分数凯利准则：在全凯利的暴涨暴跌与半凯利的稳健之间选择

理论最优，实践毒药#

凯利公式是资金管理领域少有的、有严格数学根基的结论：按 f* = μ/σ² 的比例下注，长期对数财富增长率最大化。没有任何其他固定比例策略能在足够长的时间里跑赢它——这是定理，不是经验。

然后是所有实践者都撞过的墙：按全凯利下注的账户，几乎没有人拿得住。

以一个年化收益 8%、波动 18% 的资产为例（大致是宽基股指的量级）：

mu, sigma = 0.08, 0.18
f_star = mu / sigma**2    # = 2.47

f* = 2.47——凯利公式建议你上 2.47 倍杠杆。任何管过真钱的人看到这个数字都会本能地后退一步。这一步后退，量化成公式就是分数凯利：仓位 = k × f*，k 取 0.5 就是著名的”半凯利”。

问题是：k 到底该取多少？这不是玄学，是一笔可以精确计算的账。

第一笔账：增长是二次的，回撤是单调的#

对连续时间近似，仓位 f 下的长期对数增长率是：

g(f) = f·μ − ½·f²·σ²

这是一条开口向下的抛物线，顶点在 f*。抛物线的几何性质直接给出分数凯利的核心定价：g(k·f) = k(2−k) · g(f)**。代入几个 k：

• 半凯利（k=0.5）：保留全凯利增长率的 75%
• 0.75 凯利：保留 93.75%
• 2 倍凯利（k=2）：增长率归零——和把钱放床垫下等价，但天天坐过山车

增长率对仓位钝感（顶点附近是平的），而回撤对仓位一路陡峭。用 20 年 × 400 条蒙特卡洛路径把两边同时画出来：

读这张表的正确姿势：从半凯利到全凯利，你多赚 2.4 个百分点的年化增长，代价是中位回撤从 51.5% 恶化到 80.6%。注意是中位数——这意味着按全凯利下注，你有一半的概率在 20 年里的某个时刻看到账户从峰值蒸发五分之四。没有几个投资人、更没有几个基金 LP 能在 -80% 处继续持有。

同一条市场路径下三种杠杆的财富轨迹，把这件事画得更直观：

这条路径上半凯利终值 4.5 倍、全凯利 7.2 倍、2 倍凯利 0.88 倍——2 倍凯利在 20 年过山车之后亏钱。波动侵蚀（-½f²σ²）不是修辞，是复利的物理定律。

第二笔账：回撤概率有解析式#

连续时间凯利框架下有一个漂亮到不像话的结果：按 k 分数凯利下注，一生中最大回撤超过深度 D 的概率是

P(回撤 > D) = D^(2/k − 1)

代入 D=50%：

• 全凯利（k=1）：指数为 1，P = 50%。抛硬币。
• 半凯利（k=0.5）：指数为 3，P = 0.5³ = 12.5%
• 1/4 凯利（k=0.25）：指数为 7，P = 0.8%

用 40 年蒙特卡洛验证解析式：

圆点（模拟）几乎落在曲线（理论）上。这个公式值得背下来，因为它把”我能忍受多深的回撤”直接翻译成 k：如果你要求 50% 回撤的终身概率低于 10%，k 就不能超过约 0.46。分数凯利从”拍脑袋打折”变成了带约束的显式求解。

第三笔账：你根本不知道 μ——这才是最硬的理由#

前两笔账假设 μ 和 σ 是已知的。σ 还好说（高频数据下估计收敛很快），μ 是金融数据里最难估的参数，没有之一。

10 年日频数据估年化 μ 的标准误是 σ/√10 = 5.7%——和 μ = 8% 本身同一个数量级。也就是说，一个真实 μ 为 8% 的资产，你用十年数据估出 3% 或 13% 都是家常便饭。

现在把估计误差灌进仓位决策：抽 3000 次 μ̂ ~ N(8%, 5.7%)，每次都按估计值定仓位 f = k·μ̂/σ²，但财富按真实 μ 增长。看不同 k 下真实增长率的分布：

这张表是全文最重要的一张。在确定性世界里，全凯利比半凯利多赚 2.4 个百分点；在参数无知的真实世界里，这个优势缩水到 0.3 个百分点（7.7% vs 7.4%），而负增长概率翻倍（16.7% vs 8.2%）。k=1.5 更惨：中位增长被腰斩到 3.5%，四成的概率长期亏钱。

机制不难理解：增长率函数 g(f) 在 f* 附近是平的，但不对称地惩罚过冲——超过 f* 之后曲线加速下坠。估计误差是双向的，可后果不是：低估 μ 让你少赚一点，高估 μ 让你冲过山顶滚下悬崖。k < 1 的分数凯利本质上是给”μ̂ 高估了”这个坏事件买的保险，而这份保险在增长率上的保费，被抛物线的平顶压到接近免费。

这就是半凯利在从业者中近乎共识的真正原因：不是风险偏好保守，而是贝叶斯意义上的正确——对参数不确定性积分之后，最优 k 本来就显著小于 1。Ed Thorp 本人在实盘中用的也是分数凯利，他的原话大意是：市场给你的 μ 估计太糙，全凯利承受不起这种糙。

三盆冷水#

第一盆：k 本身也依赖你估不准的参数。 分数凯利没有把你从参数估计里解放出来——f* = μ/σ² 里的 μ 还是那个标准误 5.7% 的 μ。k=0.5 只是把误差的杠杆效应打了对折，误差本身原封不动。真正稳健的做法是把 μ̂ 主动向零收缩（贝叶斯先验：绝大多数策略没有 alpha），再在收缩后的估计上取分数。分数化是缓冲垫，不是豁免权。

第二盆：解析式活在高斯世界，你的账户不是。 P = D^(2/k−1) 和 g = f·μ − ½f²σ² 都来自连续时间几何布朗运动——没有跳空、没有肥尾、可以连续调仓。真实市场一夜跳空 -20% 时，2.47 倍杠杆意味着单日 -49%，任何止损都在跳空缺口面前失效。肥尾分布下的”真实凯利”比高斯公式给出的更小，且尾部越肥缩得越狠。把本文所有公式的输出再打一个安全折扣，才是对肥尾的正确敬畏。

第三盆：多资产凯利是另一头怪兽。 组合版凯利解是 f⃗* = Σ⁻¹μ⃗——需要对协方差矩阵求逆。矩阵求逆是估计误差的放大器：资产数逼近样本量时，Σ̂⁻¹ 的误差可以大到让仓位向量完全是噪声，个别资产被建议上数十倍杠杆。实务界的常见配置是 0.2~0.5 倍凯利，再叠加一个与凯利无关的加总杠杆硬上限。单资产场景里分数凯利是优化；多资产场景里它是救命。

写在最后#

凯利准则最大的价值不是那个具体的 f*，而是它提供的思考框架：仓位是一个有最优解的数学对象，过度下注的惩罚是超线性的，而”下注太少”的代价远小于”下注太多”。

分数凯利把这个框架变成一条可执行的纪律：算出 f*，然后清醒地只用它的一半甚至四分之一——不是因为胆小，而是因为你对 μ 的无知是定量的、可证明的、且不会因为回测好看而消失。全凯利属于知道真实参数的神；分数凯利属于知道自己不知道的人。在这个行业里，后者活得久得多。