最小方差组合解析解：把全局最小风险权重闭式写出来 • halo 的技术博客

马科维茨均值-方差框架里有一件事很吊诡：唯一一个不依赖你对「未来收益」任何猜测、却仍然有漂亮闭式解的组合，是最小方差组合（Global Minimum Variance, GMV）。你要写最大夏普要猜 μ、要写效用最大化要拍风险厌恶系数 γ，唯独「把波动压到最小」这件事，喂进去的只有协方差矩阵 Σ，吐出来的权重是解析的、确定的、不依赖任何点估计。

这件事在实战里价值巨大：μ 是噪声最大的量，估错了权重就飞天；而 Σ 相对好估。所以 GMV 是「我承认自己不预测收益，但至少把风险结构用到极致」的那一档组合。本文从拉格朗日乘子一路推到闭式解，再用 numpy 在 8 只合成股票（带行业因子结构）上把它算出来，并和等权、切线组合做对比。

有效前沿上的最小方差组合：它位于整条前沿最左端，年化波动 18.7%，是全局风险最低点

一、闭式解是怎么来的#

问题定义为：

$\min_{w}\; w^{\top}\Sigma w \quad \text{s.t.}\quad \mathbf{1}^{\top}w = 1$

构造拉格朗日函数 $L = w^{\top}\Sigma w - \lambda(\mathbf{1}^{\top}w - 1)$ 。对 $w$ 求偏导令为零：

$2\Sigma w - \lambda\mathbf{1} = 0 \;\Rightarrow\; w = \frac{\lambda}{2}\Sigma^{-1}\mathbf{1}$

把 $w = \frac{\lambda}{2}\Sigma^{-1}\mathbf{1}$ 代回约束 $\mathbf{1}^{\top}w = 1$ ：

$\frac{\lambda}{2}\,\mathbf{1}^{\top}\Sigma^{-1}\mathbf{1} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{\lambda}{2} = \frac{1}{\mathbf{1}^{\top}\Sigma^{-1}\mathbf{1}}$

于是得到那个教科书级的结果：

$\boxed{w_{\text{GMV}} = \frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^{\top}\Sigma^{-1}\mathbf{1}}}$

它的方差是 $\sigma_{\text{GMV}}^{2} = 1/(\mathbf{1}^{\top}\Sigma^{-1}\mathbf{1})$ 。注意分子里没有 μ，只有 Σ 和全 1 向量——这就是 GMV「诚实」的根源。

二、从零实现：三行核心代码#

import numpy as np

def min_variance_weights(Sigma):
    """最小方差组合闭式解 w = Σ⁻¹1 / (1ᵀΣ⁻¹1)"""
    invS = np.linalg.inv(Sigma)
    ones = np.ones(Sigma.shape[0])
    w = invS @ ones
    return w / w.sum()          # 归一化即满足 1ᵀw=1

# 示例：8 资产年化协方差（带行业市场因子结构）
beta = np.array([0.85, 0.95, 1.05, 1.15, 0.90, 1.35, 1.45, 1.10])
idio  = np.array([0.16, 0.18, 0.22, 0.24, 0.20, 0.34, 0.38, 0.28])
mkt_vol = 0.18
Sigma = (np.outer(beta, beta) * mkt_vol**2 + np.diag(idio**2)) / 12.0  # 转月频

w_gmv = min_variance_weights(Sigma)
vol_gmv = np.sqrt(w_gmv @ Sigma @ w_gmv)
print("GMV 权重:", np.round(w_gmv, 3))
print("GMV 月波动:", np.round(np.sqrt(vol_gmv**2), 4))

python

跑出来的权重很有意思（见下表，按资产排序）：GMV 把 41.8% 压在最低波动的银行、24.2% 给保险、23.2% 给医药，而对最高的两个波动源半导体、新能源各做了 −3.1%、−4.5% 的微空。它本质上在说：「谁波动小、谁和别人相关性低，我就多配谁。」

三、和等权、切线组合的对照#

光有 GMV 不够，得放一起看才有感觉。我们用同一份 Σ、再给一组月均收益 μ，把三种组合都算出来：

mu_month = np.array([0.008,0.009,0.006,0.013,0.011,0.016,0.015,0.012])
rf_month = 0.0025

# 等权
w_ew = np.ones(8) / 8

# 切线组合（最大夏普，需 μ 与 rf）
delta = mu_month - rf_month
w_tan = (np.linalg.inv(Sigma) @ delta) / (np.ones(8) @ np.linalg.inv(Sigma) @ delta)

def port(w):
    return w @ mu_month, np.sqrt(w @ Sigma @ w)

for name, w in [("GMV", w_gmv), ("EW", w_ew), ("Tangency", w_tan)]:
    r, v = port(w)
    print(f"{name:8s} 年化收益 {r*12*100:5.1f}%  年化波动 {v*np.sqrt(12)*100:5.1f}%")

python

三档结果（年化）：

组合	年化波动	年化收益	权重特征
最小方差 GMV	18.7%	10.2%	重仓低波动、微空高波动
等权 EW	21.8%	13.5%	每个 12.5%
切线组合	27.3%	18.3%	重仓白酒/医药、对地产空 −38%

资产相关性矩阵：单一市场因子让所有资产高度正相关，这正是 GMV 必须靠做空/低配来分散的原因

GMV 把年化波动从等权的 21.8% 压到 18.7%，整整低了 14.2%。代价是收益也下来了——这是公平的：你没给模型任何收益观点，它自然不会去赌高收益资产。

四、权重长什么样#

下图把三档权重并排摆出来，结论一目了然：

权重对比：GMV（红）几乎全压在低波动的银行/保险/医药，等权（灰）平均，切线（绿）则把地产空到 −38%、白酒白酒拉到 32%

等权：每个 12.5%，完全不看波动，所以它会把钱均匀撒进半导体这种高波动资产，隐含风险偏高。
GMV（红）：把 89% 以上的权重集中在银行/保险/医药三只低波动股上，并对最高波动的半导体、新能源做了微空。它「不预测收益，只压风险」。
切线组合（绿）：因为要最大化夏普，它直接重仓高收益预期且相对低相关的白酒、医药，同时把地产空到 −38% 去对冲。注意这已经高度依赖 μ 的点估计——μ 估偏一点，这根 −38% 的空单就会反噬。

五、单基金定理：GMV + 切线 = 整条前沿#

一个常被忽略的漂亮结论：有效前沿上任意组合，都能表示为 GMV 和切线组合的线性组合（单基金/互基金定理）。而且前沿和资本市场线（CML）相切的点正是切线组合。

# 有效前沿（解析，不必数值优化）
invS = np.linalg.inv(Sigma)
A = ones @ invS @ ones
B = ones @ invS @ mu_month
C = mu_month @ invS @ mu_month
D = A*C - B**2
mu_grid = np.linspace(mu_month.min()*0.9, mu_month.max()*1.1, 120)
std_front = np.sqrt((A*mu_grid**2 - 2*B*mu_grid + C) / D)
# CML: 过 (0, rf) 且过切线组合
slope = (w_tan @ mu_month - rf_month) / np.sqrt(w_tan @ Sigma @ w_tan) * np.sqrt(12)

python

上面的 efficient_frontier.png 就是把前沿（蓝）、GMV（红，最左端）、切线（绿，CML 切点）、CML（紫虚线）画在一起。GMV 永远在最左，这是它的「身份证」。

六、样本外稳不稳？一次诚实的蒙特卡洛#

闭式解优雅，但实战看的是样本外。我们用同一因子模型独立抽样 60 个月、重复 500 条路径，比较三类组合的样本外表现：

样本外 Sharpe 分布箱线图：GMV 箱体最靠下但最窄，波动最低；切线组合中位略高但尾巴最长、最不稳定

中位数结果：GMV 样本外波动 18.4%（等权 21.5%、切线 27.0%），GMV 把风险牢牢摁在最低；样本外 Sharpe 中位数 GMV 0.41 / 等权 0.47 / 切线 0.54——GMV 收益确实最平，但它是唯一一个「不靠猜收益」就拿到可交易稳健性的组合。

七、三个必须知道的坑#

GMV 会做空。无约束解对高波动资产给负权重。A 股多数账户不能空，落地要加 w ≥ 0 约束，这时没有闭式解、要数值优化（后面会单独写一篇）。
Σ 估计误差会被放大。GMV 含 Σ⁻¹，Σ 估偏一点，权重就抖。实务上一定要先对 Σ 做收缩（Ledoit-Wolf）再求逆，别直接 np.linalg.inv(sample_cov)。
GMV 不追求收益。它卖的是「最低风险 + 不依赖收益预测」，不是最高夏普。想要收益，请把观点装进 μ 去做切线或 Black-Litterman，但请记住那一步的脆弱性。

八、实战落地：长仓约束 + 协方差收缩#

无约束 GMV 会给负权重（做空）。A 股多数账户只能做多，于是要加 $w_i \ge 0$ 约束——这一加，闭式解就没了，得数值优化：

from scipy.optimize import minimize

def min_var_long_only(Sigma):
    """长仓最小方差（无闭式解，数值优化）"""
    N = Sigma.shape[0]
    cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: w.sum() - 1.0}]
    bnds = [(0.0, 1.0)] * N
    res = minimize(lambda w: w @ Sigma @ w, np.ones(N) / N,
                   method="SLSQP", bounds=bnds, constraints=cons)
    return res.x

python

长仓 GMV 会把权重进一步往低波动资产堆，是「防御型底仓」的常见选择。但它有个隐蔽风险：Σ 一旦估偏，Σ⁻¹ 会把误差放大进权重。实务第一步一定是先做协方差收缩：

from sklearn.covariance import LedoitWolf

S_shrunk = LedoitWolf().fit(returns).covariance_   # 向对角结构收缩
w_gmv = min_variance_weights(S_shrunk)             # 用收缩后的 Σ 再求逆

python

Ledoit-Wolf 把样本协方差朝「对角 + 缩放」方向拉一点，显著降低权重对噪声的敏感度。直接 np.linalg.inv(sample_cov) 是新手最常踩的坑。

九之一、为什么 GMV 是量化组合里的「压舱石」#

学术界早有定论（Merton 1980、后来的各种低波动异象研究）：预期收益 μ 的估计误差远大于 Σ，而均值-方差权重对 μ 又极度敏感——你以为自己在做「收益-风险」权衡，实际大部分波动都来自 μ 的噪声。GMV 的聪明之处在于主动放弃对 μ 的押注，只把协方差用到极致，于是它的权重对估计误差的敏感度远低于最大夏普组合。这也是为什么「低波动」「最小方差」能成为一类独立 smart-beta 因子：它不承诺最高收益，但提供了组合里最稳的「压舱石」底仓。实务中常见做法是用 GMV 当核心仓、再用少量风险预算去押有信心的收益观点——既拿到低波动底座，又不至于完全放弃 alpha。

九、一个顺手的好邻居：逆波动权重#

如果你嫌 GMV 还要算 Σ⁻¹ 太重，有个更便宜的近亲——逆波动权重 $w_i \propto 1/\sigma_i$ 。它在「所有资产两两相关系数相等」这个特殊假设下，恰好就是 ERC（等风险贡献）的解析解。换言之：当你懒得做完整风险平价优化时，逆波动是最轻量的「低波动倾斜」替代。它的缺点是过度集中在最低波动的那一个资产上，对 σ 的估计误差更敏感，所以正式组合里还是 GMV/ERC 更稳。

一句话总结：最小方差组合的闭式解 $w = \Sigma^{-1}\mathbf{1}/(\mathbf{1}^{\top}\Sigma^{-1}\mathbf{1})$ 是均值-方差世界里最「诚实」的解析解——它只吃协方差、不赌收益，把波动压到全局最低。本文在 8 资产因子模型上把它算成 18.7% 年化波动（比等权低 14.2%），并诚实展示了它「收益最平但最稳」的样本外特征；同时指出实战里必须加长仓约束（数值优化）与协方差收缩（Ledoit-Wolf）才能真正落地。下一篇我们把它推向实战：风险平价在中国 A 股——换手与约束下的再检验。