halo 的技术博客

返回
19 min
Chinese
量化交易 /
卡尔曼滤波 /
配对交易 /
对冲 /
python

卡尔曼滤波动态对冲比率：让套保系数随市场自我更新

配对交易和对冲的教科书都默认对冲比率 β 是个常数——用一段历史 OLS 回归一次就固定下来。但真实的 β 会漂移：行业轮动、资本结构变化、流动性迁移都会让两只资产的联动强度慢慢改变。固定种子（20260801）的受控模拟：真实 β 从 0.80 缓慢爬到 1.39，静态全样本 OLS 只能给一个平均数 1.065，全程系统性偏离（跟踪误差 MAE 0.146）；卡尔曼滤波把 β 当随机游走状态、用一步预测残差在线更新，MAE 压到 0.090（降 38%）。它同时解决了滚动 OLS 的窗口两难：20 日窗抖动大（MAE 0.44）、250 日窗跟不上（0.13），卡尔曼两头都更好且不用手挑窗口。关键旋钮是过程噪声 δ：δ 太小 β 僵化滞后、太大追噪声，跟踪误差 U 形，最优 δ=1e-5。三个对抗式检验最硬：常数 β 世界里合适的 δ 保持 β 平直（std 0.034），δ 过大会凭空造出伪漂移；对冲残差方差排序 oracle 9.24 < 因果卡尔曼 13.01 < 静态 OLS 15.18——卡尔曼逼近『偷看未来真 β』的理论下限、远优于静态，但永远够不到 oracle；置换检验 300 次真实价差策略 Sharpe 1.45 超过全部上限 0.62。四项对抗式检验全过。
views | comments

问题：对冲比率凭什么是个常数？#

做配对交易、做套保、做多空组合，第一步永远是估一个对冲比率 β\beta：你做多 1 单位 Y，要做空多少单位 X 才能对冲掉共同的市场风险？教科书的答案是拿一段历史做 OLS 回归：

Yt=α+βXt+εtY_t = \alpha + \beta X_t + \varepsilon_t

回归出一个 β\beta，固定下来，之后天天用它。上一篇讲 Johansen 时，我们甚至用整段数据估出协整向量——那也是一次性固定的对冲权重。

但这个做法藏着一个几乎从不被质疑的假设：β\beta 是常数。 真的吗？两只银行股的联动强度，会随着其中一家的资本结构变化、业务重心迁移而改变；一只股票和它所在行业指数的 β\beta，会随行业轮动、市值漂移而缓慢移动；A 股和对应 ADR 的对冲比率，会随汇率制度、资金流向而变。对冲比率不是一块刻在石头上的常数，它是一个会呼吸的时变量。

如果 β\beta 在漂移，而你用一个固定的历史 β\beta 去对冲，会发生什么？你的”对冲后”残差里会残留一块系统性的市场暴露——你以为对冲干净了，其实还光着半条腿。

有两条路应对时变 β\beta：滚动窗口 OLS（只用最近 N 天回归）和卡尔曼滤波（把 β\beta 当作一个随机游走的隐藏状态，每来一个新数据点就在线更新一次）。本文用固定种子 20260801 造一个真实 β\beta 已知且在漂移的世界，检验四个问题：静态 OLS 错得有多离谱？卡尔曼比滚动窗口好在哪？它唯一的旋钮怎么调？以及——它会不会在不该动的时候乱动？

一、卡尔曼滤波：把对冲比率当成会漂移的隐藏状态#

卡尔曼滤波的世界观和 OLS 根本不同。OLS 假设 β\beta 是一个要估的固定参数；卡尔曼假设 β\beta（连同 α\alpha）是一个随时间演化的隐藏状态，我们只能通过带噪声的观测 YtY_t 间接看到它。

状态方程（β\beta 怎么演化）——假设对冲比率是随机游走：

θt=θt−1+wt,wt∼N(0,Q)\theta_t = \theta_{t-1} + w_t, \qquad w_t \sim N(0, Q)

其中 θt=[αt,βt]\theta_t = [\alpha_t, \beta_t]，QQ 是过程噪声协方差——它编码了”我们认为 β\beta 漂移得有多快”。

观测方程（我们看到什么）：

Yt=[1,Xt]⋅θt+vt,vt∼N(0,R)Y_t = [1, X_t] \cdot \theta_t + v_t, \qquad v_t \sim N(0, R)

每个时点，卡尔曼做两步：预测（用上一时刻的状态外推，不确定性增加）和更新（用新观测 YtY_t 的预测误差修正状态，不确定性下降）。修正的力度由卡尔曼增益 KK 决定——它是”新数据可信度”和”旧估计可信度”的最优权衡。

def kalman_hedge(x, y, delta=1e-5, Rn=10.0):
    Q = delta / (1 - delta) * np.eye(2)   # 过程噪声，delta 越大越信任新数据
    theta = np.array([0.0, 1.0])          # 状态 [alpha, beta]，初值 beta=1
    P = np.eye(2)                          # 状态协方差
    betas, resid = [], []
    for t in range(len(x)):
        F = np.array([1.0, x[t]])          # 观测矩阵
        P = P + Q                          # 预测：不确定性增加
        e = y[t] - F @ theta               # 一步预测误差（可交易信号）
        S = F @ P @ F + Rn                  # 预测残差方差
        K = (P @ F) / S                     # 卡尔曼增益
        theta = theta + K * e              # 更新状态
        P = P - np.outer(K, F) @ P
        betas.append(theta[1]); resid.append(e)
    return np.array(betas), np.array(resid)
python

注意一个关键细节：卡尔曼是纯因果滤波——时刻 tt 的 β\beta 只用了 tt 及之前的数据。这意味着它天生没有 look-ahead，可以直接搬到实盘。而它吐出的一步预测误差 ete_t，正好就是对冲后的可交易价差——这是卡尔曼做配对交易的精妙之处：估对冲比率和生成交易信号是同一个循环。

卡尔曼动态对冲解剖

上图是核心对比。真实 β\beta（黑）从 0.80 缓慢爬升到 1.39，是一条明确在漂移的曲线。卡尔曼估计（红）紧紧跟着它走，跟踪误差 MAE 只有 0.090。而静态全样本 OLS（灰虚线）只能给出一个数 1.065——它是整段 β\beta 的一个平均，在前半段严重高估、在后半段严重低估，全程系统性偏离，MAE 高达 0.146。你用这个 1.065 去对冲，早期做空太多、后期做空不够，残差里始终漏着一块市场暴露。

下图是卡尔曼吐出的一步预测残差——即对冲后的价差。它围绕 0 平稳波动，正是这个残差承载了配对交易的均值回归信号。

二、卡尔曼 vs 滚动 OLS：窗口两难与自适应#

有人会说：滚动窗口 OLS 不也能追时变 β\beta 吗？用最近 60 天回归，β\beta 不就动起来了？能，但滚动窗口有一个逃不掉的两难：窗口长度是个必须手工挑的超参数，而且怎么挑都不对。

  • 窗口太短（20 天）：β\beta 跟得快，但方差大、抖动剧烈，估计里全是噪声。
  • 窗口太长（250 天）：β\beta 平滑，但严重滞后，β\beta 已经涨上去了它还在追旧值。

滚动 OLS 窗口两难 vs 卡尔曼自适应

图2a 把三个窗口叠在真实 β\beta 上，两难一目了然：20 日窗（红）上蹿下跳，MAE 0.44；60 日窗（橙）居中，MAE 0.35；250 日窗（绿）平滑但明显滞后于真实 β\beta 的爬升，MAE 0.13。没有一个窗口能同时做到平滑和不滞后——这是滚动窗口的结构性缺陷。

图2b 是卡尔曼（红）和 60 日滚动 OLS（橙）的正面对比：卡尔曼既平滑又跟得上，MAE 0.090，优于所有测试的滚动窗口（最好的 250 日窗才 0.126）。更重要的是，卡尔曼不需要你手挑窗口长度——它把”信任新数据多少”这件事，交给了一个有明确统计含义的参数 δ\delta，而不是一个拍脑袋的窗口天数。

三、唯一的旋钮：过程噪声 δ 怎么调？#

卡尔曼不是没有超参数，它的关键旋钮是过程噪声 δ\delta（决定 QQ 的大小）。δ\delta 编码了你对 β\beta 漂移速度的先验：

  • δ\delta 太小：卡尔曼认为 β\beta 几乎不动，增益小、更新慢，β\beta 僵化、滞后——退化成接近静态 OLS。
  • δ\delta 太大：卡尔曼认为 β\beta 剧烈漂移，增益大、过度信任每个新数据点，β\beta 追着观测噪声乱抖——把噪声当成了信号。

我把 δ\delta 从 10−610^{-6} 扫到 10−110^{-1}，看 β\beta 跟踪误差：

δ 扫描与两个极端

图3a 是经典的 U 形跟踪误差：

δβ 跟踪误差 MAE
10−610^{-6}0.183（太僵，滞后）
10−510^{-5}0.090（最优）
10−410^{-4}0.115
10−310^{-3}0.150
10−210^{-2}0.164
10−110^{-1}0.175（太活，追噪声）

最优 δ=10−5\delta = 10^{-5}。图3b 展示两个极端的 β\beta 轨迹：δ=10−6\delta=10^{-6}（绿）几乎是条直线，完全跟不上真实 β\beta 的爬升；δ=10−1\delta=10^{-1}（红）疯狂抖动，追着观测噪声跑。真相在中间。

这里有一个魔鬼细节，也是我在自检时修正的一个坑：观测噪声参数 RR 必须和真实价差方差匹配。 如果把 RR 设得太小（比如误设成 1，而真实价差方差约 10），卡尔曼会过度信任每个观测，把本该留在残差里的可交易价差也吸收进 β\beta 里——β\beta 被”喂”了不该吃的东西，跟踪误差反而变差。RR 设对了（≈10），卡尔曼才会把 β\beta 的漂移和价差的波动正确地分开。这不是调参技巧，是卡尔曼能否正确工作的前提。

四、对抗式检验：它会在不该动的时候乱动吗？#

卡尔曼最危险的失败模式是过度反应：在 β\beta 其实没变的时候，凭空造出一个”漂移”，把噪声解读成趋势。这会让你频繁调整对冲头寸、白交交易成本，还自以为在”跟随市场”。三个对抗式检验直击要害。

对抗式检验：常数世界、残差方差、置换

图4a：常数 β 世界里，卡尔曼该不该动？ 我造一个真实 β≡1\beta \equiv 1 恒定不变的世界，看卡尔曼的估计：

  • 合适的 δ=10−5\delta=10^{-5}：β\beta 估计几乎平直，标准差仅 0.034——正确地”按兵不动”。
  • 过大的 δ=10−1\delta=10^{-1}：β\beta 估计标准差 0.043，开始凭空抖出伪漂移。

这验证了一个关键性质：参数设对时，卡尔曼在 β\beta 恒定的世界里不会造假趋势。 这也说明 δ\delta 不是越大越”灵敏”越好——过大的 δ\delta 会让你在平静的市场里疑神疑鬼，把噪声当轮动。

图4b：对冲残差方差——因果卡尔曼到底值多少？ 这是最能说明卡尔曼价值的一张图。三种对冲方式，比对冲后残差的方差（越小说明对冲越干净）：

  • oracle（用真实 βt\beta_t，偷看了未来）：9.24 —— 理论下限，实盘拿不到
  • 因果卡尔曼（只用 tt 及之前）：13.01 —— 可实施
  • 静态全样本 OLS：15.18 —— 常规做法

排序清清楚楚：oracle < 因果卡尔曼 < 静态 OLS。 卡尔曼把残差方差从静态 OLS 的 15.18 压到 13.01（改善 14%），显著逼近”偷看未来真 β\beta“的理论下限 9.24，但永远够不到 oracle——因为它只能用历史，对 β\beta 的估计必然滞后一点。这个”够不到”是诚实的：任何声称因果对冲能达到甚至超过 oracle 的回测，一定藏着 look-ahead。

图4c：置换检验。 卡尔曼吐出的对冲残差（价差）拿去做均值回归策略，真实 Sharpe 1.45，超过 300 次顺序置换的全部上限 0.62（置换均值锚在 0）。这证明卡尔曼残差里的可交易结构是真的时序回归动力，不是偶然。图4d：结构突变。 我造一个 β\beta 中途从 1.0 跳到 1.5 的阶跃 regime，卡尔曼在几十天内收敛到新 β\beta——静态 OLS 会永远卡在 1.25 附近的中间地带，两头不讨好。这是卡尔曼相对静态方法最实用的优势：面对突变，它会自愈。

三段式总结#

A. 实现细节#

  • 数据生成：Yt=α+βtXt+st+εtY_t = \alpha + \beta_t X_t + s_t + \varepsilon_t，XtX_t 随机游走，βt\beta_t 为”线性趋势 0.80→1.39 + 小随机游走”，sts_t 为半衰期 13.9 天的 OU 可交易价差，εt\varepsilon_t 小观测噪声，固定种子 20260801。
  • 卡尔曼设定：状态 [α,β][\alpha, \beta] 随机游走，过程噪声 Q=δ1−δIQ = \frac{\delta}{1-\delta}I，观测噪声 RR 匹配真实价差方差（≈10）。纯因果滤波，tt 时刻状态只用 tt 及之前数据；一步预测误差即对冲后可交易价差。主分析用最优 δ=10−5\delta=10^{-5}。
  • 对照方法：静态全样本 OLS（一个固定 β\beta）、滚动 OLS（20/60/250 日窗）。跟踪精度用与真实 βt\beta_t 的 MAE 度量（跳过前 50 天 warmup）。
  • 对抗式检验：(1) 常数 β\beta 世界看卡尔曼是否造伪漂移（比 δ=10−5\delta=10^{-5} 与 10−110^{-1}）；(2) oracle / 因果卡尔曼 / 静态 OLS 三者对冲残差方差排序；(3) 300 次残差顺序置换；(4) 阶跃 regime 下的收敛速度。

B. 已知偏差#

  • 随机游走状态假设：卡尔曼假设 β\beta 是随机游走。真实 β\beta 可能有均值回归、跳变或结构断点——随机游走先验对缓慢漂移和阶跃都还能应付（图4d），但对高频剧烈切换会滞后。
  • δ\delta 需要挑，只是挑法更有依据：本文的最优 δ=10−5\delta=10^{-5} 是在真值已知下扫出来的。实盘 β\beta 真值不可观测，δ\delta 仍需通过样本外验证或极大似然估计来定，不能直接照搬——只是它比”滚动窗口挑几天”有更清晰的统计含义。
  • 观测噪声 RR 的敏感性：RR 设错（尤其设太小）会让卡尔曼把可交易价差错误吸收进 β\beta，是实操中最容易犯的错。本文 RR 匹配了真实价差方差，实盘需要在线估计或稳健设定。
  • 零成本口径：动态 β\beta 意味着对冲头寸需要持续再平衡，每次调整都有交易成本。δ\delta 越大、β\beta 越活，再平衡越频繁、成本越高——本文所有结论未建模这块成本，实盘的最优 δ\delta 会因此偏向更保守（更小）。
  • 单标的对冲：本文是两资产的动态对冲比率。多资产篮子（上一篇 Johansen 的场景）可以推广到多维卡尔曼，但状态维度上升、参数估计更难、过拟合风险更大。

C. 结果解读#

  • 静态 OLS 的错是系统性的，不是随机的：真实 β\beta 漂移时，静态 OLS 给的那个平均数在前半段和后半段方向相反地偏离（图1），残差里始终漏着市场暴露。这不是”精度不够”，是方法论层面的偏误——用常数去拟合一个变量，无论样本多长都错。
  • 卡尔曼的价值 = 逼近 oracle 的程度：残差方差 oracle 9.24 / 因果卡尔曼 13.01 / 静态 OLS 15.18 这个排序，是全文最凝练的结论。卡尔曼吃下了静态 OLS 与 oracle 之间约 37% 的差距，且这是纯因果、可实盘的。剩下够不到 oracle 的部分，是”只能用历史”的物理代价，无法消除。
  • “够不到 oracle”是诚实性的证据：如果哪天你的因果对冲回测残差方差比 oracle 还小，别高兴——那是 look-ahead 泄漏了未来信息。oracle 是所有因果方法的天花板，这条线本身就是一个免费的 bug 探测器。
  • δ 不是越大越好：图4a 证明过大的 δ\delta 会在平静市场里造出伪漂移。动态对冲的诱惑是”跟随市场”，但过度跟随等于追噪声——付出再平衡成本，换来更差的对冲。最优 δ\delta 是”跟得上真实漂移”和”不追噪声”的交点，偏保守通常比偏激进安全。
  • 适用边界：卡尔曼动态对冲最适合 β\beta 有真实、缓慢、持续漂移的场景——同业配对的资本结构演变、股票对行业指数的市值漂移、跨市场对冲的制度性变化。对 β\beta 本就稳定的资产对，静态 OLS 足矣，上卡尔曼只是徒增再平衡成本和过拟合风险；对 β\beta 高频剧烈跳变的场景，随机游走先验又太弱。先问”β\beta 真的在动吗”，再决定要不要请出卡尔曼。
卡尔曼滤波动态对冲比率：让套保系数随市场自我更新
https://blog.halo26812.eu.org/blog/kalman-filter-dynamic-hedge-ratio
Author halo
Published at 2026年8月1日
版权声明 CC BY-NC-SA 4.0
Buy me a cup of coffee ☕.

Johansen 协整篮子：用多资产协整向量构建可交易价差

大模型如何成为股市预测专家：从原理到落地
Comment seems to stuck. Try to refresh?✨