共形预测在量化中的应用：给预测区间一个可验证的覆盖率保证 • halo 的技术博客

你的模型输出：明天涨 3%。但 3% 的置信区间是多少？是 [2.9%, 3.1%]，还是 [−5%, +11%]？这两者的可交易性天差地别。

传统做法要么假设残差高斯（市场偏偏厚尾异方差），要么用训练残差拍个经验带宽（一旦分布漂移立刻过窄）。共形预测（Conformal Prediction） 绕开了分布假设：它只问一句——「校准集上，有多少比例的残差小于某个阈值？」——用这个经验分位直接构造区间，并且理论上能保证：测试集里至少 (1−α) 比例的点落在区间内。

这不是玄学保证，是有限样本、分布无关的覆盖定理。本文用异方差 + 波动翻倍的漂移数据，从零复现它，并诚实展示它的边界。

一、核心思想：用分位「校准」不确定性#

共形预测最经典的玩法是 Split Conformal（交叉拟合），三步：

训练：在训练集上拟合任意模型 $\hat\mu$ （树、梯度提升、神经网络都行）；
校准：在独立的校准集上算残差 $R_i = |y_i - \hat\mu(x_i)|$ ，取分位 $\hat c = \text{Quantile}_{1-\alpha}\big(\{R_i\}\big)$ 为做有限样本校正，用 $\lceil(n+1)(1-\alpha)\rceil/n$ 分位而非朴素 $(1-\alpha)$ ；
预测：对新点 $x$ ，给区间 $\big[\hat\mu(x)-\hat c,\ \hat\mu(x)+\hat c\big]$ 。

保证：在交换性（大致=「测试数据和训练/校准同分布」）下， $P\big(y_{\text{test}}\in [\hat\mu(x)-\hat c,\ \hat\mu(x)+\hat c]\big) \ge 1-\alpha$ 注意是「≥」——分布越乖，实际覆盖越接近名义值。

二、异方差下，区间会自己变宽变窄#

真实市场波动率会聚类（波动大了更大）。我们构造 $\sigma(x)$ 随特征变化的数据，看共形区间如何自适应：

Split-Conformal 区间：测试集经验覆盖 89% ≈ 目标 90%

图上区间带在波动大的区域（右侧）自动变宽，在平稳区变窄。本次实验经验覆盖 89.0%，几乎贴上目标 90%——这正是共形预测的卖点：区间形状由数据说了算，不靠你假设高斯。

三、有限样本有效性：经验覆盖贴在名义线上#

把多次随机划分都跑一遍，看不同名义水平下经验覆盖的均值 ± 标准差：

经验覆盖 vs 名义覆盖，四十次划分后贴在对角线附近

数字：名义 0.80→经验 0.798、0.85→0.847、0.90→0.899、0.95→0.950。点几乎压在对角线上——这证明了共形预测的「无条件有效性」不是大样本幻觉，几百个样本就够稳。

四、分布漂移：朴素法漏覆盖，共形法扛得住#

这是最扎心也最实用的场景。训练/校准来自「波动尺度=1」，测试集来自「波动翻倍」：

朴素法：用训练残差的分位做区间——它来自低波动世界，对高波动测试集过窄，大量点漏出；
共形法：用校准集残差——只要校准集与测试集同分布（漂移后重新校准即可），区间自动加宽补上。

分布漂移下：朴素区间漏覆盖 70%，共形区间 74%

本次实验：朴素法覆盖 70.4%（远低于目标 90%），共形法 73.9%（仍偏低，因为校准集也来自旧分布）。诚实披露：若校准集本身也漂移了，共形覆盖同样会掉；正确做法是用最新数据滚动校准——共形不消灭漂移，只是把「应对漂移」这件事标准化成「换校准集」。

五、确定性的代价：越想要把握，区间越宽#

固定 α 后区间半宽就是 $\hat c$ 。扫一遍名义覆盖看效率：

区间宽度 vs 名义覆盖，α 越大区间越宽

这是诚实的 trade-off：要 95% 把握，区间就得比 80% 宽一大圈。共形预测不免费给你确定性，它只是把代价量化出来——你的交易系统可以据此设定「只有区间足够窄时才下注」的触发条件。

六、自适应共形（ACI）：让区间随时间自己呼吸#

标准共形用固定 $\hat c$ ，但市场波动是时变的。一种简单改进是 自适应共形（Adaptive Conformal Inference）：每个新观测后，用「近期残差」更新分位，区间随之扩张/收缩。直觉上，若最近连续漏点（波动变大），下一期 $\hat c$ 自动加宽。下面是一段轻量实现：

# 自适应共形：用最近 W 个残差滚动更新分位（示意）
def adaptive_conformal(resid_stream, alpha, W=200):
    c_seq = []
    for i in range(len(resid_stream)):
        window = resid_stream[max(0, i - W):i]
        if len(window) < 30:
            c_seq.append(np.quantile(resid_stream[:max(1, i + 1)], (i + 1) / (i + 2) * (1 - alpha) + alpha / (i + 2), method="higher"))
        else:
            c_seq.append(np.quantile(window, (W + 1) / (W + 2) * (1 - alpha) + alpha / (W + 2), method="higher"))
    return np.array(c_seq)

python

ACI 在高波动期会自发加宽区间，是共形应对非平稳的实用补丁——但代价是覆盖保证退化为「近似」，需要回测验证。

七、它进交易系统的三种姿势#

共形预测不是「换个模型」，而是给现有预测加一层可验证的不确定性外壳：

信号触发闸门：只有当区间足够窄（ $\hat c <$ 阈值）才视为「高确定性信号」，否则空仓——把模糊预测挡在门外；
仓位缩放：用区间半宽 $\hat c$ 的倒数做仓位权重，不确定大就少下注（类似波动率目标，但来自数据分位而非波动率模型）；
风险限额：组合层面要求 95% 区间下的最大潜在偏差可控，直接对接 VaR / 回撤约束。

它和前一节的 Lasso 是天然搭档：Lasso 先把几百个因子压成干净少数，共形再给这批因子的预测配上可信区间——一个管「选什么」，一个管「信几分」。

八、从零实现的 Python 代码#

import numpy as np
from sklearn.ensemble import HistGradientBoostingRegressor

# —— 1. 异方差数据：波动随特征变化 ——
def gen(n, rng, scale=1.0):
    x = rng.uniform(-3, 3, n)
    f = np.sin(2 * x)
    sigma = (0.25 + 0.45 * (x > 0)) * scale   # 右半区波动更大
    return x, f + rng.normal(0, sigma)

# —— 2. Split-Conformal 区间构造 ——
def split_conformal(x_tr, y_tr, x_cal, y_cal, x_te, y_te, alpha):
    model = HistGradientBoostingRegressor(max_iter=200, learning_rate=0.1, max_depth=3)
    model.fit(x_tr.reshape(-1, 1), y_tr)
    resid = np.abs(y_cal - model.predict(x_cal.reshape(-1, 1)))
    n = len(resid)
    q = np.ceil((n + 1) * (1 - alpha)) / n          # 有限样本校正
    c = np.quantile(resid, q, method="higher")
    pred = model.predict(x_te.reshape(-1, 1))
    lo, hi = pred - c, pred + c
    cover = np.mean((y_te >= lo) & (y_te <= hi))
    return pred, lo, hi, c, cover

# —— 3. 跑一遍 ——
rng = np.random.default_rng(20260719)
x_tr, y_tr = gen(1500, rng)
x_cal, y_cal = gen(800, rng)
x_te,  y_te  = gen(600, rng)
pred, lo, hi, c, cover = split_conformal(x_tr, y_tr, x_cal, y_cal, x_te, y_te, alpha=0.10)
print(f"经验覆盖={cover:.3f} (目标0.90)  区间半宽 c={c:.3f}")

python

核心就三行：拟模型、取校准残差分位、加 ±c。没有分布假设，没有手调带宽。

九、从「区间」到「分类」：共形也能给涨跌方向定把握#

上面讲的是回归型共形（预测一个值 + 区间）。但交易里更常见的是分类信号：明天涨还是跌？共形同样能给出「这只标签有多可信」。做法把绝对值残差换成** conformity score**：对校准集每点算一个分数 $s_i$ ，测试点的分数若排在前 $(1-\alpha)$ 分位内，就纳入该类的「可接受集合（conformal set）」。

举个例子，模型对 500 只股票各输出「涨/跌」预测，你不想全信。用共形可以给每只股票输出一个集合预测：例如「{涨}」表示有 ≥90% 把握涨，「{涨,跌}」表示不确定（干脆不下注）。代码骨架长这样：

# 分类型共形：给每只股票一个「可信标签集合」
def conformal_set(scores_cal, scores_te, alpha):
    n = len(scores_cal)
    q = np.ceil((n + 1) * (1 - alpha)) / n
    thr = np.quantile(scores_cal, q, method="higher")
    return scores_te <= thr   # True 表示该点被纳入可接受集合

python

注意：分类共形保证的是「真实标签以 ≥1−α 概率落在输出的集合里」。当市场混沌、模型没把握时，它会诚实返回一个含多个标签的大集合（即「我不下定论」），而不是硬给一个可能错的标签——这正是实盘最需要的「知之为知之」机制。

十、五类真实陷阱（诚实声明）#

交换性假设是命门：共形保证只在「测试 ≈ 训练/校准同分布」时成立。剧烈漂移下必须滚动重校准，否则覆盖会掉（见第四节）。
区间形状受模型约束：共形只给「对称 ±c」区间，模型若系统性低估某侧，区间会单向漏。可换分位数回归或自适应共形（ACI）。
校准集要独立：训练集和校准集若重叠，分位会被「见过的数据」污染，覆盖虚高。严格三划分（训练/校准/测试）。
不是点预测改进器：共形不提升 $\hat\mu$ 的精度，只量化它的不确定性。烂模型的区间只是「诚实地宽」。
多重检验膨胀：同时给 500 只股票各发 90% 区间，整体「全命中」概率远低于 90%——组合层面要用 BH 之类控制族错误率（这正是另一篇 FDR 文章的主题）。

结论#

共形预测给量化人最缺的一样东西：可验证的不确定性。它不假设市场高斯、不靠经验拍带宽，只用校准集上的经验分位，就给你一条「(1−α) 比例会落进来」的数学承诺。在异方差与漂移横行的实盘里，这比一个裸奔的点预测值钱得多——因为它让你能说「我只在区间足够窄、把握足够高时才下注」。但记住它的边界：保证来自交换性，漂移来了就重校准，共形从不假装自己能预判未知。