场真出趋势，做市商的库存会被反复往一个方向打——你的卖单一直被知情买家吃掉，库存越来越空，而价格还在涨，补回来的成本越来越高。扫描下来：趋势强度从 0 升到 18，夏普从 9.26 一路压到 5.09，最差路径从 +37.6 掉到 −16.4。趋势没能制造大面积破产（因为价差收入太厚），但它实实在在地咬掉了一半的风险调整收益。

二是每笔成本（手续费 + 竞争压缩价差 + 逆向选择）。 现实里价差不是你说了算，是被竞争压出来的，而且你每笔成交都要付费、还系统性地在坏价格上被知情方成交。我在”趋势市”基础上叠加一个每笔单边成本，扫描结果是全文最冷的一张表：

在”趋势 + 每笔 0.6 成本”的现实情景下（右图红色分布），均值 PnL 从 57 塌到 5.83、夏普从 9 塌到 0.84、破产概率从 0 抬到 14%、最差路径亏 42.6。而当成本升到 0.9（约半个价差的量级），99% 的路径都在亏钱。左图两条分布的对比极其刺眼：蓝色是教科书幻觉，红色是加了两桶冷水后的真实尾部。

结论：杀死朴素 A-S 的不是库存风险本身（A-S 恰恰把库存控得很好），而是竞争与成本对价差的侵蚀。整套模型的全部利润都活在”你能以低成本捕获一个够宽的价差”这个假设里，一旦这个假设松动，边际就在几档之内蒸发。

关键代码：报价逻辑#

整个策略的心脏其实只有几行——每一步计算保留价格、算最优价差、围绕保留价格摆买卖单，然后用指数强度决定是否成交：

for i in range(N):
    t = i * DT
    # 最优总价差 = 库存风险项 + 成交激励项
    spread = gamma * sigma**2 * (T - t) + (2.0 / gamma) * np.log(1.0 + gamma / KAPPA)
    if strategy == "as":
        # 保留价格随库存偏移：库存多则下移，引导卖出
        r = s - q * gamma * sigma**2 * (T - t)
        p_ask = r + spread / 2.0   # 围绕保留价格摆卖单
        p_bid = r - spread / 2.0   # 围绕保留价格摆买单
    else:  # 朴素对称做市：无视库存，永远对称挂中间价两侧
        p_ask = s + spread / 2.0
        p_bid = s - spread / 2.0

    # 报价离中间价越远，成交强度越低（指数衰减）
    d_ask, d_bid = p_ask - s, s - p_bid
    p_fill_ask = 1.0 - np.exp(-A * np.exp(-KAPPA * d_ask) * DT)
    p_fill_bid = 1.0 - np.exp(-A * np.exp(-KAPPA * d_bid) * DT)
    ask_fill = rng.random(M) < p_fill_ask
    bid_fill = rng.random(M) < p_fill_bid

    # 成交结算：卖出减库存加现金，买入加库存减现金（cost 为每笔单边成本）
    cash += ask_fill * (p_ask - cost); q -= ask_fill.astype(float)
    cash -= bid_fill * (p_bid + cost); q += bid_fill.astype(float)

    s = s + drift * DT + sigma * np.sqrt(DT) * rng.standard_normal(M)  # 中间价游走

A-S 分支和对称分支的唯一区别，就是报价围绕 r 还是围绕 s——一行之差，换来 86% 的库存方差降低。

三段式总结#

A. 实现细节#

• 信号与执行时点：每一步先用当前中间价 $s$ 和库存 $q$ 算报价（signal-on-i），同一步内判定是否成交（execute-on-i），成交结算完再让中间价游走一步。避免用未来价格反算当期成交。
• 成交判定：每步每边成交概率取 $1-e^{-\lambda dt}$（Poisson 首次到达），$\lambda=A e^{-\kappa\delta}$。成交只判”成/不成”，单位成交量固定为 1 手（A-S 原始设定）。
• PnL 口径：终端 PnL = 累计现金流 + 终端库存 × 收盘中间价，即库存按市价 mark-to-market，不做提前平仓。
• 对称基准的公平性：对称做市用与 A-S 完全相同的价差公式和同一批价格随机数，唯一区别是报价中心（$s$ vs $r$），确保对比只反映”库存偏移”这一个变量。
• 成本与趋势建模：cost 为每笔单边成本（现金流中直接扣减），drift 支持每条路径抽一个未知漂移来模拟毒性流/趋势市。全程固定种子 20260801。

B. 已知偏差#

• 中间价是无漂移 GBM，且波动率 $\sigma$ 对做市商完全已知——这是 A-S 相对现实最大的美化。真实 $\sigma$ 要估计、会跳、有厚尾，估错 $\sigma$ 会直接算错价差。
• 成交强度参数 $A,\kappa$ 恒定且已知：真实订单簿深度随行情剧烈变化，$\kappa$ 在波动时会塌。
• 无队列/延迟/被抢单：模型假设你的报价一挂就在队首，忽略了排队优先级、撤改单延迟、被更快的对手抢成交——这些在真实做市里往往是胜负手。
• 逆向选择建模是粗粒度的：本文用”每笔成本”作为竞争+逆向选择的合并代理，没有显式区分”知情单打你”和”手续费”，也没做成交概率的买卖不对称。
• 单标的、单位成交量：忽略了多品种对冲、成交量分布、以及大库存对自身报价的冲击。

C. 结果解读#

• 库存偏移是真价值，但价值形式是”降险”不是”增收”：A-S 期望利润比对称做市还低 6%（57.1 vs 60.9），它的贡献全在把库存方差砍掉 86.3%、夏普翻倍（4.71→9.04）。如果你的目标函数只看总收益不看波动，A-S 对你没意义。
• γ 有最优中值，不是极端：夏普在 γ≈0.1 见顶（9.18），过小库存失控、过大利润被价差挤没。调 γ 本质是在”库存方差”和”期望利润”这条前沿上选点。
• 利润来源高度集中于价差捕获：中性市场里库存与终端 PnL 几乎不相关（因为库存被 A-S 控住了），说明钱主要来自稳定的价差收入，而非方向性押注——这既是优点（稳），也是软肋（一旦价差被压缩，利润无处可寻）。
• 真正的尾部来自成本而非库存：趋势市把夏普从 9.3 压到 5.1 但几乎不制造破产；而每笔 0.6 的成本就能把夏普打到 0.84、破产概率抬到 14%，0.9 时 99% 亏损。这告诉你把研发精力放哪：不是继续优化库存控制，而是死磕成交成本、排队优先级和价差竞争。
• 可交易性冷水：教科书参数下的夏普 9、零破产是一面镜子——任何回测里出现这种数字，第一反应应该是”我假设掉了什么”，而不是”我发财了”。A-S 是理解做市结构的绝佳框架，但直接照搬它的报价去实盘，等于假设自己能免费捕获一个宽价差，这个假设在有竞争的市场里几乎不成立。