Gibbs 抽样估计买卖价差：用贝叶斯 MCMC 从收盘价里捞出交易成本 • halo 的技术博客

问题：Roll 估计量的死穴#

用日线数据估买卖价差，教科书答案是 Roll (1984)：价格在买价和卖价之间弹跳（bid-ask bounce）会让相邻价格变化呈现负的序列协方差，于是

c = \sqrt{-\text{Cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t-1})}

一行代码，优雅。但用过的人都知道它有个著名死穴：样本协方差经常算出正数。正数开根号，估计直接不存在。

这不是罕见的边角情况。我用 Roll 模型自身生成数据（也就是说模型设定完全正确，没有任何模型误设）做了个实验：半价差 0.01、基本面日波动 0.05——这是低信噪比但完全现实的参数，对应一只价差万分之十、日波动 5% 的股票：

c=0.01, σ_u=0.05:  300 次模拟中 Roll 失败 88 次（29%）
                   幸存样本的均值 0.0124（向上偏 24%）

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两个问题叠加：

三成样本直接没有估计值。实务面板回归里这些股票-月份只能扔掉，而被扔掉的恰恰是价差小、噪声大的样本——制造了系统性的样本选择偏差；
幸存者偏高。协方差是负得足够多才能活下来，活下来的样本天然高估价差 24%。

死穴的根源不在 Roll 模型本身，而在矩估计这个方法：它把一个本该非负的参数,交给了一个可以随机为负的样本矩。Hasbrouck (2009, Journal of Finance) 的解法是换武器：模型不动，把估计方法换成贝叶斯 MCMC。

Roll 模型的状态空间形式#

先把 Roll 模型写成生成过程。有效价格（真实价值） $m_t$ 是随机游走，成交价 $p_t$ 在有效价格上加减半价差：

m_t = m_{t-1} + u_t, \quad u_t \sim N(0, \sigma_u^2)

p_t = m_t + c \cdot q_t

其中 $q_t \in \{+1, -1\}$ 是交易方向（买方发起 +1，卖方发起 −1），各 50% 概率独立抽取。两式相减消掉不可观测的 $m_t$ ：

\Delta p_t = c \cdot \Delta q_t + u_t

这是整个方法的枢纽方程。它说：如果你知道每笔交易的方向 $q_t$ ，估价差就是一个小学生级别的线性回归—— $\Delta p$ 对 $\Delta q$ 回归，斜率就是 $c$ 。

问题当然是你不知道 $q_t$ 。日线数据里没有任何方向信息， $q_t$ 是彻底的隐变量。Roll 的矩估计绕开了它（用协方差把 $q$ 积分掉），代价就是上面的死穴。Hasbrouck 的思路正相反：不绕开，把 $q_t$ 当成未知参数一起估。

Gibbs 抽样：三步循环#

贝叶斯框架下，未知量是 $(c, \sigma_u^2, q_1, \dots, q_T)$ ——两个参数加 $T$ 个隐变量。联合后验没有解析形式，但 Gibbs 抽样只需要每个条件后验好抽，而这个模型的三个条件后验恰好都是教科书分布：

第 1 步：抽方向 $q_t \mid c, \sigma_u^2, q_{-t}$ 。 固定价差和其他方向， $q_t$ 只出现在两个相邻的价格变化方程里（ $\Delta p_{t-1}$ 和 $\Delta p_t$ ）。两种取值各算一次似然，归一化成伯努利概率，抽一次硬币：

P(q_t = +1 \mid \cdot) = \frac{L(+1)}{L(+1) + L(-1)}, \quad L(q) = \exp\left(-\frac{\sum_{s} (\Delta p_s - c\,\Delta q_s)^2}{2\sigma_u^2}\right)

直觉：如果 $p_t$ 比两侧邻居都高出约 $c$ ，那它大概率是一笔买单打在卖价上—— $q_t = +1$ 的似然大。

第 2 步：抽价差 $c \mid q, \sigma_u^2$ 。 方向已知时枢纽方程就是线性回归，正态先验 + 正态似然 = 正态后验。关键的一手在这里：先验截断在 $c \geq 0$ 。价差不可能为负，这个约束直接写进先验里。这就是 Gibbs 方法根治 Roll 死穴的机制——协方差为正的样本在这里对应「后验质量堆在 0 附近」，估计变得不确定但永远存在、永远非负。

第 3 步：抽波动率 $\sigma_u^2 \mid c, q$ 。 残差平方和喂进逆伽马分布，共轭抽样，一行代码。

循环这三步几百次，丢掉前面的 burn-in 段，剩下的抽样就是后验分布的样本。核心实现（完整代码见文末）：

def gibbs_spread(p, n_iter=1000, burn=200, rng=None):
    T = len(p); dp = np.diff(p)
    q = rng.choice([-1, 1], size=T)          # 初始化方向
    c, sig2 = 0.01, np.var(dp) / 2
    c_draws = np.empty(n_iter)
    for it in range(n_iter):
        # --- 1) 逐笔抽方向：两个相邻 Δp 的似然比 ---
        for t in range(T):
            ll = np.zeros(2)
            for k, qt in enumerate((1.0, -1.0)):
                s = 0.0
                if t >= 1:
                    e = dp[t-1] - c * (qt - q[t-1]); s += -0.5*e*e/sig2
                if t < T-1:
                    e = dp[t] - c * (q[t+1] - qt);   s += -0.5*e*e/sig2
                ll[k] = s
            pr = np.exp(ll - ll.max()); pr /= pr.sum()
            q[t] = 1 if rng.random() < pr[0] else -1
        # --- 2) 抽价差：Δp 对 Δq 回归，截断正态（c >= 0）---
        dq = np.diff(q.astype(float))
        xx = dq @ dq
        if xx > 0:
            mu_c, var_c = (dq @ dp) / xx, sig2 / xx
            draw = rng.normal(mu_c, np.sqrt(var_c))
            while draw < 0:                   # 拒绝采样实现截断
                draw = rng.normal(mu_c, np.sqrt(var_c))
            c = draw
        # --- 3) 抽波动率：逆伽马共轭 ---
        resid = dp - c * dq
        a = 2.0 + len(resid)/2
        b = 1e-6 + 0.5 * (resid @ resid)
        sig2 = b / rng.gamma(a)
        c_draws[it] = c
    return c_draws[burn:]

python

实测一：后验贴住真实值#

生成 500 笔 Roll 模型数据（真实半价差 $c = 0.05$ ， $\sigma_u = 0.02$ ），跑 1200 次迭代、丢弃前 200 次 burn-in：

Gibbs 抽样轨迹与后验分布

左图是抽样轨迹：从初始值 0.01 出发，不到 50 次迭代就爬升到真实值附近，之后稳定地在 0.05 周围震荡——这是 MCMC 收敛的直观形态。右图是丢掉 burn-in 后的后验分布：

后验均值 0.0494，真实值 0.05，偏差不到 1.2%；
95% 可信区间 [0.048, 0.051]——这是矩估计给不了的东西：你不仅有点估计，还有完整的不确定性刻画，可以直接回答「价差大于 0.04 的概率是多少」这类问题。

实测二：隐藏方向被恢复了 96.8%#

Gibbs 抽样的副产品可能比价差本身更有意思：每次迭代都抽了一整套交易方向 $q_{1:T}$ ，对迭代取平均就得到每笔交易是买单的后验概率。拿它和模拟时的真实方向对账：

交易方向的后验恢复

左图前 60 笔：背景色块是真实方向，蓝线是后验概率。整段 400 笔的方向判对率 96.8%——记住这是从只有价格、没有任何报价和成交量信息的序列里恢复出来的。右图揭示了它何时有效：方向恢复准确率随信噪比 $c/\sigma_u$ 单调上升，价差是噪声两倍时准确率 97%，价差只有噪声一半时跌到 72%。直觉很朴素：价差越大，bid-ask bounce 的「锯齿」在价格序列里越显眼，方向自然越容易认出来。

这个副产品的实务含义：Gibbs 方法给了你一个不依赖报价数据的成交方向分类器，可以在没有 quote 的历史数据上替代 Lee-Ready 算法做粗粒度的订单流分析。

实测三：和 Roll 的正面对比#

40 次独立模拟、5 档真实价差（0.01 到 0.12），两个估计量同台：

Gibbs vs Roll

在这个中高信噪比设定下两者都贴住 45° 线，Roll 也全部存活——公平地说，信噪比高的时候 Roll 又快又好。分水岭在低信噪比：把参数换成 $c=0.01, \sigma_u=0.05$ （日线数据的现实参数区间），Roll 的失败率飙到 29%、幸存样本偏高 24%，而 Gibbs 在每个样本上都给出正的、带可信区间的估计。Gibbs 的价值不是精度更高，而是在 Roll 交白卷的地方交出完整答卷——对需要全截面覆盖的资产定价研究（比如流动性因子构造），这是决定性的差异。这也是 Hasbrouck (2009) 用它构造 1926 年以来美股有效成本序列的原因：越往历史深处走，数据越粗糙，矩估计死得越多。

三个实务落地#

1. 低频流动性因子的全覆盖构造。 用日线构造价差因子时，Roll 的失败样本不是随机缺失——小价差、高波动的股票死得最多。Gibbs 保证每只股票每个月都有估计值，且可信区间宽度本身就是「估计质量」的度量，可以直接做加权。

2. 历史回测的成本参数。 回测 2005 年的 A 股策略，你找不到当年的逐笔报价，但有日线。Gibbs 后验均值可以作为成本假设的下限锚点（注意它继承 Roll 口径，估的是有效价差的一半），可信区间上界做压力测试。

3. 收敛诊断不能省。 轨迹图（上文左图）必须看：如果抽样在两个区域之间来回跳、或者 burn-in 后仍有趋势，说明链没收敛，加迭代或换初始值。多链起点不同、终点一致（Gelman-Rubin 诊断）是更严格的标准。 $T$ 笔价格每次迭代要抽 $T$ 个方向，计算量是 Roll 的千倍量级——500 笔×1200 次迭代在普通笔记本上要几十秒，面板应用需要向量化或并行。

诚实边界#

模型仍然是 Roll 的全部假设。 Gibbs 只是换了估计方法，没有换模型：交易方向 50/50 独立（真实订单流有强自相关，BVC 一文讨论过）、价差恒定、无逆向选择成分（价格冲击全是暂时的）。如果真实数据有永久冲击（知情交易），估出的 $c$ 会把一部分信息成分错算进价差。Hasbrouck 原文的扩展版本加入了市场因子，实务中应优先用扩展版。

先验不是免费午餐。 截断先验根治了负估计，但当数据几乎无信息时（信噪比极低），后验主要反映先验——你得到的「估计」其实是先验的回声。可信区间会诚实地变宽，但如果只看后验均值就会被误导。

它估的是「有效价差的 Roll 口径」。 和 Effective Tick、Corwin-Schultz 一样，这是低频代理估计量家族的一员，横截面排序能力远好于绝对水平精度。拿它和逐笔数据算出的有效价差直接对数值，会有系统性差异。

完整可复现代码（模拟 + 采样器 + 三张图）约 200 行，核心逻辑已在上文列出。同系列文章：Roll 序列协方差估计量、有效 Tick 估计量、Corwin-Schultz 高低价价差。