标签： #最小方差

均值-方差优化里，最小方差组合（GMV）是唯一不依赖预期收益的解析解，它只吃协方差矩阵。本文用 numpy 从零推导并闭式求解 w=Σ⁻¹1/(1ᵀΣ⁻¹1)，在 8 资产因子模型上算得 GMV 年化波动 18.7%、比等权低 14.2%，并对比等权与切线组合，附完整 Python 与四张真实计算图。

方差把上涨和下跌对称对待，于是它把『安静但会崩盘』的资产当成低风险。半方差（semivariance）只统计跌破目标那半边的波动，把真正的左尾风险挑出来。本文用 numpy 从零实现下行半协方差矩阵与最小半方差组合，在 8 个『总波动相同、下行不对称』的合成资产上证明：最小方差组合重仓了低波动的崩盘组（权重 0.12–0.14），最小半方差组合反手改仓几乎不崩的高波动组（权重 0.17–0.25），下行半偏差降 9.6%、最大回撤中位数降 47%、Sortino 从 0.076 升到 0.436。附完整 Python 与四张真实计算图。

样本协方差矩阵在 p 接近 n 时大半是噪声：最小方差组合权重会被压进少数几只股票、矩阵变得病态、样本外方差爆炸。Ledoit-Wolf(2004) 用解析线性收缩把样本协方差 Σ̂ 拉向一个结构化目标 F（清掉相关性、保留方差），自动算出最优收缩强度 δ。合成 30 资产 250 天里，精确收缩把样本 Σ 的条件数从 25.1 压到 11.3（降 2.2×）、Frobenius 误差从 2.22 降到 2.01，样本外最小方差组合更稳。附完整 Python 与六类真实陷阱（高阶）。

样本协方差大半是噪声：RMT 以马尔可夫-帕斯特上界 λ⁺ 为界，把噪声体特征值压平、只留信号尖峰；Frobenius 误差降 17%、最小方差 OOS 方差降到样本 60%，附完整 Python（高阶）。