Hawkes 自激过程：订单到达如何自己点燃自己

问题：订单不是雨点，是鞭炮#

泊松过程是所有到达模型的默认起点。它只说一件事：下一笔订单什么时候来，和刚才发生了什么完全无关。 强度 $\lambda$ 是个常数，事件之间彼此独立，间隔服从指数分布。

看一眼真实盘口就知道这不对。订单是一阵一阵来的：安静几十秒，然后突然十几笔挤在两秒内，然后再次安静。这种簇发（clustering）不是噪声，是市场微观结构的基本事实——一笔大单会引来跟风，一次撤单会触发一串重新报价，一个价位被击穿会激活一批止损。

事件会引发事件。 Hawkes 1971 给了这件事一个最小的数学形式：

$\lambda(t) = \mu + \sum_{t_i < t} \alpha e^{-\beta (t - t_i)}$

$\mu$ 是外生的基础强度（信息从外部世界来），后面那一项是自激：每发生一笔订单，强度立刻跳高 $\alpha$，然后以速率 $\beta$ 指数衰减回去。就这么两个参数，簇发就出来了。

最重要的那个量是二者的比值：

$n = \frac{\alpha}{\beta}$

$n$ 叫分支比（branching ratio），它的含义极其具体：平均每一笔订单，会直接激发出 $n$ 笔后代订单。 $n < 1$ 时过程平稳，$n \ge 1$ 时爆炸。

本文用一个受控模拟回答三个问题：簇发到底让尾部厚了多少、$n$ 能不能被可靠估出来、以及——这个估计什么时候会骗你。

模拟设计：用分支表示，让「谁激发了谁」可观测#

直接用 Ogata thinning 模拟 Hawkes 是标准做法，但它有个缺点：跑完只有一串时间戳，你不知道哪笔订单是外生的、哪笔是被激发的。

我用分支（cluster）表示，它对指数核是精确的，而且天然带出代际标签：

def sim_hawkes(mu, nbr, beta, T, rng, max_gen=300):
    """移民-后代表示。gen==0 是外生订单，gen>=1 是被激发的后代。"""
    n_imm = rng.poisson(mu * T)              # 第 0 代：外生「移民」
    cur = np.sort(rng.uniform(0, T, n_imm))
    ts, gs = [cur], [np.zeros(n_imm, dtype=int)]
    gen = 0
    while len(cur) and gen < max_gen:
        gen += 1
        k = rng.poisson(nbr, size=len(cur))   # 每个父事件生 Poisson(n) 个子事件
        tot = int(k.sum())
        if tot == 0:
            break
        parents = np.repeat(cur, k)
        offs = parents + rng.exponential(1.0 / beta, tot)   # 子事件等待时间 ~ Exp(β)
        offs = offs[offs < T]
        if len(offs) == 0:
            break
        ts.append(offs); gs.append(np.full(len(offs), gen))
        cur = offs
    t = np.concatenate(ts); g = np.concatenate(gs)
    o = np.argsort(t)
    return t[o], g[o]

参数取 $\mu = 0.5$ 笔/秒、$n = 0.70$、$\beta = 2.0$（记忆半衰期约 0.35 秒），模拟 12000 秒。

平稳强度的理论值是 $\mu / (1 - n) = 1.667$ 笔/秒，实测 19132 笔 / 12000 秒 = 1.594——模拟本身没问题。

上图是关键。每根竖线是一笔订单，黑色是外生的、红色是被激发的。强度曲线每次跳升都对应一笔订单，然后指数衰减。 一旦几笔订单挨得近，强度会叠加着往上爬，于是又激发更多订单——这就是簇。

下面那张图是同样笔数的泊松过程。总量一样，但铺得均匀，没有簇。

68.98% 的订单是市场自己制造的#

分支表示直接给出代际分布：

内生占比 68.98%，理论值恰好等于 $n = 70\%$。 这不是巧合：稳态下每个外生事件平均引出 $1/(1-n)$ 个事件，其中 $n$ 的比例是后代。

这个数字有直接的解读价值。$n = 0.7$ 意味着你看到的订单流里，只有三成携带真正的外部信息，七成是市场对自己的反应。 学术界对真实股票市场的估计普遍落在 0.6~0.9 之间，且长期呈上升趋势——这被解读为算法交易让市场越来越「自反」。

簇发的真实代价：尾部差 31 亿倍#

均值相同，不代表风险相同。把时间切成 10 秒窗口，两个过程的均值都是 15.9 笔，但分布完全不是一回事：

Fano 因子（方差/均值）是最直接的度量。泊松过程恒等于 1，Hawkes 实测 9.03（渐近理论值 $1/(1-n)^2 = 11.11$，有限窗口下略低，因为 10 秒只覆盖了约 20 个衰减尺度）。

尾部的差距更夸张：

这才是重点。 泊松模型会告诉你「10 秒内来 50 笔订单」的概率是 $7.6 \times 10^{-12}$——按这个频率，宇宙年龄里都碰不上几次。而实际上它占了 2.42% 的 10 秒窗口，平均每 7 分钟就发生一次。

任何按泊松假设做的容量规划、撮合队列设计、风控阈值，都会在这里被打穿。Hawkes 的中位窗口是 13 笔、95 分位 39 笔，峰谷比 3.0 倍；泊松的 95 分位只有 23 笔，峰谷比 1.4 倍。按泊松尺度配的缓冲区，在真实簇发面前会差一倍以上。

右图给出分支比的连续图景。$n$ 从 0 涨到 0.95，Fano 因子从 1.15 飙到 98.2。越接近临界点 $n = 1$，簇发越剧烈，而且 $n = 0.95$ 时实测强度 8.19 已明显低于理论值 10.0——有限样本里，接近临界的过程根本收敛不到它的稳态。

估计：MLE 能收回参数，但需要的样本比你想的多#

指数核 Hawkes 的对数似然有闭式：

$\ell = \sum_i \log \lambda(t_i) - \int_0^T \lambda(s)\,ds$

关键是 $\lambda(t_i)$ 里那个求和不能每次重算（$O(N^2)$），要用递推（$O(N)$）：

def _recursion(ev, beta):
    """A_i = sum_{j<i} exp(-beta*(t_i - t_j))，指数核的 O(N) 递推。"""
    dt = np.diff(ev, prepend=ev[0])
    e = np.exp(-beta * dt)
    A = np.empty(len(ev)); A[0] = 0.0; a = 0.0
    for i in range(1, len(ev)):
        a = e[i] * (1.0 + a)      # 核心：A_i = e^{-b*dt_i} * (1 + A_{i-1})
        A[i] = a
    return A

def hawkes_nll(p, ev, T):
    mu, alpha, beta = np.exp(p)               # 对数参数化，保证正性
    A = _recursion(ev, beta)
    lam = mu + alpha * A
    if np.any(lam <= 0):
        return 1e12
    ll = (np.sum(np.log(lam)) - mu * T
          - (alpha / beta) * np.sum(1.0 - np.exp(-beta * (T - ev))))
    return -ll

全样本拟合结果：$\hat\mu = 0.490$（真值 0.50）、$\hat\beta = 1.974$（真值 2.0）、$\hat n = 0.693$（真值 0.70），相对误差 1.06%。

但左图显示了一个系统性问题：短样本会低估自激强度。

227 笔订单只能给出 $\hat n = 0.593$，比真值低 15%。而且 $\hat\beta$ 同时被高估（2.83 vs 2.0）——模型把「衰减更快、自激更弱」当成了对短样本的最佳解释，因为它看不到长尾的簇。

八个独立种子在 4000 秒样本上的结果：$\hat n$ 均值 0.705、标准差 0.018。样本够长时估计是稳的，问题纯粹出在样本量。

实务含义：用 5 分钟 tick 数据估出来的分支比，不能直接和用一整天数据估出来的比较。

最硬的那个坑：非平稳基线会伪造自激#

前面都是「模型正确时能不能估准」。真正的风险是模型错了，但似然函数不告诉你。

我构造了一段数据：纯泊松过程，自激强度真值 $n = 0$，只是基础强度带一个日内 U 型节奏（开盘收盘活跃、盘中清淡）——这是任何真实市场都有的特征。

def ushape(t, day=600.0, depth=3.2):
    x = (t % day) / day
    return 1.0 + depth * (2 * x - 1) ** 2      # 开盘/收盘高，盘中低

def sim_inhomog_poisson(base, T, rng, day, depth):
    """非齐次泊松：thinning 法。事件之间严格独立，没有任何自激。"""
    lam_max = base * (1.0 + depth)
    cand = np.sort(rng.uniform(0, T, rng.poisson(lam_max * T)))
    keep = rng.uniform(0, 1, len(cand)) < (base * ushape(cand, day, depth) / lam_max)
    return cand[keep]

把这段数据喂给标准 Hawkes MLE：

$\hat n = 0.909$。

真值是 0。模型报告说这个市场高度自激、接近临界、68% 以上的订单是内生的——全是假的。Fano 因子也配合着涨到 4.81，看起来「确认」了簇发。

原因不难理解：似然函数只知道「事件扎堆了」，它无法区分「因为彼此激发而扎堆」和「因为那段时间本来就忙而扎堆」。 而且注意拟合出的 $\hat\beta = 0.063$——衰减尺度约 16 秒，远长于真 Hawkes 的 0.5 秒。当你估出一个异常慢的衰减时，八成是基线漂移被吸进了自激项。这是最有用的诊断信号。

修正办法是时间重标定：先在粗网格上估出缓慢变化的基线强度 $\hat\mu(t)$，把时间轴按累积强度拉伸，在新时间轴上再拟合。

def derescale_fit(evx, T, coarse=60.0):
    eg = np.arange(0, T + coarse, coarse)
    cnt = np.histogram(evx, bins=eg)[0].astype(float)
    sm = np.convolve(np.r_[cnt[:2], cnt, cnt[-2:]], np.ones(5)/5.0, mode="valid")
    rate = np.maximum(sm / coarse, 1e-6)
    cum = np.r_[0.0, np.cumsum(rate * coarse)]
    u = np.interp(evx, eg, cum)          # 时间重标定：t -> Λ(t)
    return fit_hawkes(np.sort(np.clip(u, 0, cum[-1] - 1e-9)), float(cum[-1]))

结果：

这才是完整的检验。 修正把假信号从 0.909 干净地压到 0，同时对真信号几乎没有伤害（0.693 → 0.691）。只做前半段——“修正后假信号消失了”——是不够的，因为一个足够激进的修正可以把所有信号都杀掉。必须同时证明它不误伤。

对抗式检验：七项#

1. 平坦泊松安慰剂。 无自激、无日内节奏的纯泊松，$\hat n = 0.00008$，Fano 0.971。估计器在该归零的地方干净归零。

2. 打乱时间戳。 保留全部 19132 笔订单，只把时间随机重排：Fano 从 9.03 塌到 0.981，$\hat n$ 从 0.693 塌到 0.00037。证明簇发来自时间结构本身，不是笔数或强度水平的副产品。

3. 时间重标定的双向检验。 见上表——假信号归零，真信号保留。

4. 拟合优度（时间重标定定理）。 如果模型正确，补偿器增量 $\Lambda(t_i) - \Lambda(t_{i-1})$ 应服从 Exp(1)。Hawkes 模型 KS 检验 p = 0.964（完全通不过拒绝），泊松模型 p = 0.000（碾压性拒绝）。

5. 多种子稳定性。 8 个独立种子，$\hat n$ = 0.705 ± 0.018，内生占比 0.701。

6. 分支比扫描的内部一致性。 $n$ 从 0 到 0.95，实测内生占比分别为 0.000 / 0.297 / 0.495 / 0.698 / 0.852 / 0.939——每一个都精确等于 $n$ 本身，这是分支表示必须满足的恒等式。

7. 预测能力的诚实测量。 见下节。

冷水：可测不等于可交易#

簇发结构确实存在、确实能估出来。但它能预测多少？

给定当前强度 $\lambda_0$，未来 $W$ 秒内的期望事件数有闭式（注意均值回复的目标是平稳强度 $\mu/(1-n)$ 而不是 $\mu$，这是最容易写错的地方）：

$E[N(0, W) \mid \lambda_0] = \lambda_\infty W + (\lambda_0 - \lambda_\infty)\frac{1 - e^{-\beta(1-n)W}}{\beta(1-n)}, \quad \lambda_\infty = \frac{\mu}{1-n}$

拿它和「用无条件均值预测」（泊松模型能做的全部）比 MAE：

2 秒窗口改善 12%，10 秒只剩 2.7%。 这完全符合模型内在时间尺度——$\beta = 2$ 意味着记忆半衰期 0.35 秒，超过几秒之后自激项已经衰减殆尽，Hawkes 和泊松给出的预测几乎一样。

安慰剂对照：把同一套预测机制用在打乱后的数据上，改善是 −6.33%（比无条件均值还差）。说明那 12% 不是拟合噪声。

结论要说清楚：Hawkes 的价值在极短时间尺度的强度预测（撮合排队、瞬时流动性、报价刷新率），不在方向预测。 它告诉你「接下来两秒会很忙」，不告诉你「价格会涨」。把它当 alpha 信号用，衰减速度会快到来不及覆盖手续费。

诚实边界#

第一，单变量 Hawkes 忽略了方向。 真实订单流有买卖两个方向，它们之间既自激也互激（买单引发买单，也引发对手方的卖单）。多变量 Hawkes 用矩阵 $\boldsymbol{\alpha}$ 描述这个，参数量按 $K^2$ 增长，估计难度陡增。本文的 $n$ 应理解为「不分方向的总自激强度」。

第二，指数核是为了算得快，不是因为它对。 实证研究普遍支持幂律核（$\phi(t) \propto t^{-(1+\epsilon)}$）——真实市场的记忆比指数衰减慢得多，跨越多个时间尺度。指数核的好处是 $O(N)$ 递推，代价是它会低估长程依赖。本文所有 $\hat\beta$ 应读作「有效衰减尺度」而非物理常数。

第三，$n = 0.7$ 是我设定的，不是估出来的市场事实。 本文所有倍数（100 倍、31 亿倍、Fano 9.03）都绑定这个设定。真实市场的 $n$ 随品种、时段、样本长度剧烈变化，而且如前所述，估计值对基线设定极其敏感。任何引用「某市场分支比是 X」的说法，都必须同时说明基线是怎么处理的、样本多长、用的什么核。

归宿#

三条可以直接用的结论：

如果你在做容量规划或风控阈值，泊松假设会系统性低估爆发。 均值一样的两个过程，10 秒内出现 50 笔订单的概率差 31 亿倍。按泊松配的缓冲区会在真实簇发面前失效，而且失效是集中发生的。

如果你要估分支比，先处理日内节奏，再拟合。 一段自激真值为 0 的纯泊松数据，只要带上 U 型节奏，标准 MLE 就会报告 $\hat n = 0.909$。诊断信号是异常慢的 $\hat\beta$——衰减尺度长到几十秒，基本可以确定基线漂移被吸进了自激项。

如果你想用它做预测，先看时间尺度。 2 秒窗口 MAE 改善 12%，10 秒 2.7%。Hawkes 是流动性和排队问题的工具，不是方向信号的工具。这个区分决定了它该被放在执行层还是信号层——答案是执行层。

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