最大分散化组合：用相关性加权超越风险平价

风险平价（Risk Parity）大概是过去十几年最被滥用的”高级词”之一。它把一个朴素且正确的想法讲得很漂亮：别按本金切蛋糕，按风险切——让每个资产对组合总风险的贡献相等。但有个问题被很多人忽略了：风险贡献相等，不等于分散化最优。

结论先放这：最大分散化组合（Maximum Diversification Portfolio, MDP，Choueifaty & Coignard 2008/2011）把一个叫”分散化比率”（Diversification Ratio, DR）的数直接最大化。它的闭式解藏在 $w \propto \Sigma^{-1}\sigma$ 里——用波动率向量 σ 替换了最小方差里的全 1 向量，于是低波动、低相关的资产（国债、黄金）被天然推到前台。在我们的 6 资产实测里，MDP 的 DR=1.89，高于风险平价的 1.84；样本外 4 年 CAGR 6.9%、夏普 0.86、最大回撤 −9.5%，五项指标全面压过风险平价。

一、分散化比率：把”分散”变成一个能优化的数#

风险平价关心的是”每个资产吃了多少风险饼”。MDP 关心一个更根本的问题：我的组合波动，到底被相关性压低了多少？

定义分散化比率：

$DR(w) = \frac{w^\top \sigma}{\sqrt{w^\top \Sigma w}}$

• 分子 $w^\top \sigma = \sum w_i \sigma_i$：组合成分波动率的加权平均，也就是假设所有资产互不相干时的组合波动。
• 分母 $\sqrt{w^\top \Sigma w}$：组合真实的波动率，已经把相关性扣掉了。

所以 DR 的含义非常直白：平均波动率 ÷ 实际波动率。DR 越大，说明相关性帮你”免费”削掉的那部分波动越多——也就是你吃到的分散化红利越大。等权组合的 DR 往往只有 1.3~1.5，而一个真正分散化的组合能到 1.8 以上。

注意一个反直觉的点：DR 衡量的不是收益，是风险结构的质量。它回答的是”我有没有把相关性这顿免费午餐吃满”，而不是”我赚了多少”。

二、闭式解：MDP 藏在 $\Sigma^{-1}\sigma$ 里#

对 $DR(w)$ 在 $w^\top \mathbf{1}=1$ 下求极值，一阶条件给出（无约束时）：

$\nabla_w DR = 0 \;\Longrightarrow\; w^* \propto \Sigma^{-1}\sigma$

推导不复杂：把 $DR=(w^\top\sigma)/\sqrt{w^\top\Sigma w}$ 对 $w$ 求导，令分子为零，化简后就是 $\sigma \propto \frac{w^\top\Sigma w}{w^\top\sigma}\Sigma w$，整理即得 $w \propto \Sigma^{-1}\sigma$。

把它和经典最小方差组合（Global Minimum Variance, GMV）放一起看，结构差异一目了然：

$w_{MDP} \propto \Sigma^{-1}\sigma, \qquad w_{GMV} \propto \Sigma^{-1}\mathbf{1}$

• 最小方差用全 1 向量，等价于”谁波动低就无脑多加谁”，最终会高度集中到最低波动资产（我们的实测里它把 62.9% 压在国债上）。
• MDP 用波动率向量 σ，相当于在”低波动”之外还多乘了一层：波动率越低、且与其它资产相关性越低的资产，被推到前台的力度越大。它优化的不是”波动最低”，而是”分散化最满”。

无约束解会出现负权重（做空），实盘用长仓版本，即在 $w_i\ge 0,\ \sum w_i=1$ 下最大化 DR，变成一个带约束的优化问题。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def max_diversification(Sigma, sigma, n_assets):
    """Long-only Maximum Diversification Portfolio: maximize DR = (w·σ)/sqrt(w^T Σ w); closed-form w ∝ Σ^-1 σ"""
    w0 = np.repeat(1.0 / n_assets, n_assets)
    def neg_dr(w):
        return -(w @ sigma) / np.sqrt(w @ Sigma @ w)
    cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: w.sum() - 1}]
    bounds = [(0.0, None)] * n_assets
    res = minimize(neg_dr, w0, method="SLSQP",
                   bounds=bounds, constraints=cons,
                   options={"maxiter": 3000, "ftol": 1e-14})
    return res.x / res.x.sum()

def diversification_ratio(w, Sigma, sigma):
    return (w @ sigma) / np.sqrt(w @ Sigma @ w)

三、与风险平价、最小方差同台对比#

我们用 6 个资产（美股 / 欧股 / 新兴市场 / 国债 / 黄金 / 商品）做一组双因子模拟：一个”风险偏好”因子驱动权益与商品，一个”避险”因子驱动国债与黄金，再加各自特异波动。估计出的相关性结构正是现实的样子——权益之间高度正相关（0.75~0.83），权益与国债负相关（约 −0.25），黄金与权益几乎零相关（约 0.13）。

三种方法算出的权重（长仓）如下：

两个观察：

1. MDP 的 DR 最高（1.89），验证了它确实把分散化吃满了；风险平价 1.84 紧随其后；最小方差只有 1.80——因为它过度集中到国债，牺牲了”跨资产”的分散。
2. MDP 比风险平价更敢给低波动、低相关资产加码：国债 54.3% vs 风险平价 45.1%，同时把高波动的权益压得更狠（合计 17.1% vs 23.4%）。它本质上在用相关性做权重——相关性越低的资产，在组合里”性价比”越高。

四、样本外净值：MDP 全面压过风险平价#

用前 6 年估计协方差，后 4 年做样本外净值（避免样本内前视），四种方案对比如下：

相对风险平价，MDP 在 DR、CAGR、夏普、波动、回撤 五项上全部占优——这正是”用相关性加权超越风险平价”的实证含义：同样把风险压到 9% 附近，MDP 因为分散得更”满”，样本外收益更高、回撤更浅。

但要诚实地说一句：最小方差在纯方差和夏普上反而略胜 MDP（CAGR 7.4%、夏普 0.94）。这是因为它更极端地集中到最低波动的国债（62.9%），赌对了低波动环境就赢。MDP 的卖点不是”夏普永远第一”，而是在”最分散”这条轴上是严格最优的，因此它对估计误差和 regime 切换更稳健——下面第三节的陷阱会解释为什么这很关键。

def backtest_weights(weights_dict, R_test, names):
    """给定一组权重，在样本外收益矩阵上算净值与绩效"""
    out = {}
    for label, w in weights_dict.items():
        nav = np.cumprod(1.0 + R_test @ w)
        r = np.diff(nav) / nav[:-1]
        cagr = nav[-1] ** (252.0 / len(nav)) - 1
        sharpe = r.mean() / r.std() * np.sqrt(252)
        mdd = (nav / np.maximum.accumulate(nav) - 1).min()
        out[label] = (cagr, sharpe, r.std() * np.sqrt(252), mdd)
    return out

五、真实陷阱（不平坑你一定会踩）#

1. $\Sigma^{-1}$ 对估计误差极度敏感。 这是 MDP 最大的阿喀琉斯之踵。样本协方差里哪怕一点点噪声，被求逆后会被平方级放大，导致权重剧烈摆动——今天国债 55%，下个月可能 35%。必须用 Ledoit-Wolf 收缩估计把样本协方差拉向结构化目标（如对角阵或单因子），这一步不是可选项。

2. 样本协方差可能非正定/病态。 高维小样本（资产数接近样本天数）时，Σ 可能奇异，求逆直接失败。收缩估计顺带解决了正定性，必要时再加一点岭正则 $\Sigma \leftarrow \Sigma + \lambda I$。

3. 换手率与交易成本。 MDP 权重对 Σ 高度敏感，再平衡频率稍高，摩擦就能把分散化红利吃掉大半。实盘要设调仓阈值（如权重漂移超 5% 才动）或月度/季度调仓。

4. 极端相关下 MDP 退化成”集中”。 危机时所有相关性冲向 1，分散化红利消失，MDP 会像最小方差一样被迫把权重堆到最低波动资产上——这时候它不再”分散”，而只是”最低波动”。别在危机里迷信它的分散化光环。

5. DR 最大 ≠ 收益最大。 MDP 优化的是风险结构，完全没看预期收益。如果某类资产预期收益显著更高（如小盘、成长），纯 MDP 会系统性欠配。正确做法是把 MDP 当风险底座，再叠加收益视图（例如 Black-Litterman 把主观观点融进 Σ 与预期收益）。

小结#

最大分散化组合把”分散”这件事从口号变成了可微的目标函数：最大化 $DR=(w^\top\sigma)/\sqrt{w^\top\Sigma w}$，闭式解 $w\propto\Sigma^{-1}\sigma$。它比风险平价多走了一步——不只把风险切匀，还让低波动、低相关的资产天然占更大比重，把相关性这顿免费午餐吃满。但它不是银弹：求逆放大的估计误差、危机时的相关性塌缩、对预期收益的视而不见，都是实盘必须正面处理的真实代价。把它当作”最分散的风险底座”，再配收缩估计、交易成本控制和收益视图融合，才是一个能落地的版本。