有效 Tick 估计量：用价格聚集反推隐含买卖价差 • halo 的技术博客

问题：没有报价数据，价差从哪里来#

买卖价差是最基础的流动性度量：它进交易成本模型（Amihud-Mendelson 告诉你价差直接进资产定价）、进回测的成本假设、进流动性因子构造。但价差的直接计算需要报价数据（bid/ask），而大量场景里你根本没有：

历史研究要回到 1990 年代甚至更早，报价数据不存在或贵到离谱；
你只有日线 OHLC，没买 tick 级数据；
新兴市场、债券、场外品种，报价要么不透明要么没有。

于是产生了一整个”低频价差估计量”家族：Roll (1984) 用相邻价格变化的负序列协方差反推价差；Corwin-Schultz (2012) 用高低价范围。今天讲的 Holden (2009) Effective Tick 估计量走的是第三条路，信息源最出人意料：成交价的尾数分布。

它不看价格怎么动，只看价格落在哪些数字上。

直觉：价差会在价格尾数上留下指纹#

想象一个做市商，在 20 元附近的股票上用 0.25 元价差报价。他的报价会是 19.75 / 20.00、20.00 / 20.25 这种——报价自然对齐到价差的整数倍网格上。所有成交都打在报价上，于是成交价也全部落在 0.25 的网格上：你翻遍成交记录，找不到一笔 20.07 或 19.83。

反过来，一只价差只有 0.01 元的流动性好的股票，成交价会均匀铺满每一分钱：20.01、20.02、20.03……什么尾数都有。

这就是关键：价差越宽，成交价越”聚集”在粗网格上；价差越窄，价格越铺满细网格。 价格聚集程度本身，就是价差的化石记录。

价格聚集直方图

上图是两只模拟股票各 4000 笔成交的归类结果（每个价格归入能整除它的最粗增量）。左边真实价差 0.01 元：约一半价格只能落在 0.01 网格（尾数是奇数分），其余按整除关系自然散布——这个分布恰好就是”完全没有聚集”时的基准形态。右边真实价差 0.25 元：几乎 100% 的成交价是 0.25 的整数倍，0.01/0.05/0.10 档几乎为零。两张图的 Effective Tick 估计分别是 0.010 和 0.250 元——直方图形状直接暴露了价差。

算法：从占比反解概率，三步走#

设可能的价差档位阶梯为 $s_1 < s_2 < \dots < s_J$ （例如 0.01, 0.05, 0.10, 0.25, 0.50 元）。算法要从”价格落在各网格的占比”反解出”市场使用各档价差的概率”。

第一步：归类计数。 每笔成交价归入能整除它的最粗增量，统计各档占比 $F_j$ 。注意归类是互斥的：20.25 能被 0.25 整除，就归 0.25 档，不再算进 0.05 档。

第二步：占比 → 未约束概率。 这里有个精妙的会计恒等式。若市场以概率 $g_j$ 使用价差 $s_j$ ，则使用宽价差时的成交价碰巧也落在细网格上（0.25 的倍数必然是 0.05 的倍数），需要扣重。Holden 给出的反解：

U_1 = 2F_1,\qquad U_j = 2F_j - F_{j-1}\ (1<j<J),\qquad U_J = F_J - F_{J-1}

系数 2 来自一个对称性假设：用 $s_j$ 价差报价时，成交价落在”恰好是 $s_j$ 奇数倍”和”恰好是更粗网格”上的概率各半。

第三步：约束修剪。 $U_j$ 可能是负数或加起来超过 1（样本噪声），从最细档开始依次夹到 $[0, \text{剩余概率}]$ 内，得到最终概率 $\hat{g}_j$ 。隐含价差就是加权平均：

\widehat{S} = \sum_{j=1}^{J} \hat{g}_j \, s_j

import numpy as np

INCR = np.array([0.01, 0.05, 0.10, 0.25, 0.50])   # 价差档位阶梯

def effective_tick(prices, incr=INCR):
    cents = np.round(prices * 100).astype(int)
    steps = np.round(incr * 100).astype(int)
    # 第一步：归入能整除的最粗增量
    cls = np.zeros(len(cents), dtype=int)
    for j, s in enumerate(steps):
        cls[cents % s == 0] = j
    F = np.bincount(cls, minlength=len(incr)) / len(cls)
    # 第二步：占比 -> 未约束概率
    J = len(incr)
    U = np.zeros(J)
    U[0] = 2 * F[0]
    for j in range(1, J - 1):
        U[j] = 2 * F[j] - F[j - 1]
    U[J - 1] = F[J - 1] - F[J - 2]
    # 第三步：约束修剪，保证概率合法
    g, rem = np.zeros(J), 1.0
    for j in range(J):
        g[j] = min(max(U[j], 0.0), rem)
        rem -= g[j]
    return (g * incr).sum()

python

整个估计量不到 20 行，输入只要一列成交价（日收盘价就行），这是它在实证文献里被大规模使用的根本原因——Holden 用它把美股价差序列回补到了 1926 年。

验证：五档价差全线贴住 45° 线，方差小于 Roll#

模拟五档真实有效价差（0.01 到 0.50 元），每档 40 次独立模拟、每次 2000 笔成交，同时跑 Roll 序列协方差估计量作对照：

估计值 vs 真实价差

真实价差	Effective Tick	Roll 估计
0.01	0.0100	0.0101
0.05	0.0597	0.0575
0.10	0.1000	0.1130
0.25	0.2523	0.2623
0.50	0.5000	0.5124

两个观察：

一是 Effective Tick 的误差棒明显更短。 Roll 依赖序列协方差的样本估计，2000 笔的样本里协方差噪声很大；Effective Tick 数的是”落网格占比”这种计数统计，收敛快得多。

二是 Effective Tick 永不失效，Roll 会。 Roll 要求相邻价格变化协方差为负，正协方差时（动量强的样本段）根号里是负数，估计直接不存在——实务中约三到四成的股票-月份会碰上。Effective Tick 的修剪步骤保证输出永远合法。这不是小事：横截面研究里缺 40% 的观测，剩下的样本就是被选择过的。

灵魂缺陷：聚集不全来自价差#

Effective Tick 的信息源是价格聚集，它的命门也在这里：它把所有聚集都归因于价差，但聚集还有别的来源。

最典型的是心理聚集（psychological clustering / round-number preference）：人类下限价单偏爱整数和”整角”价格——20.00、20.50、20.25 这种。这个现象在股票、外汇、房价上都被反复证实，与价差无关。当心理聚集混入时，Effective Tick 会把它误读成”市场在用宽价差”，系统性高估。

模拟量化这个偏差：真实价差固定 0.05 元，人为把一部分成交价”吸”到 0.25 的心理网格上：

心理聚集污染

污染 10% 时估计 0.064（高估 27%）；污染 30% 时估计 0.103——高估一倍多；污染 50% 时 0.149，几乎三倍。偏差单调且无上界预警：你从估计值本身完全看不出被污染了。

这条缺陷决定了使用纪律：Effective Tick 适合做横截面和时间序列的相对比较（心理聚集在股票间大致同构，排序仍然有效），不适合当绝对成本参数直接塞进回测——除非你先验证过标的的聚集主要来自 tick 约束而非心理偏好。

A 股落地注意事项#

阶梯要重建。A 股 tick size 统一是 0.01 元（股价不分档），美式的 0.05/0.10/0.25 阶梯没有制度基础。可用的阶梯是”分/角/元”（0.01, 0.10, 1.00），此时估计量捕捉的更多是心理聚集+流动性差引起的粗网格交易，解释口径要相应放宽为”隐含交易摩擦”而非严格价差；
剔除涨跌停封板日。封板价是制度约束出来的整数聚集，会严重污染估计——这和 Amihud-Mendelson 篇里 ILLIQ 代理的处理纪律一致;
低价股警惕。3 元以下的股票 0.01 元 tick 本身就占价格的 0.3%+，tick 约束造成的机械聚集会主导一切，估计量退化为 tick size 本身。

诚实边界#

第一，它估的是有效价差的一个下限口径。 价格改善、隐藏单、价内成交都会让成交价脱离报价网格，这些都往”细网格”方向拉分布，使估计偏向保守。Holden 原文的定位也是与 Roll、LOT 等估计量取均值组合使用，单兵作战不是设计意图。

第二，档位阶梯是先验，选错全歪。 阶梯必须覆盖市场真实使用的报价增量，多设或漏设档位都会让反解公式的会计恒等式失配。跨市场、跨年代使用时（美股 2001 年十进制化前后 tick 规则完全不同），阶梯必须逐段重设。

第三，它对样本内价差变化是均值口径。 一个月内价差从 0.05 走宽到 0.25（比如财报周），估计给你的是某种概率混合的平均，掩盖了动态。想要日内或事件级的价差动态，还是得上 tick 数据和已实现价差那套工具。

低频估计量的本质是拿假设换数据：数据越少，估计里假设的含量越高。Effective Tick 用”聚集只来自价差”这一个假设换来了只需一列价格的极简输入——知道自己付了什么代价，才有资格享受它的便宜。

参考文献#

Holden, C. W. (2009). New Low-Frequency Spread Measures. Journal of Financial Markets, 12(4), 778-813.
Goyenko, R. Y., Holden, C. W., & Trzcinka, C. A. (2009). Do Liquidity Measures Measure Liquidity? Journal of Financial Economics, 92(2), 153-181.
Roll, R. (1984). A Simple Implicit Measure of the Effective Bid-Ask Spread in an Efficient Market. Journal of Finance, 39(4), 1127-1139.
Harris, L. (1991). Stock Price Clustering and Discreteness. Review of Financial Studies, 4(3), 389-415.