指数梯度组合 EG：用乘性更新在线追踪最优资产权重 • halo 的技术博客

一句话版本#

EG（Exponential Gradient）每天只做一件事：把每个资产的权重乘上 exp(η × 该资产今日相对表现)，再归一化。表现好的资产权重指数式上调，表现差的指数式下调。一行代码，O(m) 计算量，没有积分、没有矩阵求逆、没有投影 QP——这是在线组合选择三兄弟（Cover / EG / ONS）里最轻的一个。

代价也明码标价：遗憾界是 O(√T)，比 ONS 的 O(m log T) 慢一个数量级。本文用可复现实验展示 EG 什么时候够用、什么时候不够，以及教科书很少讲的 η 敏感性有多刺眼。

从 Cover 的困境说起#

Cover 通用组合的思路是对所有常数再平衡组合（CRP）做财富加权平均——理论优美，但 m 个资产的单纯形积分需要 O(k^(m-1)) 个网格点，资产一多直接爆炸。

Helmbold、Schapire、Singer、Warmuth 在 1998 年的《On-Line Portfolio Selection Using Multiplicative Updates》里给出了工程解。他们注意到：对数财富损失的在线优化，可以用相对熵（KL 散度）做正则项的镜像下降来解。在单纯形上，KL 正则的镜像下降恰好就是乘性更新：

w_{t+1,i} = \frac{w_{t,i} \cdot \exp\left(\eta \cdot \frac{x_{t,i}}{\mathbf{w}_t \cdot \mathbf{x}_t}\right)}{Z_t}

其中 $x_{t,i}$ 是资产 i 当日价格相对数（今日价/昨日价）， $\mathbf{w}_t \cdot \mathbf{x}_t$ 是组合当日收益， $Z_t$ 是归一化常数。指数里的分式是对数财富对 $w_i$ 的梯度——所以叫”指数梯度”。

三点直觉：

为什么是乘性而不是加性？ 加性梯度更新（OGD）走出单纯形后需要投影，投影会把小权重直接打到 0。乘性更新天然保持权重为正、和为一，永远不需要投影。
为什么除以组合收益？ 梯度是相对表现：一个资产涨 1% 在组合整体涨 1% 的日子里不加分，在组合跌 1% 的日子里大幅加分。EG 追踪的是超额贡献，不是绝对涨幅。
和 softmax 的关系？ 展开递推会发现 $w_{t,i} \propto \exp(\eta \sum_{s \leq t} g_{s,i})$ ——EG 就是对累积梯度做 softmax。它和多臂老虎机的 Hedge/EXP3、深度学习的注意力权重是同一个数学物种。

理论保证： $\eta = O(1/\sqrt{T})$ 时，EG 对最优 CRP 的对数财富遗憾是 $O(\sqrt{T \log m})$ 。注意 $\log m$ ——资产数量只以对数进入遗憾界，这是乘性更新家族的招牌福利。

核心实现：一行更新#

import numpy as np

def eg_update(w, x, eta):
    """EG 乘性更新
    w: 当前权重 (m,), x: 当日价格相对数 (m,), eta: 学习率"""
    grad = x / (w @ x)              # 对数财富的梯度
    nw = w * np.exp(eta * grad)     # 乘性更新
    return nw / nw.sum()            # 归一化

def run_eg(X, eta):
    """X: (T, m) 价格相对数矩阵，返回财富曲线和权重轨迹"""
    T, m = X.shape
    w = np.ones(m) / m              # 均匀初始化
    wealth, weights = np.zeros(T), np.zeros((T, m))
    W = 1.0
    for t in range(T):
        weights[t] = w
        W *= w @ X[t]               # 当日财富更新
        wealth[t] = W
        w = eg_update(w, X[t], eta) # 收盘后更新明日权重
    return wealth, weights

python

注意时序：第 t 天用的是根据 t-1 天及之前信息算出的权重，当天收盘后才用当天数据更新——signal-on-t、execute-on-t+1，没有 look-ahead。

实验一：翻倍-暴跌交替市场#

经典测试场：资产 1 是现金（每天 ×1.0），资产 2 每天在 ×2.2 和 ×0.3 之间交替。买入持有任何单一资产都是灾难（现金不增长，波动资产两天净值 ×0.66 越拿越少），但常数再平衡能收割波动。

网格搜索给出事后最优 CRP：b* = 0.70（70% 波动资产），3000 日对数财富 107.6（终值 5.6e+46）。EG 的表现：

策略	3000 日对数财富	对 BCRP 的对数遗憾
事后最优 CRP (b*=0.70)	107.6	0
EG (η=0.01)	100.9	6.7
EG (η=0.005)	98.0	9.6
EG (η=0.05)	94.3	13.3
买入持有波动资产	-623（归零）	—

EG 财富曲线

对数坐标下 EG 曲线与 BCRP 几乎平行——斜率（长期增长率）已经追平，差距只是常数级的”学费”。EG 从均匀先验 (0.5, 0.5) 出发，靠乘性更新自己爬到 b* 附近，不需要知道市场结构。

这个市场里买入持有归零、再平衡致富的机制是香农的恶魔：波动资产的算术平均收益 +25%/天但几何平均 -18%/天，只有不断把利润搬回现金、把子弹补给跌深者，才能把方差变成收益。

实验二：η 敏感性——比教科书说的更刺眼#

理论说 η 取 $O(1/\sqrt{T})$ ，但常数呢？扫描 8 个 η：

η	对数遗憾
0.005	9.6
0.01	6.7
0.02	7.1
0.05	13.3
0.1	25.3
0.2	50.5
0.5	130.1
1.0	273.0（终值 1.5e-72，归零）

eta 敏感性

单谷曲线，但两侧完全不对称：η 太小只是学得慢（遗憾 9.6），η 太大是灾难——η=1.0 时 EG 每天疯狂追逐昨日赢家，在交替市场里恰好每次都追反，3000 日亏到 10⁻⁷²。

这揭示了乘性更新的阿喀琉斯之踵：指数函数放大一切。加性更新学习率大十倍，步子大十倍；乘性更新学习率大十倍，权重变化是 e 的十次方倍。在高波动市场用 EG，η 宁小勿大——小 η 的代价是线性的，大 η 的代价是指数的。

实验三：regime 切换市场——理论最优 η 不是实战最优#

真实市场没有 3000 天不变的结构。构造三资产市场（资产 A、资产 B、现金），每 500 日切换一次 regime：前 500 日 A 日均 +0.8%、B 日均 -0.2%，后 500 日反转，如此循环 2000 日。

策略	终值
事后最优 CRP（全仓 A）	553.2
EG (η=0.15)	85.2
EG (η=0.03)	59.1
OGD (η=0.01)	59.2
等权 CRP	53.3

regime 切换与权重轨迹

两个观察：

第一，大 η 赢了小 η（85.2 vs 59.1）。 理论遗憾界偏好小 η，但那是对最坏情况的保险。切换市场奖励快速适应：η=0.15 的 EG 在每次 regime 切换后约 100 日就把权重从旧强者搬到新强者，η=0.03 要爬 300 日以上，一半时间浪费在过时的权重上。权重轨迹图里能清楚看到 η=0.15 的锯齿状快速爬坡。这与我们在 ONS 文章里看到的现象同源：遗憾界是下界保险，不是上界预言。

第二，事后最优 CRP 是全仓 A（终值 553），EG 只拿到 85。 这不是 EG 笨——全仓 A 恰好是因为模拟里 A 的两段强势期收益略高于 B，事后才知道。任何在线算法都不可能预知这一点。更公平的基准是”每段 regime 内的条件最优”，EG 对它的追踪才是能力的真实体现。拿自适应算法和全知事后最优比终值，是对在线学习最常见的误读。

实验四：换手与成本——EG 是三兄弟里最便宜的#

η=0.15 的 EG 在 regime 市场里日均单边换手仅 0.39%。成本压力测试：

单边成本	终值
0 bp	85.2
10 bp	83.9
20 bp	82.6
50 bp	78.9

成本压力测试

50bp 的惩罚性成本只吃掉 7.5% 的终值——对比 ONS 日均 207bp 换手，EG 的乘性更新天然平滑：权重按指数因子渐变，不会像牛顿步那样一夜大迁移。低换手是 EG 被低估的实战优势：在成本敏感的场景（A 股双边千分之一以上），EG 可能是三兄弟里唯一活得下来的。

三盆冷水#

第一盆：√T 对 log T 的差距是真的。 在对抗性市场（比如实验一的交替市场），T=3000 时 ONS 的遗憾是 0.4 量级，EG 是 6.7——差 15 倍对数财富。对手越坏、时间越长，二阶方法的优势越大。EG 适合”市场温和、资产多、成本敏感”的场景，不适合和魔鬼对赌。

第二盆：乘性更新永不清零，死资产阴魂不散。 权重只会指数衰减、永远不会精确归零。一个已经退市边缘的资产可能还挂着 10⁻⁶ 的权重——数值上无害，但如果实现时对全 universe 循环，计算和数据成本白白浪费。工程上需要显式的权重截断，而截断又破坏理论保证——这是论文不会告诉你的工程税。

第三盆：EG 追的是 CRP，而 CRP 本身在趋势市是弱基准。 整个遗憾框架的参照物是”最优常数再平衡组合”。在单边趋势市场里，最优 CRP 接近全仓强者，任何再平衡都是拖累——此时 EG”成功追平 CRP”的保证毫无安慰价值，因为基准本身就跑不过简单的动量。选择在线组合算法之前，先问一句：我的市场里 CRP 是个值得追的目标吗？ 轮动市、震荡市答案是肯定的；单边趋势市，你需要的不是更好的 CRP 追踪器，而是换一个基准类（比如切换专家/滑动窗口版本的 EG）。

与三兄弟的关系图#

算法	遗憾界	单步计算	换手	适用场景
Cover UP	O(m log T)	指数（积分）	低	理论标杆，m≤3
EG	O(√(T log m))	O(m)	最低	资产多、成本敏感、市场温和
ONS	O(m log T)	O(m²)+投影QP	高	对抗性强、T 大、m≤50

EG 用一行 softmax 换掉 Cover 的积分，代价是遗憾从 log T 涨到 √T；ONS 用二阶曲率把遗憾压回 log T，代价是矩阵运算和 5 倍换手。没有免费午餐，只有明码标价的三张菜单。

实战建议从 EG 开始：先确认策略逻辑在低成本近似下成立，再决定是否值得为 log T 遗憾支付 ONS 的换手税。

参考文献#

Helmbold, D. P., Schapire, R. E., Singer, Y., & Warmuth, M. K. (1998). On-Line Portfolio Selection Using Multiplicative Updates. Mathematical Finance, 8(4), 325-347.
Cover, T. M. (1991). Universal Portfolios. Mathematical Finance, 1(1), 1-29.
Hazan, E., Agarwal, A., & Kale, S. (2007). Logarithmic Regret Algorithms for Online Convex Optimization. Machine Learning, 69(2-3), 169-192.
Li, B., & Hoi, S. C. H. (2014). Online Portfolio Selection: A Survey. ACM Computing Surveys, 46(3).