Ho-Stoll 做市商库存模型：把持仓风险写进最优报价 • halo 的技术博客

一个做市商的两难#

做市商的商业模式说穿了很简单：同时挂出买价和卖价，别人买你就卖、别人卖你就买，每一对成交赚一个价差。听起来是稳赚的搬运工生意。

但有个致命的角色错位：做市商不能选择自己的持仓，持仓是被客户订单流塞给他的。连续来了二十个卖单，他手上就多了二十份货；这时候价格往下跳 1%，二十份货的浮亏可能超过他一整天赚的价差。

于是问题变成：手上已经压了一堆多头库存时，报价还应该和空仓时一样吗？

直觉说不该——应该急着把货卖掉、不想再接货。Ho 和 Stoll 在 1981 年把这个直觉写成了严格的随机最优控制问题，答案出乎意料地干净：报价不该围绕市场中间价对称摆放，而该围绕一个随库存移动的「保留价格」对称摆放。

Ho-Stoll 库存驱动的报价偏移

保留价格：库存的价格化#

模型设定#

Ho-Stoll 框架里的做市商是这样一个人：

对某只股票持有库存 $q$ （正为多头，负为空头），股票真实价值 $\mu$ ，价格波动率 $\sigma$ ；
他厌恶风险，效用函数为指数型 $U(W) = -e^{-\gamma W}$ ， $\gamma$ 是风险厌恶系数；
他要在剩余时间 $T$ 内挂买卖报价，订单以某种概率到达，到达概率取决于报价的激进程度；
目标：最大化期末财富的期望效用。

保留价格的推导#

先问一个更基础的问题：持有库存 $q$ 的做市商，愿意以什么价格无差异地多卖一股？

这个价格叫保留价格（reservation price）。在指数效用 + 正态价格假设下，持有 $q$ 股、剩余时间 $T$ 的确定性等价财富是：

CE(q) = q\mu - \frac{1}{2}\gamma \sigma^2 q^2 T

第一项是库存的期望价值，第二项是风险惩罚——注意它对 $q$ 是二次的：库存翻倍，风险惩罚翻四倍。这就是为什么做市商对大库存如此敏感。

多卖一股的边际价值就是 $CE$ 对 $q$ 的导数，取负号得到保留价格：

r(q) = \mu - \gamma \sigma^2 q T

这条公式是整个模型的灵魂。它说：

空仓时（ $q=0$ ），保留价格就是市场中间价 $\mu$ ，报价对称；
多头库存（ $q>0$ ），保留价格低于中间价——做市商心里对这只股票的”内部估值”打了折扣，因为再多接一股的风险惩罚在上升。于是 bid 和 ask 整体下移：卖价压得更低（急着出货），买价也压得更低（不想接货）；
空头库存（ $q<0$ ）则整体上抬，逻辑对称。

注意一个容易搞错的点：偏移的不是价差，而是价差的中心。最优价差本身（下一节推）和库存无关，库存只决定这个价差挂在哪个高度。

最优价差#

价差的宽度由另一组权衡决定：挂得宽，每笔成交赚得多但成交概率低；挂得窄，成交频繁但每笔赚得薄，而且库存周转带来的风险敞口时间更长。Ho-Stoll 的解在一阶近似下：

\text{spread} \approx c + \gamma \sigma^2 T

其中 $c$ 是订单处理成本（交易费、系统成本等硬下限）。价差随风险厌恶和方差线性放大：

最优价差随风险厌恶与波动率变化

这解释了两个日常观察：波动率高的股票价差更宽；同一只股票在财报日、宏观数据发布日价差被拉宽——都是 $\sigma^2$ 在起作用，做市商在为承担存货风险要求更高补偿。

用 Python 验证：库存偏移到底值不值#

理论说完了，上代码。我们模拟两个做市商在同一个市场里做市：

做市商 A（naive）：报价永远围绕市场中间价对称，完全不管库存；
做市商 B（Ho-Stoll）：报价围绕保留价格 $r = m - \gamma_{\text{skew}} q$ 对称。

订单到达概率随报价激进程度衰减（报价离中间价越远，被成交的概率越低），这是对 Ho-Stoll 中订单到达函数的标准简化：

import numpy as np

def simulate_mm(gamma_skew, n_steps=5000, seed=7):
    """gamma_skew=0 复现 naive 做市商；>0 为 Ho-Stoll 式库存偏移。"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    mid = 100.0
    sigma_step = 0.03     # 中间价每步波动
    half = 0.05           # 半价差
    k = 1.2               # 订单到达对报价激进度的敏感度
    A = 0.9               # 基础到达强度
    q, cash = 0.0, 0.0
    invs, pnls = [], []
    for t in range(n_steps):
        mid += rng.normal(0, sigma_step)          # 中间价随机游走
        r = mid - gamma_skew * q                  # 保留价格：核心一行
        bid, ask = r - half, r + half
        # 报价越靠近中间价，被动成交概率越高
        p_sell = A * np.exp(-k * (ask - mid) / half) * 0.5
        p_buy  = A * np.exp(-k * (mid - bid) / half) * 0.5
        if rng.random() < min(p_sell, 0.95):      # 对手方吃掉卖单
            q -= 1; cash += ask
        if rng.random() < min(p_buy, 0.95):       # 对手方砸中买单
            q += 1; cash -= bid
        invs.append(q)
        pnls.append(cash + q * mid)               # 盯市 P&L
    return np.array(invs), np.array(pnls)

inv_naive, pnl_naive = simulate_mm(0.0)
inv_hs,    pnl_hs    = simulate_mm(0.02)
print(f"naive:    库存σ={inv_naive.std():.1f}  库存峰值={abs(inv_naive).max():.0f}")
print(f"Ho-Stoll: 库存σ={inv_hs.std():.2f}  库存峰值={abs(inv_hs).max():.0f}")

python

5000 步模拟的结果：

naive:    库存σ=16.1  库存峰值=48
Ho-Stoll: 库存σ=0.97  库存峰值=4

plaintext

库存路径与盯市 P&L 对比

差距是数量级的。机制上看得很清楚：

Naive 做市商的库存是随机游走。 买卖成交概率永远对称，库存增量均值为零但方差随时间线性累积——运气不好时库存能飘到 ±48 股，这时候中间价一个 1 元的反向移动就是 48 元的浮亏，而他每笔成交只赚 0.05 元的半价差。

Ho-Stoll 做市商的库存是 OU 式均值回复过程。 库存一偏多，报价整体下压：卖价更接近中间价（更容易被吃掉、加速出货），买价离中间价更远（更难被砸中、抑制进货）。两个力都在把 $q$ 推回零。回复速度正比于 $\gamma_{\text{skew}}$ ，这正是连续时间里 OU 过程的回复系数。

库存分布对比

分布图更直观：naive 的库存散布在 ±40 的宽区间，Ho-Stoll 的库存被死死压缩在 ±3 以内。

代价是什么？Ho-Stoll 做市商偏移报价时，有一侧报价离中间价更远、成交概率更低，牺牲了一部分价差捕获量。但在这次模拟中两者终值 P&L 几乎相同（52.3 vs 55.9），因为 naive 省下的报价优势被库存浮亏波动完全抵消了。在风险调整后口径下，Ho-Stoll 全面占优——这正是模型的核心承诺：用一点点期望收益换掉大部分存货风险，对风险厌恶的做市商是严格改进。

从 Ho-Stoll 到 Avellaneda-Stoikov#

如果你接触过做市策略，大概率听过 Avellaneda-Stoikov (2008)。值得说清楚两者的关系：AS 本质上是 Ho-Stoll 在连续时间 + 指数效用 + 泊松订单到达下的现代重写。AS 的两条著名公式：

r(s,q,t) = s - q\gamma\sigma^2(T-t), \qquad \delta_a + \delta_b = \gamma\sigma^2(T-t) + \frac{2}{\gamma}\ln\!\Big(1+\frac{\gamma}{\kappa}\Big)

第一条就是本文的保留价格（多了随时间衰减的 $T-t$ 项：越接近收盘，留给库存出清的时间越少，但同时剩余持有风险也在缩短）；第二条的最优价差在 $\gamma$ 小时退化为 Ho-Stoll 的线性形式。读懂了 Ho-Stoll，AS 就只是换了一套更精细的数学衣服。

实务中加密货币和股票高频做市广泛使用的”库存偏移报价”（inventory skew）,不管实现得多工程化，内核都是那一行 r = mid - gamma * q。

模型的诚实边界#

Ho-Stoll 优雅，但有三个不能装看不见的问题。

第一，它假设订单流没有信息。 模型里订单到达是外生随机的，和未来价格无关。现实里恰恰相反：连续砸过来的卖单往往意味着有人知道了什么（逆向选择）。趋势市里，Ho-Stoll 做市商会一路降价接货、库存偏移报价加速出货——但出货速度赶不上价格下跌速度，本质上是在给知情交易者送钱。这个维度由 Glosten-Milgrom / Kyle 一系信息模型处理，成熟的做市系统必须同时建模两者：库存项管风险，逆向选择项管毒性订单流（比如用 VPIN 或短窗价格冲击来调 $\sigma$ 的估计）。

第二，参数校准是真正的难点。 $\gamma$ 不是市场可观测量，是自己的风险偏好，实务中通常反过来定：先决定”库存达到 X 时报价偏移 Y 个 tick”这样的业务约束，再反解 $\gamma_{\text{skew}}$ 。 $\sigma$ 用已实现波动率估计则要小心日内季节性——开盘半小时的 $\sigma$ 是午盘的 3 倍，用全天平均值会导致开盘时价差挂太窄、被单边流打穿。

第三，模拟里的订单到达函数是玩具。 真实的成交概率取决于队列位置、tick 大小、对手方构成，指数衰减形式只是可解性妥协。这不影响”库存均值回复”这个定性结论，但影响最优参数的具体数值——任何直接把本文参数搬进实盘的行为都等于没读这一节。

收尾#

Ho-Stoll 模型用一条一阶导数把”库存焦虑”翻译成了报价语言：保留价格 $r = \mu - \gamma\sigma^2 qT$ ，价差中心随库存线性平移。模拟验证了它的核心承诺——库存标准差从 16 压到 1 以内，P&L 几乎不受损。

对量化交易者，这个模型的价值不限于做市：任何需要”被动挂单 + 管理净敞口”的执行策略（比如大单拆分时的 passive 挂单侧），都能用库存偏移的思路控制执行过程中的存货风险。而它最重要的教训是方法论上的：风险不是事后统计出来的，是可以事前写进每一次报价里的。

参考文献#

Ho, T., & Stoll, H. R. (1981). Optimal dealer pricing under transactions and return uncertainty. Journal of Financial Economics, 9(1), 47-73.
Avellaneda, M., & Stoikov, S. (2008). High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3), 217-224.
Guéant, O., Lehalle, C-A., & Fernandez-Tapia, J. (2013). Dealing with the inventory risk: a solution to the market making problem. Mathematics and Financial Economics, 7(4), 477-507.