CORN 模式匹配组合：用相关性找历史上的『相似市场』再优化 • halo 的技术博客

一句话版本#

CORN 每天问一个问题：历史上哪些日子长得像最近这几天？ 找出来，然后只在这些”相似日的次日收益”上做对数最优组合优化。它不预测市场，但它赌一件事——相似的市场状态后面跟着相似的收益分布。

从 Cover 的遗留问题说起#

前面我们写过 Cover 通用投资组合和在线牛顿步 ONS。这两个算法有一个共同的世界观：市场是对抗的，我们不做任何统计假设，只保证不输给事后最优的常数再平衡组合（BCRP）。

这个世界观数学上很漂亮，但有个尴尬的推论：如果你的对标是 BCRP，那你的上限也差不多就是 BCRP。而 BCRP 本身是一个很弱的对标——它被迫用一套固定权重应付整段历史。如果市场里存在任何”状态依赖”的结构——今天该满仓 A 还是满仓 B 取决于最近的市场长什么样——常数组合在结构上就吃不到这部分收益。

Li、Hoi 和 Gopalkrishnan 在 2011 年提出的 CORN（CORrelation-driven Nonparametric learning）换了一个世界观：市场不是完全对抗的，历史模式会重复。如果这个假设成立哪怕一点点，我们就不该对所有历史一视同仁地平均，而应该：

识别出历史上和”现在”相似的时刻；
只用这些时刻的后续收益来优化今天的持仓。

这就是模式匹配（pattern matching）组合选择框架，最早由 Györfi 等人在 2006 年以核方法形式提出，CORN 把相似度度量换成了更符合金融直觉的相关系数。

CORN 的三步循环#

记 $x_t \in \mathbb{R}_+^m$ 为第 $t$ 天的价格相对（price relative）向量，即 $x_{t,i} = P_{t,i}/P_{t-1,i}$ 。组合权重 $b_t$ 在单纯形上，单日财富增长因子是 $\langle b_t, x_t \rangle$ 。

第一步：构造市场窗口。 把最近 $w$ 天的价格相对拼成一个向量：

X_t^w = (x_{t-w}, \dots, x_{t-1}) \in \mathbb{R}^{wm}

这个向量就是”最近市场长什么样”的数值化描述。

第二步：相关性筛选相似集。 对每一个历史时刻 $s$ ，计算历史窗口 $X_s^w$ 与当前窗口的皮尔逊相关系数，超过阈值 $\rho$ 的进入相似集：

C_t = \{ s : w < s < t,\; \mathrm{corr}(X_s^w, X_t^w) \ge \rho \}

用相关系数而不是欧氏距离是刻意的：相关系数自带去均值去尺度，两段行情一个日波动 1%、一个日波动 2%，只要涨跌节奏形状一致就算相似。这和 SAX、Matrix Profile 里 z-normalize 的动机同源——比对形态，不比对水平。

第三步：在相似集上做对数最优优化。 相似集里每个时刻 $s$ 的次日价格相对构成经验分布，在它上面最大化对数财富：

b_t = \arg\max_{b \in \Delta_m} \sum_{s \in C_t} \log \langle b, x_s \rangle

相似集为空或样本太少时退回均匀组合。

整个算法没有”预测”步骤——不估均值、不估协方差、不拟合模型。它只是重新加权历史：Cover 的 UP 对所有历史等权，CORN 对相似历史全权、不相似历史零权。

实验设计：一个真的有模式的市场，和一个没有的#

模式匹配策略的实验有个常见毛病：只在有利环境里跑。我们这次做一对孪生实验：

模式市场：1250 个交易日、双资产，偶数日资产 A 日均漂移 +30bp、资产 B 是 -25bp；奇数日反过来。两资产日噪声 0.85%。这是一个刻意构造的”历史会押韵”世界：最近几天的涨跌节奏（相位）完全决定明天谁强。注意漂移不对称（+30 vs -25），所以纯持有 A 长期也是赚的——事后最优 CRP 不是废物，它就是满仓 A。

对照市场：同样的波动率、同样的资产数，但没有任何模式——纯噪声。模式匹配策略在这里的表现，才是它真实风险的度量。

核心实现（向量化后 1250 日几秒跑完；完整代码见文末）：

def corn_run(X, w=5, rho=0.2, grid=101, min_samples=5):
    T = len(X)
    # 把所有窗口堆成矩阵，z-norm 后一次矩阵乘法得到全部相关系数
    W = np.array([X[i:i+w].ravel() for i in range(T - w)])
    Wz = (W - W.mean(1, keepdims=True)) / (W.std(1, keepdims=True) + 1e-12)
    C = (Wz @ Wz.T) / W.shape[1]

    b_grid = np.linspace(0, 1, grid)
    B = np.vstack([b_grid, 1 - b_grid])
    bs = np.full(T, 0.5)
    for i in range(T - w):
        t, jmax = i + w, i - w          # 只匹配不重叠的历史窗口
        if jmax <= 0:
            continue
        cand = np.nonzero(C[i, :jmax] >= rho)[0] + w
        if len(cand) >= min_samples:
            wealth = np.log(X[cand] @ B).sum(axis=0)
            bs[t] = b_grid[int(np.argmax(wealth))]
    return bs

python

两个工程细节值得注意：一是窗口不重叠约束（jmax = i - w），当前窗口和候选历史窗口共享数据会制造虚假相关；二是把 O(T²) 的逐对相关换成一次 Wz @ Wz.T 矩阵乘法——同样的复杂度，快两个数量级。

结果：模式市场碾压，对照市场露馅#

模式匹配示意

上图是 CORN 的核心动作：橙色是”当前窗口”（最近 5 日），绿色是历史上与它相关性最高的窗口。这些绿色窗口的”次日”就是 CORN 优化持仓的样本。

财富曲线对比

财富曲线（对数轴）一张图讲完本文最重要的两个结论：

策略	模式市场终值	对照市场终值
先知上限（已知相位满仓切换）	23.08	—
CORN (ρ=0.2, w=5)	5.50	0.71
事后最优 CRP（b*=1.00，满仓A）	1.72	—
50/50 每日再平衡	0.94	0.92
只持有 B	0.49	—

结论一：在有模式的市场里，CORN 对 BCRP 是碾压。 终值 5.50 对 1.72，三倍有余。这不是 ONS 那篇里”负遗憾”式的小幅反超（2.23 vs 1.87），而是结构性的：BCRP 被锁死在一套权重里，相位信息它一个 bit 都用不了；CORN 的有效对标是条件最优组合——先知上限 23.08 说明相位信息的全部价值有多大，CORN 无监督地吃到了其中约一半（对数尺度）。

Györfi 等人对核方法版本证明过一个很强的渐近结论：市场若是平稳遍历过程，模式匹配策略的长期增长率逼近该过程的对数最优增长率——比”不输 BCRP”强得多。CORN 的相关系数筛选没有同样干净的证明，但共享同一直觉，而我们的实验就是这个定理的一次有限样本演示。

结论二：在没有模式的市场里，CORN 不是无害的。 对照市场上 CORN 终值 0.71，跑输朴素 50/50 的 0.92。原因不难理解：纯噪声里照样有窗口对通过 ρ=0.2 的筛选（低维向量的随机相关很容易超过 0.2），CORN 在这些假相似样本上优化出自信的极端权重，然后为噪声买单。模式匹配的代价不是”没模式时退化为平均”，而是”没模式时把噪声当模式”——这一点比任何渐近定理都值得刻在交易系统的墙上。

权重轨迹：它真的学会了相位#

权重轨迹

上半图是全程权重：前一百多天样本不足、权重在 0.5 附近踌躇，之后迅速进入 0/1 之间的逐日切换状态。下半图放大第 800-860 日，把 CORN 权重和真实相位叠在一起：切换节奏完全对齐——算法从没见过”相位”这个变量，它只看了窗口相关性。

一个反直觉的数字：匹配集的同相位纯度只有 65.6%——通过 ρ≥0.2 筛选的历史窗口里，三分之一其实是反相位的假相似。但这不妨碍权重做对方向：对数最优优化在意的是样本集的平均倾向，65% 纯度的样本集已经足够把最优权重推到正确的极端。模式匹配不需要完美识别状态，只需要让相似集的条件分布和无条件分布有足够差异。这是它对噪声鲁棒的真正来源，也解释了为什么如此粗糙的相似度度量（5 日窗口的皮尔逊相关）在实践中能工作。

ρ 敏感性：噪声混入 vs 样本饥荒#

rho 敏感性

把 ρ 从 -1（不筛选）扫到 0.8，终值财富的倒 U 形揭示模式匹配的核心张力：

ρ = -1（全历史对数最优）：终值 1.58，和 BCRP 的 1.72 一个量级——不筛选就没有超额，符合预期；
ρ ∈ [0.2, 0.5]：高原区，终值 4.8~5.7，峰值在 ρ=0.3（5.71）；
ρ ≥ 0.7：崩落，ρ=0.8 时只剩 1.21——能通过筛选的窗口太少，大量交易日退回均匀权重，偶尔凑够的小样本集又充满噪声。

两种失败模式此消彼长：ρ 太松，相似集混入太多不相干历史，条件信息被稀释；ρ 太紧，样本饥荒，策略在小样本上过拟合或干脆躺平。和 SAX 的字母表大小、Shapelet 的窗口长度一样，ρ 是真超参数，最优值不可能先验知道。

原版论文的应对是 CORN-U / CORN-K：同时跑一组不同 (w, ρ) 的专家，按历史财富加权（U 均匀、K 只留 top-K）。这是把 Cover 的”对 CRP 混合”思想套到专家层面——单个专家有超参数风险，专家池对冲这个风险。工程上这是模式匹配系策略几乎必做的一步。

三盆冷水#

第一盆：O(T²) 计算量，历史越长越慢。 每天要和全部历史窗口比一次相关，全程 O(T²·wm)。日频十年、百资产的规模必须向量化（本文的矩阵乘法方案）甚至上近邻索引。好消息是相关性筛选本质是最近邻检索，SAX 的哈希桶、局部敏感哈希都能做粗筛——模式匹配组合和时间序列检索在算法层是同一个问题。

第二盆：低维窗口的『假相似』。 w=5 双资产的窗口只有 10 个数，10 维向量的随机相关分布很宽——对照实验已经演示了后果：纯噪声市场里 CORN 也能凑出大量”相似集”，然后亏在自信的极端权重上。窗口拉长能压低随机相关，但会稀释时效性并加剧样本饥荒。实务上 w 通常取 3-7 天，这意味着 CORN 匹配的是超短期节奏形态，不是宏观状态——别指望它认出”2008 式危机”这种叙事级相似。

第三盆：一切建立在『历史会押韵』上。 模式市场的实验条件是理想的：模式真实存在、全程稳定、历史里有海量同相位样本。真实市场的可匹配结构（如果存在）强度远弱于此、且会漂移和失效。CORN 的超额收益本质上是对”历史会押韵”假设的风险暴露——对照市场那条 0.71 的紫色虚线就是这个风险的价格标签。模式匹配策略的回测普遍好看，部分原因正是回测里的”历史”和”未来”来自同一分布；这个前提在结构断裂时失效，而结构断裂恰恰是亏大钱的时刻。

和前作的关系：一条谱系线#

算法	世界观	对标	保证
UP	完全对抗	BCRP	遗憾多项式衰减，无条件
ONS	完全对抗	BCRP	遗憾 O(m log T)，无条件、更快
CORN / 核方法	平稳遍历	条件对数最优	渐近逼近，有条件

从上往下，假设越强、上限越高、保证越脆弱。UP/ONS 在任何市场都不会输得难看，但注定平庸；CORN 在”历史押韵”的市场里可以碾压一切常数组合，但没模式时它比躺平更差。没有免费的午餐，只有明码标价的假设。

A 股实操注记#

T+1 与涨跌停：CORN 逐日切换权重，A 股 T+1 下当日买入无法当日卖出，0/1 式的快速翻转实际执行至少滞后一天；涨跌停日的价格相对被制度截断，会污染窗口相关性，匹配时建议跳过含停板的窗口。
成本敏感：本文实验里 CORN 学会模式后几乎每天满仓对调——这是零成本世界的最优解，含单边 10bp 成本后逐日翻仓的代价巨大。上线前必须做含成本回测（方法参考 ONS 那篇的成本扫描），并考虑加权重平滑或换仓阈值。
数据清洗：后复权价、剔除停牌与异常波动日是窗口相关性有意义的最低要求。

完整代码#

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(7)

# ---- 反相位周期市场 + 无模式对照 ----
T, sig = 1250, 0.0085
parity = np.arange(T) % 2
mu = np.zeros((T, 2))
mu[parity == 0] = (+0.003, -0.0025)
mu[parity == 1] = (-0.0025, +0.003)
X = 1.0 + mu + sig * rng.standard_normal((T, 2))      # 模式市场
X_ctrl = 1.0 + sig * rng.standard_normal((T, 2))       # 对照市场

def corn_run(X, w=5, rho=0.2, grid=101, min_samples=5):
    T = len(X)
    W = np.array([X[i:i+w].ravel() for i in range(T - w)])
    Wz = (W - W.mean(1, keepdims=True)) / (W.std(1, keepdims=True) + 1e-12)
    C = (Wz @ Wz.T) / W.shape[1]
    b_grid = np.linspace(0, 1, grid)
    B = np.vstack([b_grid, 1 - b_grid])
    bs = np.full(T, 0.5)
    for i in range(T - w):
        t, jmax = i + w, i - w
        if jmax <= 0:
            continue
        cand = np.nonzero(C[i, :jmax] >= rho)[0] + w
        if len(cand) >= min_samples:
            bs[t] = b_grid[int(np.argmax(np.log(X[cand] @ B).sum(0)))]
    return bs

for name, M in [("模式市场", X), ("对照市场", X_ctrl)]:
    bs = corn_run(M)
    w_corn = np.prod(M[:, 0]*bs + M[:, 1]*(1-bs))
    w_5050 = np.prod(0.5*M[:, 0] + 0.5*M[:, 1])
    print(f"{name}: CORN {w_corn:.2f}  50/50 {w_5050:.2f}")

python

小结#

CORN 用相关系数在历史里检索”相似市场”，只在相似样本上做对数最优——把在线组合选择从”对全历史平均”升级为”对条件历史优化”。
模式市场实测 CORN 终值 5.50 vs 事后最优 CRP 1.72：模式匹配的上限是条件最优而非常数最优，且匹配集纯度 66% 就够用——它不需要完美识别状态。
对照实验是本文最重要的一张牌：无模式市场上 CORN 终值 0.71 跑输 50/50——模式匹配在没有模式的世界里把噪声当模式，这是它区别于 UP/ONS 的真实风险。
ρ 是真超参数（倒 U 形，峰值 ρ≈0.3），实务解是 CORN-U/K 专家池；O(T²) 计算、低维假相似、“历史会押韵”的假设风险，三个代价明码标价。