Kupiec POF 检验：用失败次数的似然比给 VaR 模型做体检 • halo 的技术博客

先说结论：一个 99% VaR 模型在 1000 个交易日里”应该”被击穿 10 次左右——击穿太多说明模型低估风险，击穿太少说明模型过度保守占用资本。Kupiec 失败比例检验（Proportion of Failures, POF）用一个似然比统计量把”多少次算正常”变成了精确的接受域：T=1000、p=1% 时，突破 5~16 次都在 5% 显著性下可接受，出了这个区间模型就该下线检修。本文的模拟实验里，无条件正态 VaR 突破 11 次（p=0.75，通过），GARCH-正态突破 20 次（p=0.005，拒绝），GARCH-t 突破 13 次（p=0.36，通过）——一个反直觉的结果藏在后面：动态模型配上错误的尾部分布，比静态模型死得更快。

VaR 回测的本质：数硬币#

VaR 模型每天输出一个数：“明天的损失有 99% 的概率不超过 X”。事后验证它的方式出奇地简单：数一数实际损失超过 X 的天数。定义突破指示变量：

$I_t = \begin{cases} 1, & r_t < -VaR_t \\ 0, & \text{否则} \end{cases}$

如果模型正确， $I_t$ 应该是参数 p=0.01 的伯努利序列——每天以 1% 的概率掷出”突破”。T 天里的突破总数 $x = \sum I_t$ 服从二项分布 $B(T, p)$ 。VaR 回测就此变成一个统计学入门问题：观测到的突破频率 $\hat{\pi} = x/T$ 与名义水平 p 是否相容。

Kupiec (1995) 用似然比构造检验统计量：

$LR_{POF} = -2 \ln \frac{(1-p)^{T-x} \, p^x}{(1-\hat{\pi})^{T-x} \, \hat{\pi}^x}$

分子是”模型正确”（突破率恰为 p）下的似然，分母是让数据自己说话（突破率取样本频率 $\hat{\pi}$ ）的似然。模型越离谱，两个似然差距越大，LR 越大。在 H0 下 LR 渐近服从自由度 1 的卡方分布，95% 临界值 3.84。

import numpy as np
from scipy import stats

def kupiec_pof(returns, var_series, p=0.01):
    """returns: 实际日收益；var_series: 每日 VaR（负数，表示损失阈值）"""
    exceptions = returns < var_series
    x, T = exceptions.sum(), len(returns)
    pi_hat = x / T
    if x == 0:
        lr = -2 * T * np.log(1 - p)
    else:
        lr = -2 * (np.log((1-p)**(T-x) * p**x)
                   - np.log((1-pi_hat)**(T-x) * pi_hat**x))
    pval = 1 - stats.chi2.cdf(lr, df=1)
    return x, pi_hat, lr, pval

python

接受域长什么样#

把 T=1000、p=1% 时的 LR 统计量对突破次数画出来：

LR 统计量与接受域：5~16 次突破可接受

曲线在期望值 x=10 附近触底（LR≈0），向两侧陡峭上升。与 3.84 临界线的交点给出接受域 [5, 16]。两个值得注意的细节：

检验是双侧的。突破 3 次和突破 20 次一样会被拒绝——前者说明 VaR 定得太高，资本被无谓锁死；后者说明风险被低估。多数人只盯着”突破太多”，但监管资本占用的角度看”突破太少”同样是模型缺陷。
接受域不对称。左边界离期望值 5 步，右边界离 6 步——似然比在低突破侧上升更快，因为二项分布在小 p 下右偏。

实验：三个 VaR 模型进体检室#

模拟 1000 天带波动聚集的收益序列（GARCH(1,1)，创新项为 t(6) 分布），给三个常见的 99% VaR 模型做体检：

无条件正态：全样本波动率 × 2.33，一条水平线；
GARCH-正态：条件波动率 × 2.33，随波动起伏；
GARCH-t：条件波动率 × t(6) 分位数，动态且厚尾。

静态 VaR 在高波动期被密集击穿

体检结果：

三个模型的突破次数与 POF 检验 p 值

模型	突破次数	突破率	LR 统计量	p 值	结论
无条件正态	11	1.1%	0.10	0.754	通过
GARCH-正态	20	2.0%	7.83	0.005	拒绝
GARCH-t	13	1.3%	0.83	0.362	通过

最有信息量的是 GARCH-正态的溃败。它正确捕捉了波动的时变性，却用正态分位数 2.33 去覆盖一个 t(6) 的尾巴——每一天都系统性地低估尾部，日积月累突破翻倍。而无条件正态反而”通过”了：静态高波动估计在平静期过度保守、在动荡期严重不足，两种错误在总次数上恰好抵消。这暴露了 POF 检验最著名的盲区。

POF 的盲区：只数次数，不看位置#

无条件正态模型的 11 次突破不是均匀散落的——看第一张图，它们密集扎堆在高波动区间。突破的聚集意味着：当第一次击穿发生时，接下来几天再次击穿的条件概率远高于 1%。对风险管理来说这是灾难性的性质——损失不是独立的意外，而是连环撞击。

POF 检验对此完全失明，因为它把 $\{I_t\}$ 压缩成了一个总和 x，扔掉了全部时序信息。补上这一课需要 Christoffersen 独立性检验（检验突破序列的一阶马尔可夫结构）或动态分位数 DQ 检验（把突破对滞后信息集回归）。工程实践中的标准组合是 POF + 独立性的联合检验（条件覆盖检验 CC）： $LR_{CC} = LR_{POF} + LR_{ind}$ ，服从自由度 2 的卡方分布。只跑 POF 相当于体检只量了体重。

功效问题：1000 天其实很短#

检验的另一个软肋是功效。模拟真实突破率从 0.2% 到 4% 的场景，看 POF 在 T=1000 时能以多大概率识破错误模型：

POF 检验功效曲线

真实突破率 1.5%（模型低估风险 50%）时，检验只有约 25% 的概率发出拒绝信号——四次里有三次，一个明显低估风险的模型会拿到体检合格证。要达到 80% 的功效，真实突破率得超过 2.2%，即模型错到两倍以上。原因很朴素：p=1% 意味着 1000 天只有 10 个期望突破，信息量就这么点。这是所有基于突破计数的检验的共同宿命，也是巴塞尔交通灯机制直接用突破次数分区（绿/黄/红）而不纠结 p 值的现实考量——监管者早就接受了这个检验的粗糙。

缓解方式有三条：拉长窗口（250 天的监管窗口功效低得可怜，内部风控应该用 2~4 年）；提高置信水平检验的层级（同时回测 95% 和 99% VaR，95% 层期望突破多 5 倍，功效显著更高）；或者换用对整条尾部敏感的 ES 回测。

工程清单#

把 POF 检验落进风控流水线时的实操要点：

滚动窗口而非一次性：每季度对过去 1000 天滚动跑一次，连续两个季度落入拒绝域才触发模型下线——避免单次噪声引发的模型震荡；
双侧都要报警：突破不足的模型在浪费资本，一个长期突破 2~3 次/千日的 99% VaR，其隐含置信水平其实是 99.7%+，资本占用可能高出 30%；
分层回测：同一模型在 90%/95%/99% 三个水平各跑一次 POF，只有 99% 层通过而 95% 层拒绝，通常说明尾部形状（而非尺度）错了——该换分布，不是调波动率；
x=0 的陷阱：零突破时 $\hat{\pi}=0$ ，似然公式里出现 $0^0$ ，代码里要走单独分支 $LR = -2T\ln(1-p)$ 。T=1000、p=1% 时这个值是 20.1，零突破本身就足以拒绝模型——这经常让人意外，但 1000 天一次都不破的 99% VaR 确实不是好模型。

POF 检验是 VaR 验证体系的地基而非全部：它便宜、透明、监管认可，能在十行代码里告诉你模型的突破频率是否离谱。但它对突破聚集失明、小样本下牙齿不利。正确的用法是把它当第一道闸门，后面串上独立性检验和 ES 回测——就像体检先量体重，但没人只靠体重判断健康。