GARCH 滤波历史模拟：把波动率标准化后再抽历史

历史模拟法（HS）是银行业算 VaR 的默认姿势：取过去 500 天收益，读 1% 分位数，完事。它的卖点是零分布假设——肥尾、偏度、跳跃全在历史数据里，不用建模。但它有个致命的结构缺陷：窗口内所有日子权重相等，它算出的是无条件分位数。市场昨天刚进入高波动状态？HS 不知道，它的 VaR 还是那条由过去 500 天平均决定的地板，要等突破一次次砸进窗口才慢慢下沉。结果就是突破在时间上扎堆——低波动期 VaR 太深浪费资本，高波动期太浅连续被击穿。

结论先放这：滤波历史模拟（FHS，Barone-Adesi, Giannopoulos & Vosper 1999）用”GARCH 管动态、经验分位数管形状”的分工修复这个缺陷。三步：用 GARCH 把收益标准化成近似 iid 的残差 → 取残差的经验分位数（不套正态，肥尾原样保留）→ 乘明日波动率预报还原条件尺度。GARCH-t(6) 模拟世界 1500 天滚动回测的判决很干净：HS 的 95% VaR 突破后次日再突破的概率 17.9%（无条件应为 5%），Christoffersen 独立性检验 p<0.0001 处决；GARCH-正态的 99% VaR 突破 25 次（期望 15），Kupiec POF p=0.018 拒绝——动态对了但尾巴太瘦；FHS 两个层级、频率与独立性共六项检验全部通过。

分工的逻辑：为什么两个”半吊子”拼起来是全的#

先看两个纯策略各自的死法：

• 纯历史模拟：形状对（肥尾在数据里），动态错（无条件）。死于突破扎堆。
• 纯 GARCH-正态参数法：动态对（条件波动率），形状错（正态尾巴太瘦）。死于 99% 这种深尾层级系统性低估。

FHS 的观察是：这两个错误正交。金融收益的标准化残差 $z_t = r_t/\sigma_t$ 近似 iid——波动聚集几乎全部由 $\sigma_t$ 解释，剩下的 $z_t$ 虽然仍是肥尾的（GARCH 滤波消不掉条件分布的肥尾），但至少不再有时间依赖。于是：

$\text{VaR}_{t+1}^\alpha = \hat\sigma_{t+1} \cdot \hat{q}_\alpha(z)$

$\hat\sigma_{t+1}$ 来自 GARCH 预报（负责”今天风险有多大”），$\hat q_\alpha(z)$ 来自标准化残差的经验分位数（负责”尾巴长什么形状”）。模型只被要求做它擅长的事：GARCH 不需要猜对残差分布（QML 下波动率估计照样一致），经验分位数不需要处理时间依赖（残差已经近似 iid，独立抽样的前提成立了）。

实现：五十行核心代码#

import numpy as np
from scipy import stats
from scipy.optimize import minimize

def garch_negll(params, r):
    """GARCH(1,1) 高斯 QML 负对数似然"""
    omega, a, b = params
    if omega <= 0 or a < 0 or b < 0 or a + b >= 0.999:
        return 1e10
    sig2 = np.empty(len(r)); sig2[0] = np.var(r)
    for t in range(1, len(r)):
        sig2[t] = omega + a * r[t-1]**2 + b * sig2[t-1]
    return 0.5 * np.sum(np.log(sig2) + r**2 / sig2)

def fhs_var(window, alpha, params):
    """FHS 单日 VaR：滤波 -> 经验分位数 -> 还原尺度"""
    omega, a, b = params
    T = len(window)
    sig2 = np.empty(T + 1); sig2[0] = np.var(window)
    for t in range(1, T + 1):                 # 最后一格是 t+1 预报
        sig2[t] = omega + a * window[t-1]**2 + b * sig2[t-1]
    z = window / np.sqrt(sig2[:-1])           # 标准化残差
    return np.quantile(z, alpha) * np.sqrt(sig2[-1])

# 滚动回测：500 天窗口，每 25 天重估 GARCH 参数
for t in range(win, T):
    w = r[t-win:t]
    if (t - win) % 25 == 0:
        params = min(
            (minimize(garch_negll, x0, args=(w,), method="Nelder-Mead")
             for x0 in [(0.05,0.1,0.85), (0.1,0.15,0.75)]),
            key=lambda res: res.fun).x
    var_fhs[t] = fhs_var(w, 0.01, params)

两个工程细节值得强调：QML 用高斯似然是故意的——即使真实残差是 t 分布，高斯 QML 的波动率参数估计依然一致（Bollerslev-Wooldridge），而残差的肥尾交给经验分位数处理，不需要在似然里建模；每 25 天重估参数是速度与新鲜度的折中，GARCH 参数漂移很慢，逐日重估纯属浪费。

滤波前后：残差长什么样#

在 GARCH(1,1)-t(6)（真实参数 ω=0.05, α=0.13, β=0.84，持续性 0.97）的模拟序列上，取 500 天窗口做滤波：

• 时间依赖：原始收益的平方自相关 0.21（波动聚集显著），标准化残差降到 -0.03——滤波把可预测的部分榨干了
• 肥尾：原始收益超额峰度 7.8，残差仍有 1.8——这不是滤波失败，恰恰是 FHS 的资产：t(6) 的理论超额峰度正是 3/(6-4)=1.5，残差把条件分布的真实肥尾保留下来了，如果此处套正态就回到 GARCH-正态的死法

右下角对数坐标直方图最能说明问题：残差的尾部依然明显厚于正态参考线。GARCH 滤波消灭的是波动聚集，不是肥尾——两者经常被混为一谈，但前者是时间维度的依赖，后者是截面分布的形状。

回测判决：六项检验#

1500 个评估日，三个模型 × 两个层级，用 Kupiec POF（频率）+ Christoffersen（独立性）双卡：

两个死法清晰分离：HS 频率完美但突破扎堆——π01=0.045 vs π11=0.179，突破后次日再突破的概率是平时的 4 倍，正是”僵硬地板遇上波动聚集”的签名；GARCH-正态独立性完美但 99% 层级频率超标——动态跟上了，每一天都在系统性低估深尾。FHS 六项全绿。

路径图更直观：HS 的 99% VaR 是一条阶梯状的地板（只有极端观测进出窗口才跳一格），FHS 跟着波动率呼吸。按真实波动率三分位分层看 95% VaR 突破率：HS 低/中/高波动段 2.0%/3.4%/10.2%，FHS 是 4.4%/5.2%/5.6%——HS 把全部超额突破堆在高波动段，FHS 三段基本持平。风控视角下这是天壤之别：突破扎堆意味着损失以连续大额的形式到来，正是资本最脆弱的时刻。

FHS 的软肋#

1. 深尾分位数由极少数残差决定。500 天窗口的 1% 经验分位数本质上是第 5、6 个最小残差的插值——约 5 个点决定了整个 99% VaR 的形状部分。窗口里恰好没有极端日，深尾就被低估；想做 99.9% 层级，经验分位数直接没有数据支撑，得在残差上再套 EVT（GPD 尾部拟合是标准续接）。
2. 滤波质量上限是 GARCH 模型的正确性。真实世界有杠杆效应（负收益推升波动更多）、长记忆、跳跃——GARCH(1,1) 滤不干净时残差仍带依赖，“iid 后再抽样”的前提被侵蚀。诊断方法：查残差平方的 Ljung-Box；升级路线：GJR/门限 GARCH 或 FIGARCH。
3. 多日 VaR 不能开平方根。√t 规则在条件波动率框架下系统性错误（波动率会均值回归）。正确做法是从残差池里带放回抽样多步路径，让每步的 σ 按 GARCH 递推更新——这也是 FHS 原论文的主要贡献（为期权组合做多日情景），单日 VaR 只是它最简单的特例。
4. 危机切换的第一周依然裸奔。FHS 对波动的反应速度受 GARCH 的 α+β 限制，突发跳升（如熔断日）当天预报仍来自昨天的信息集。这是所有条件模型的共同边界，不是 FHS 独有，但用户经常对”条件化”抱有它能预知跳跃的幻觉。

与前作的连接#

这篇是 VaR 建模-回测系列的合拢点：Kupiec POF、Christoffersen、DQ 检验回答”怎么判死刑”，FHS 回答”怎么造一个判不死的模型”。它的分工哲学——参数模型管条件动态、非参数方法管分布形状——是量化里罕见的几乎免费的午餐：不比 HS 多任何分布假设，不比 GARCH-正态多任何计算负担，两边的死穴恰好互补。半参数方法在风险管理里长盛不衰，FHS 是最好的教科书案例。

参考文献#

• Barone-Adesi, G., Giannopoulos, K., & Vosper, L. (1999). VaR without Correlations for Portfolios of Derivative Securities. Journal of Futures Markets, 19(5), 583-602.
• Hull, J., & White, A. (1998). Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value-at-Risk. Journal of Risk, 1(1), 5-19.
• Bollerslev, T., & Wooldridge, J. M. (1992). Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in Dynamic Models with Time-Varying Covariances. Econometric Reviews, 11(2), 143-172.
• Kuester, K., Mittnik, S., & Paolella, M. S. (2006). Value-at-Risk Prediction: A Comparison of Alternative Strategies. Journal of Financial Econometrics, 4(1), 53-89.
• Pritsker, M. (2006). The Hidden Dangers of Historical Simulation. Journal of Banking & Finance, 30(2), 561-582.