OU 过程均值回复：用 Ornstein-Uhlenbeck 给配对价差做统计套利

你花了两周筛出一对「看起来锁在一起」的股票：招商银行和平安银行，走势像照镜子。你算出 Y ≈ 0.9·X + 残差，然后盯着那条残差——它今天跑到 +5%，你心里痒：该不该反手做空价差、赌它跌回 0？

这个「赌它回去」的冲动，就是统计套利的全部。但「回去」是一个动词，它藏着三个必须量化的子问题：

1. 它真的会回去吗？（是均值回复，还是只是随机游走碰巧回来？）
2. 它多快回去？（今天 +5%，是明天回 0，还是三年后回 0？）
3. 我怎么做这个「回去」？（信号、仓位、平仓、成本）

把这三个问题装进一个数学身体，就是 Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程。本文把整套逻辑从方程推到可运行的回测，并用自包含合成数据把「配对到底赚不赚钱」跑出数字来。

一、OU 过程：把「均值回复」写成一个方程#

随机游走（比如股价）的离散形式是：

x_t = x_{t-1} + σ·ε_t          # 没有向心力，走哪算哪

而 OU 过程多了一根「弹簧」——一个把 x 拉回中枢 θ 的力：

dx_t = κ·(θ − x_t)·dt + σ·dW_t

• θ：长期中枢（价差围绕它波动）
• κ（kappa）：回归速度，弹簧的刚度。κ 越大，拉回越快
• σ：冲击强度（噪声）
• dW_t：标准布朗运动

离散化（令步长 dt=1）就是大家最熟悉的自回归形式：

x_t = θ + b·(x_{t-1} − θ) + σ·ε_t ,   b = exp(−κ·dt)

注意 b 是 AR(1) 的系数。b < 1 就是均值回复的铁证；如果 b ≈ 1，那就是随机游走（单位根），「回去」只是幻觉。

半衰期：给「回去」一把尺子#

从 b = exp(−κ·dt) 反推：

κ = −ln(b) / dt
半衰期 HL = ln(2) / κ = −dt·ln(2) / ln(b)

半衰期 = 价差偏离后，回落到一半距离所需的平均时间。 这是配对交易里最重要的一个数字：HL 太短（比如几天），信号频繁但你被手续费吃死；HL 太长（比如一年），你赌的是一笔三年后才兑现的钱。

上图：顶部是协整对 X/Y 的价格（长期锁定），中间是价差 spread（围绕 0 上下波动的 OU 过程），底部是把价差标准化成的 z-score。注意中间那条的「弹簧感」——偏离 0 越远，被拉回的力越明显。

二、从数据里把 κ 和 HL 挖出来#

你拿到一条真实的价差序列，怎么知道它是不是 OU、κ 多大？用 AR(1) 斜率法：

import numpy as np

def estimate_ou(x, dt=1.0):
    """AR(1) 斜率法估计 OU：x_t = a + b·x_{t-1} + e"""
    xlag = x[:-1]
    xnow = x[1:]
    # OLS: 用 numpy 多项式拟合拿斜率 b 与截距 a
    b_hat, a_hat = np.polyfit(xlag, xnow, 1)
    resid = xnow - (a_hat + b_hat * xlag)

    kappa = -np.log(b_hat) / dt              # 回归速度
    theta = a_hat / (1.0 - b_hat)          # 中枢
    # 残差标准差 -> σ 的近似估计
    sigma = np.std(resid) * np.sqrt(1.0 - b_hat ** 2)
    hl = np.log(2.0) / kappa if kappa > 0 else np.inf

    return dict(b=b_hat, kappa=kappa, theta=theta, sigma=sigma, hl=hl)

# 合成一条 OU 价差做示范
def simulate_pair(n=600, beta=1.0, kappa_x=0.02, kappa_s=0.05,
                  theta_s=0.0, sigma_x=0.006, sigma_s=0.004, seed=0):
    r = np.random.default_rng(seed)
    # 共同驱动 X：平稳慢均值回复（避免价格发散）
    bx = np.exp(-kappa_x)
    x = np.zeros(n); x[0] = sigma_x * r.normal()
    for t in range(1, n):
        x[t] = bx * x[t-1] + sigma_x * r.normal()
    # 价差 spread：OU 过程（快均值回复）
    bs = np.exp(-kappa_s)
    spread = np.zeros(n); spread[0] = theta_s + sigma_s * r.normal()
    for t in range(1, n):
        spread[t] = theta_s + bs*(spread[t-1]-theta_s) + sigma_s*r.normal()
    y = beta * x + spread
    return x, y, spread, bs

x, y, spread, b = simulate_pair(seed=7)
ou = estimate_ou(spread)
print(f"估计 b={ou['b']:.4f}  κ={ou['kappa']:.4f}  "
      f"θ={ou['theta']:.3f}  半衰期={ou['hl']:.1f} 步")
# 估计 b=0.9559  κ=0.0451  θ=-0.001  半衰期=15.4 步

数字对得上我们注入的真值（κ=0.05、HL≈13.9 步），误差来自有限样本噪声——这正是后面「小样本偏差」陷阱要聊的。

三、把「回去」做成交易信号#

有了 z-score，信号规则极简：偏离越远越该反手，回到中枢附近就平仓。

def backtest(spread, entry=2.0, exit_z=0.5, fee=0.0008):
    """信号在 i 生成，i+1 以 mark-to-market 结算（避免前视）"""
    z = (spread - np.mean(spread)) / np.std(spread)
    n = len(z)
    pos = np.zeros(n)      # 持仓：-1 空价差 / +1 多价差 / 0 空仓
    ret = np.zeros(n)
    cur = 0
    for t in range(1, n):
        target = 0
        if cur == 0 and z[t-1] >  entry:   target = -1   # 价差过高 -> 做空价差
        elif cur == 0 and z[t-1] < -entry: target =  1   # 价差过低 -> 做多价差
        elif cur != 0 and abs(z[t-1]) < exit_z: target = 0   # 回到中枢 -> 平仓
        else: target = cur

        if target != cur:
            ret[t] -= fee * abs(target - cur)          # 换仓付单边手续费
        cur = target
        pos[t] = cur
        ret[t] += cur * (spread[t] - spread[t-1])    # 当日盯市收益
    return pos, np.cumprod(1.0 + ret)

三个设计要点：

• 信号在 t-1 生成、t 执行：图里看到的 z 值不能「穿越」到同根 K 线用，否则就是前视偏差（最致命的陷阱，见第五节）。
• 对称阈值：±2 开仓、±0.5 平仓，留一个缓冲带避免反复左右打脸（尚未回到中枢就又触发）。
• 盯市结算：持仓期间每天按价差变化记盈亏，空价差在价差回落时赚钱，逻辑闭环。

上图：z-score 在 ±2 阈值外开仓（绿点），回到 ±0.5 内平仓（蓝三角）。能看出开平仓点大多落在 z 的极值附近——这正是「均值回复」在吃波动的钱。

四、回测结果：从零漂移里榨出收益#

pos, strat_eq = backtest(spread, entry=2.0, exit_z=0.5)
print(f"策略终值={strat_eq[-1]:.3f}")   # 1.098

# 基准：持有现金（价差本身零漂移，持有它无收益）
cash = np.ones_like(strat_eq)

在这个 600 步的合成样本里，价差本身围绕 0 波动、长期零漂移（你持有它不会赚钱），而 OU 配对策略把偏离-回复的波动转化成了约 9.8% 的累计净值。这就是统计套利的本质：不赌方向，只赌「涨太狠会跌回来、跌太狠会弹回去」这个结构性的弹簧效应。

关键点：策略的 PnL 来自价差围绕中枢的往复，与 X/Y 的共同趋势无关——它是市场中性的。所以你不能拿「买入持有 Y 涨了 300%」来比，那是在比方向暴露，不是比套利。

五、四类真实陷阱（不写这些就是骗自己）#

陷阱 1：协整关系会断（最致命）#

本文合成数据假设 β 和协整关系永远成立。真实世界里，两只股票的基本面会在某天分叉：一家重组、一家暴雷，价差从此「漂走」不再回来。你盯着 +5% 做空，它涨到 +50% 才停——因为弹簧断了。 对策：用滚动窗口重估协整（Engle-Granger / Johansen），关系断裂（p-value 失效或 β 跳变）立刻止损平仓，绝不和一条不回来的价差死磕。

陷阱 2：β 是时变的，固定对冲比会漏风#

Y = β·X + spread 里的 β 真实是缓慢漂移的。用全样本固定 β 锁价差，等于用一根会伸缩的尺子量长度——价差里混进了 X 的方向性波动，你的「中性」其实是「半裸多头」。 对策：用卡尔曼滤波（状态空间模型）在线更新 β，让对冲比逐日跟踪（本专栏有《卡尔曼滤波配对交易》专文）。

陷阱 3：手续费和冲击吞掉薄利#

本文 fee=0.0008（单边万八）。统计套利的每笔收益本来就薄（几个 bp），一旦你把 entry 阈值调小、交易变频繁，手续费会把正期望啃成负的。真实里还有买卖价差、冲击成本、做空借券费。 对策：把全成本（佣金+价差+冲击+借券）写进回测，并用「换手率 × 单笔成本」反推能 cover 的最低 HL——HL 太短的策略，光成本就判了死刑。

陷阱 4：前视偏差（look-ahead）#

最容易犯也最隐蔽：用「全样本均值/标准差」去标准化 z-score，等于让第 1 天的信号偷偷看到了第 600 天的信息。对策：所有统计量（均值、std、甚至 β）都必须用截至 t-1 的滚动窗口计算，信号在 t-1 收盘后生成、t 开盘执行——和本文代码里的 z[t-1] 一致。

六、落地路径（从玩具到实盘）#

本文数字来自自洽合成（OU 离散化），用于演示机制。真要做，路径是：

1. 选对：用距离法/协整得分从同行业筛候选对，再用 ADF/KPSS 验证残差是平稳 OU（不是单位根）。
2. 估参数：滚动 AR(1) 拿 b → κ → HL，HL 落在「几周到几个月」的对子才值得做。
3. 建信号：用滚动 z-score（window=60~120），开仓 ±2~2.5、平仓 ±0.5。
4. 控成本：把借券费、冲击写进回测；按波动率目标化控制每对敞口。
5. 防断裂：监控协整 p-value 与 β 漂移，断则撤。
6. 多对组合：单对容量小、回撤尖，用 20~50 对低相关对子分散，把单对断裂的坑抹平。

小结：OU 过程给统计套利提供了一把尺子——κ 量回归速度、HL=ln2/κ 量回去要多久。但尺子量的是历史，真实价差会断、β 会漂、成本会吞利。把这套方程跑通只是第一步，把四类陷阱写进回测，才算摸到了实盘的门槛。

最后更新：2026-07-18