HAR-RV 已实现波动率模型：用分钟频数据预测明日波动 • halo 的技术博客

波动率是可以被预测的——这是学界和业界都验证过的事实，也是所有波动率交易、风险预算、期权定价的地基。但「预测波动」这件事有个反直觉的难点：波动率不是白噪声，它有长记忆（long memory）——今天的波动会缓慢地影响未来好几周，普通的 AR(1) 抓不住这么长的尾巴。

本文的主角 HAR-RV（Heterogeneous Autoregressive model of Realized Volatility，Corsi 2009） 用一个极巧的招数解决了这个问题：不跟长记忆死磕，而是用「日 / 周 / 月」三个不同时间尺度的已实现方差平均值，把长记忆等价成一个简单线性回归。我们以分钟频合成数据从零实现它，样本外 R² 达到 0.35，明显优于 naive（拿今天方差当明天预测，R²=0）和单日 AR(1)（R²=0.31）。

一、先把「波动率」量出来：已实现方差#

传统 GARCH 用的是日收益平方 $r_t^2$ 当波动的「有噪声的代理」。但如果你有日内分钟频数据，可以直接把一天内的高频收益平方加起来，得到已实现方差（Realized Variance）：

$RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^2$

其中 $r_{t,i}$ 是第 $t$ 天第 $i$ 个 5 分钟收益（一天约 $M=78$ 根 5 分钟 K）。在「无微观结构噪声」的理想下，当 $M\to\infty$ ， $RV_t$ 几乎无偏地收敛到当天的积分方差——它比单看 $r_t^2$ 干净得多，这就是 HAR-RV 用 RV 而不用日收益平方的根本原因。

日内 5 分钟还原的已实现方差（柱状）叠加潜在日度方差（红线），聚集一目了然

上面这张图是用「慢随机游走 + 快 AR(1)」两层构造的带长记忆日度方差，再叠加上日内 78 根 5 分钟收益还原出的 RV。肉眼就能看到 volatility clustering（波动聚集）：大波动后面跟着大波动，小波动后面跟着小波动，而且这种「大—大」的联动能拖很久。

二、长记忆：为什么 AR(1) 不够用#

波动率的长记忆意味着它的自相关函数（ACF）衰减得很慢——lag 20 天、lag 50 天还有显著相关。标准的 AR(1) 模型 $\sigma_t^2 = \omega + \beta \sigma_{t-1}^2$ 只有「昨天→今天」一条链，记忆长度被 $\beta$ 指数式压缩，对 20 天以外的过去几乎视而不见。

下面把 RV 的 ACF 画出来就清楚了：

已实现方差的自相关缓慢衰减（长记忆），而 HAR-RV 残差的自相关基本归零

蓝线是 $RV_t$ 的 ACF，拖着长长的一条尾巴——这就是长记忆的证据。要预测明天的波动，你得把这条尾巴里蕴含的「过去几周都在躁动」的信息用上，而 AR(1) 做不到。

三、HAR-RV 的妙招：三个时间尺度#

Corsi 的洞见是：长记忆可以由多个不同速度的 AR(1) 叠加出来。与其去拟合一个分数阶差分（那很麻烦），不如直接把「日度、周度、月度」三个尺度的平均都放进回归：

$RV_{t+1} = \beta_0 + \beta_d\,RV_t + \beta_w\,\overline{RV}^{(5)}_t + \beta_m\,\overline{RV}^{(22)}_t + \varepsilon_{t+1}$

其中：

$\overline{RV}^{(5)}_t = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5} RV_{t-k}$ 是过去 5 天的均值（周尺度）；
$\overline{RV}^{(22)}_t = \frac{1}{22}\sum_{k=1}^{22} RV_{t-k}$ 是过去 22 天的均值（月尺度）；
$\beta_d, \beta_w, \beta_m$ 三个系数分别捕捉「今天 / 这一周 / 这一个月」对明天方差的贡献。

「日」项吸收快速波动，「周」项吸收中等记忆，「月」项吸收缓慢漂移——三者一叠加，就等价于一条长记忆链，却只是个普通最小二乘线性回归，无需任何数值优化。

四、Python：从分钟频数据到样本外预测#

下面这段代码与三张配图完全对应，是自洽合成数据（两层方差结构 + 日内 78 根 5 分钟收益还原 RV），仅用于演示方法；真实落地请用实际的高频数据（见文末）。

import numpy as np

def build_data(T=2000, M=78, seed=20260712):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    # 慢层（近似单位根→长记忆）+ 快层（AR(1)）
    slow = np.zeros(T)
    for t in range(1, T):
        slow[t] = slow[t - 1] + 0.012 * rng.normal()
    fast = np.zeros(T)
    for t in range(1, T):
        fast[t] = 0.5 * fast[t - 1] + 0.5 * rng.normal()
    logvar = np.log(0.0004) + 0.9 * slow + 0.3 * fast   # 日波动率≈1%~2%
    sig = np.sqrt(np.exp(logvar))
    rv = np.empty(T)
    for t in range(T):
        intra = rng.normal(0.0, sig[t] / np.sqrt(M), size=M)
        rv[t] = np.sum(intra ** 2) + 1e-7 * abs(rng.normal())  # 加微结构噪声地板
    return rv

def har_matrix(rv, w=5, m=22):
    rows, y = [], []
    for t in range(1, len(rv)):
        if t - 1 - m < 0:
            continue
        rows.append([1.0, rv[t - 1],
                     rv[t - 1 - w:t - 1].mean(),
                     rv[t - 1 - m:t - 1].mean()])
        y.append(rv[t])
    return np.array(rows), np.array(y)

rv = build_data()
X, y = har_matrix(rv)
cut = int(len(y) * 0.7)
beta, *_ = np.linalg.lstsq(X[:cut], y[:cut], rcond=None)
print(f"β0={beta[0]:.3e}  β_d={beta[1]:.3f}  β_w={beta[2]:.3f}  β_m={beta[3]:.3f}")

python

跑出来训练集系数为 β_d=0.263、β_w=0.201、β_m=0.374：三个尺度都有显著正贡献，且「月」项最大——说明慢变的波动水平才是预测明天波动的主力，这也正是长记忆存在的直接证据。

五、样本外：HAR-RV 真的更准#

预测波动最诚实的评判是样本外 R²，以 naive 基准（直接拿今天 RV 当明天预测）为分母：

$OOS\ R^2 = 1 - \frac{\sum (RV_{t+1} - \hat{RV}_{t+1})^{2}}{\sum (RV_{t+1} - RV_t)^{2}}$

Xte, yte = X[cut:], y[cut:]
fc_har = Xte @ beta
fc_naive = Xte[:, 1]
# AR(1) 基准
b0, b1 = np.polyfit(y[:cut][:-1], y[:cut][1:], 1)
fc_ar1 = b0 + b1 * y[cut - 1:-1]
def oos_r2(a, fc):
    return 1 - ((a - fc) ** 2).sum() / ((a - fc_naive) ** 2).sum()
print(oos_r2(yte, fc_har), oos_r2(yte, fc_ar1))   # 0.35, 0.31

python

结果：HAR-RV 样本外 R²=0.35，单日 AR(1)=0.31，naive=0。HAR-RV 不仅比「明天=今天」好一大截，也稳定压过只看昨天的 AR(1)——多出来的那 0.04，正是「周 + 月」两个长记忆项从过去几周里挖出来的信息。

样本外：HAR-RV 预测（绿）比 naive（橙虚线）更贴合真实的明日方差

三个模型的样本外 R² 对比，HAR-RV 最高

六、实盘三类真实陷阱#

陷阱一：跳变（jumps）会污染 RV。 上面我们给 RV 加了 $10^{-7}$ 量级的噪声地板，真实市场里更凶的是隔夜跳空和盘中突发新闻——单根 5 分钟收益的平方可能是常规值的几十倍。这些跳变不是「波动」而是「水平位移」，会系统性高估 RV。稳健做法是先做跳跃检验（如 bipower variation 把跳和连续波动拆开），或干脆用中位数类稳健估计，别让一根异常 K 线主导你的预测。

陷阱二：时变波动率 + 结构断点。 HAR-RV 的系数 $\beta$ 是用全样本 OLS 估的，隐含「过去十年波动的记忆结构恒定」。但 2015 股灾、2020 新冠、2022 加息的波动机制完全不同，固定系数会过时。实战要用滚动窗口或把 HAR-RV 接进马尔可夫区制转换，让周/月项的权重随 regime 调整——否则你在低波动期学出的「月项权重」会在危机里严重低估风险。

陷阱三：微结构噪声让 RV 在高频失真。 我们用 5 分钟数据，正是噪声与信息量的折中：频率太高（如 1 分钟），买卖价差造成的「伪波动」会让 RV 高估；频率太低（如 30 分钟），又丢掉了日内信息。真实落地要先用市场微观结构噪声方差估计挑一个最优采样频率（通常 5~15 分钟），而不是随手取。

七、落地路径与诚实结论#

真实复现时，把合成序列换成：

数据：交易所/券商的 1~~5 分钟 K 线（股票、指数、期货均可），至少 3~~5 年以覆盖多个波动 regime；
RV 构造：用 5 分钟收益平方和，加跳跃稳健处理；若做跨境/跨资产，注意不同市场交易时段与假期对齐；
扩展：HAR-RV 极易加项——HAR-CJ（拆连续/跳）、HARQ（用已实现半方差区分好坏波动）、HAR 加宏观/隐波变量；
用法：RV 预测不是交易信号本身，而是波动率目标仓位、期权 Delta 对冲再平衡频率、风险预算的输入。它最擅长回答「明天该比平时更保守还是更激进」。

结论：HAR-RV 用「日 / 周 / 月」三个平均，把一个棘手的分数阶长记忆问题变成了一个闭式线性回归，样本外 R² 0.35 显著高于朴素基准。它不魔法——它的力量来自「认真对待波动的长记忆」，而不是假装明天只取决于昨天。落到自己数据上，先确认采样频率、拆掉跳变、再让系数随时间滚动，这三条做到，HAR-RV 才会从论文里的 0.35 变成你组合里真能用的风险刻度。