分数 Kelly 与回撤约束：在增长率和最大回撤之间讨价还价 • halo 的技术博客

先说结论：Kelly 分数 c 的增长率是一条抛物线 $g(c) = g^*(2c - c^2)$ ，但亏损概率是一条指数曲线 $P(\text{亏掉 } D) = (1-D)^{2/c - 1}$ 。抛物线在顶点附近是平的——从全 Kelly 退到半 Kelly，增长率只损失 25%；指数曲线在同一段却是陡的——腰斩概率从 50% 掉到 12.5%，砍掉四分之三。这个不对称就是”分数 Kelly”能成为行业惯例的全部数学理由。我用 4000 条 20 年模拟路径实测：理论散点几乎完美贴合，且给定”腰斩概率不超过 10%“的约束可以直接反解出 c=0.463——回撤约束不是拍脑袋的风险偏好，是一个能算出来的数字。

这篇文章是 Kelly 系列的收官：Kelly 仓位管理基础推导了 $f^* = \mu/\sigma^2$ ，状态条件 Kelly 讨论了参数随 regime 变化时怎么办。这一篇回答最后一个问题：就算参数全对，你也不该用全 Kelly——那到底该用多少？

全 Kelly 的问题不是错，是疼#

先复习设定。资产年化漂移 $\mu = 10\%$ 、波动 $\sigma = 20\%$ ，连续时间下以杠杆 $f$ 持有，对数财富的长期增长率是：

$g(f) = f\mu - \frac{1}{2}f^2\sigma^2$

对 $f$ 求导取零，得到全 Kelly 杠杆 $f^* = \mu/\sigma^2 = 2.5$ ，对应最大增长率 $g^* = \mu^2/(2\sigma^2) = 12.5\%$ 。

数学上无懈可击：任何长期对数增长的最大化者都必须用 $f^*$ ，这是 Breiman（1961）的经典结果。但把 $f = cf^*$ 代回去，整理一下会得到本文最重要的公式：

$g(c) = g^* \cdot (2c - c^2)$

这是一条以 $c=1$ 为顶点的抛物线。它有三个立刻能读出来的性质：

顶点是平的。在 $c=1$ 处一阶导为零，意味着在最优点附近增减仓位对增长率的影响是二阶小量。半 Kelly（ $c=0.5$ ）保留 $2(0.5) - 0.25 = 0.75$ ，即 75% 的最优增长；四分之三 Kelly 保留 93.75%。
对称性。 $c=0.5$ 和 $c=1.5$ 的增长率相同——但后者的风险大得多（下面马上看到）。超过全 Kelly 的每一分杠杆都是纯亏：风险更高，增长更低。
$c=2$ 增长归零。两倍 Kelly 的长期增长率恰好为零——你承担着巨大的波动，财富的长期复合速度却和存款单持平。 $c>2$ 则长期必然破产。

20 年、4000 条路径的模拟散点几乎落在理论线上：

增长率抛物线：理论线与模拟散点

模拟中 $c=1$ 的年化对数增长中位数 12.05%（理论 12.5%，差异来自有限期限的抽样噪声）， $c=0.5$ 是 9.52%， $c=2$ 是 0.17%——三个关键点全部验证。

那既然全 Kelly 增长最快，为什么没人用？因为增长率只描述了 $T \to \infty$ 的终点，没描述路径。而路径会疼。

亏损概率：一条指数曲线#

对数财富在杠杆 $cf^*$ 下是一个带漂移的布朗运动。对这类过程，“财富曾经跌破初始资金的 $(1-D)$ 倍”的概率有闭式解（标准的首达时间结果）：

$P\Big(\min_t W_t \le (1-D)W_0\Big) = (1-D)^{2/c - 1}$

注意指数 $2/c - 1$ ：它对 $c$ 是双曲线式敏感。代几个数进去（ $D = 50\%$ ，即腰斩）：

Kelly 分数 c	腰斩概率（理论，无限期）	20 年模拟
0.25	0.8%	0.6%
0.375	4.2%	4.5%
0.5	12.5%	11.0%
0.75	31.5%	29.1%
1.0（全 Kelly）	50.0%	46.8%
1.5	70.7%	71.3%
2.0	84.1%	87.1%

**全 Kelly 意味着扔硬币决定你会不会腰斩。**这不是尾部风险，是均值事件。模拟值略低于理论值是因为理论是无限期极限、模拟只跑了 20 年——时间越长模拟值越逼近理论。

亏损概率对 c 指数级敏感

现在把两条曲线放在一起看，不对称就出来了：

从 c=1.0 退到 c=0.5：增长率 12.5% → 9.4%，损失 25%；腰斩概率 50% → 12.5%，下降 75%。
从 c=0.5 退到 c=0.25：增长率 9.4% → 5.5%，损失 41%；腰斩概率 12.5% → 0.8%，下降 94%。

每一步减仓，买到的安全都比付出的增长多。这就是”讨价还价”：抛物线的平顶意味着卖方（增长率）要价很低，指数曲线的陡坡意味着买到的商品（安全）很多。半 Kelly 是这场谈判里被引用最多的成交价，但它不神圣——真正的成交价应该由你的回撤约束反解出来。

把回撤约束变成一个方程#

实务中风控给的约束通常长这样：“腰斩概率不超过 10%“。把它代入闭式解：

$(1-D)^{2/c-1} \le p_{\max} \quad\Rightarrow\quad c \le \frac{2}{\ln p_{\max}/\ln(1-D) + 1}$

三个常见约束的解：

约束	反解出的 c	实际杠杆	保留的增长
P(亏 50%) ≤ 10%	0.463	1.16	71%
P(亏 30%) ≤ 10%	0.268	0.67	47%
P(亏 20%) ≤ 5%	0.139	0.35	26%

第一行就是”半 Kelly 惯例”的定量出处：腰斩概率 10% 的约束反解出 c≈0.46，和拍脑袋的 0.5 几乎重合。但第三行同样重要——如果你的容忍度是”20% 回撤、95% 置信”，那么正确的 Kelly 分数是 0.14，杠杆只有 0.35。很多自认保守用了半 Kelly 的人，实际风险远超他们的真实容忍度。

import numpy as np

def solve_kelly_fraction(D, p_max):
    """给定约束 P(亏掉初始资金的 D) <= p_max，反解 Kelly 分数 c"""
    k = np.log(p_max) / np.log(1 - D)
    return 2.0 / (k + 1.0)

def growth_retained(c):
    return 2*c - c**2   # 相对 g* 的比例

c = solve_kelly_fraction(D=0.5, p_max=0.10)
print(f"c = {c:.3f}, 保留增长 {growth_retained(c):.1%}")
# c = 0.463, 保留增长 71.1%

python

模拟验证（4000 条路径、每条 5040 个交易日）：

rng = np.random.default_rng(42)
mu, sig, dt = 0.10, 0.20, 1/252
f_star = mu / sig**2

def simulate(c, n_paths=4000, T=5040):
    f = c * f_star
    drift = (f*mu - 0.5*f**2*sig**2) * dt
    vol = f * sig * np.sqrt(dt)
    logw = np.cumsum(drift + vol*rng.standard_normal((n_paths, T)), axis=1)
    loss = 1 - np.exp(logw.min(axis=1))     # 相对初始资金的最深亏损
    growth = logw[:, -1] / (T/252)          # 年化对数增长
    return growth, loss

g, loss = simulate(0.463)
print(f"P(腰斩) = {np.mean(loss > 0.5):.3f}")   # ≈ 0.09，贴合约束的 0.10

python

一条路径看三种人生#

同一组随机冲击（同一个市场），三种仓位：

同一组随机冲击下的全 Kelly、半 Kelly、四分之一 Kelly

这条具体路径抽到了偏差的 20 年：全 Kelly 最大回撤 93%，20 年后净值 0.66——跑输了把钱放在床垫下；半 Kelly 回撤 70%，净值 1.52；四分之一 Kelly 回撤 44%，净值 1.44。

注意半 Kelly 和四分之一 Kelly 的终值几乎相同，但路径的疼痛程度完全不同。这条路径想说的是：增长率的抛物线是期望值的世界，你只活在一条路径里。全 Kelly 的 12.5% 期望增长里包含大量”先跌 90% 再涨回来”的路径——期望遍历不了你的人生，这正是状态条件 Kelly 里”遍历性”讨论的另一面。

还有一个容易被忽略的事实：即使是保守仓位，20 年里从峰值的最大回撤中位数也不小。模拟给出 c=0.25 的从峰值最大回撤中位数是 31%，c=0.5 是 55%，c=1.0 是 84%。从峰值回撤（high-water mark 口径）永远比从初始资金的亏损深得多——因为峰值在不断创新高，分母一直在涨。风控条款写的是哪个口径，签字前要看清楚。

讨价还价的完整菜单#

把增长率和腰斩概率画在同一个平面上，就得到这场谈判的完整菜单：

增长-亏损交换前沿

曲线上每一点是一个 c 的选择。菜单上没有免费午餐，但价格表严重非线性：靠近 c=1 的地方，多买一点增长要付出巨额的亏损概率；靠近 c=0.25 的地方，增长很便宜。理性的消费者会停在边际交换率等于自己风险偏好的地方——对大多数人，这个点在 0.25 到 0.5 之间。

顺带说一句：这个框架和 CPPI 回撤控制是互补而非竞争。分数 Kelly 是静态地选一个常数杠杆，让亏损概率有界；CPPI 是动态地随缓冲垫收缩杠杆，硬保证地板不破。前者简单、无路径依赖、不怕跳空造成的”缓冲垫瞬间击穿”失效模式；后者提供硬保证但有 cash-lock 风险。资金量大、调仓成本高时分数 Kelly 更实用。

为什么实务中还要再打个折#

上面的一切都建立在” $\mu$ 和 $\sigma$ 已知且正确”上。实务中至少有三个理由让你在反解出的 c 上再乘一个小于 1 的系数：

参数误差是乘法性的。Kelly 杠杆 $f^* = \mu/\sigma^2$ 对 $\mu$ 线性敏感，而 $\mu$ 恰好是金融里最难估的参数（估计误差的标准差 $\approx \sigma/\sqrt{T}$ ，20 年日线数据也只能把年化 $\mu$ 估到 ±4.5 个百分点）。如果你的 $\hat\mu = 10\%$ 实际只有 6%，你以为的全 Kelly 实际是 1.67 倍 Kelly——落在抛物线右侧的纯亏损区。参数不确定性下，估计出的 $f^*$ 系统性地偏向过度杠杆，先打对折是贝叶斯上说得通的（详细论证见 Kelly 组合应用那篇的收缩讨论）。

真实收益有肥尾。 $(1-D)^{2/c-1}$ 是几何布朗运动的结果。真实日收益的峰度普遍在 5 以上，跳跃会让亏损概率高于闭式解——方向明确：闭式解是下界，不是估计值。

回撤约束经常是软约束叠加硬约束。“腰斩概率 10%“是长期约束，但基金还面临”单年回撤 25% 触发清盘条款”这类短期硬约束。短窗口约束换算出的 c 通常更小，取两者的 min。

工程清单#

先算 $f^*$ 再谈 c。很多人直接争论”半仓还是满仓”，跳过了 $f^* = \mu/\sigma^2$ 这一步。 $\sigma = 20\%$ 、 $\mu = 10\%$ 时全 Kelly 是 2.5 倍杠杆——“满仓”（ $f=1$ ）其实已经是 0.4 Kelly，本身就是分数 Kelly。
用约束反解 c，而不是先选 c 再看结果。 $c = 2/(\ln p_{\max}/\ln(1-D) + 1)$ 一行代码，让风险预算从形容词变成数字。
口径要锁死：从初始资金的亏损（本文闭式解的口径）和从峰值的回撤（业界报表口径）差别巨大。c=0.5 的腰斩概率 12.5%，但 20 年内从峰值回撤过 50% 的概率是 64%。
参数保守化在前，分数化在后。先把 $\hat\mu$ 收缩（对半砍或贝叶斯收缩），再在收缩后的 $f^*$ 上取分数。两层保险不重复——一层管估计误差，一层管路径疼痛。

局限#

第一，所有闭式解都建立在几何布朗运动上：常数 $\mu$ 、 $\sigma$ ，无跳跃、无自相关。真实市场的波动聚集会让回撤比 GBM 更深更集中（这正是 GEV 那篇讨论的 extremal clustering），肥尾修正方向是把 c 再调低。

第二，本文假设单一资产。多资产 Kelly 的最优权重是 $\Sigma^{-1}\mu$ ，分数化应该作用在整个向量上还是逐资产讨论，取决于约束写在组合层还是资产层——组合层约束下直接缩放向量即可，结论不变。

第三， $\mu$ 、 $\sigma$ 恒定意味着本文的 c 是一次性决策。若参数随状态切换，正确做法是先按 regime 条件矩重算 $f^*_t$ ，再对每期的 $f^*_t$ 取同一个分数——分数管路径风险，条件矩管参数时变，两者正交。

第四，增长率-亏损概率的权衡里没有效用函数。如果你有明确的 CRRA 风险厌恶系数 $\gamma$ ，最优杠杆直接是 $f^*/\gamma$ ，分数 Kelly 等价于 $\gamma = 1/c$ ——半 Kelly 就是 $\gamma = 2$ 的对数效用推广。两套语言描述同一件事，用哪套取决于你的约束是用概率还是用效用表达的。

回到那句讨价还价：全 Kelly 是数学上的最优，分数 Kelly 是活得到长期的最优。抛物线顶上那 25% 的增长率，换不来腰斩概率从 50% 到 12.5% 的下降——这笔交易，闭着眼睛做。