最优传输(Wasserstein)资产配置：用 Earth Mover's Distance 把分布差异变成权重

传统资产配置里，比较两个资产「像不像」几乎只看两个数字：预期收益 μ 和波动率 σ。但 μ 和 σ 是压缩到一阶、二阶矩的摘要——两个资产完全可以 μ 相同、σ 相同，收益分布却一个是对称的、一个是左肥尾的、一个带周期性跳变。用 μ/σ 做配置，等于逼着模型只比较两个分布的「平均值和胖瘦」，看不到「形状」。

本文聊一个从最优传输(Optimal Transport)搬来的视角：用两个收益分布之间的 Earth Mover’s Distance——也就是 1-Wasserstein 距离(W1)——来度量「分布形状差异」，并把它直接变成配置权重。核心直觉一句话：与其赌「哪个资产未来涨最多」，不如选「收益分布形状最接近我们信任的标杆」的资产——因为分布形状比单点估计稳健得多。

我们用 5 个资产的合成日收益面板验证：把「样本内冠军(asset4)」刻意设计成一段只在样本内出现的正向外生跳点（幸运肥尾），它样本内 Sharpe 3.92，但样本外跳点消失、Sharpe 直接崩到 −0.72。均值贪婪(按样本内均值定权)把 100% 仓位压进这个陷阱，OOS 最大回撤 −35.6%；而 OT 分配只给它 6.8% 权重，OOS Sharpe 2.03，显著跑赢等权的 1.51。

一、为什么 μ/σ 不够，要 W1#

均值-方差框架把每个资产压成一个点 (μ, σ)。问题是：

• μ 是单点估计，对离群极度敏感。一个资产只要在样本内蹭了几笔大跳点，μ 就被抬高，均值贪婪会疯狂加仓——哪怕那几笔跳点是一次性的、样本外再不来。
• σ 只管二阶矩，完全看不到偏度、峰度、跳变结构。两个 σ 相同的资产，风险性质可能天差地别。

最优传输换了个角度。把资产 i 的日收益分布记作 P_i，标杆分布记作 Q（我们选「质量标杆」asset0 的样本内分布）。W1(P_i, Q) 的物理含义是：把 P_i 的整个质量挪成 Q 的形状，最少要搬多少「质量 × 距离」。它比较的是整个分布的形状，所以：

• 一个只在样本内多了一截正肥尾的资产，它的 W1 会显著变大（要把那截多出来的质量搬走）；
• 一个只是整体平移、形状没变的资产，W1 只反映平移量，很小。

也就是说，W1 天然「惩罚」那种靠一次性外生事件撑起来的、不可持续的收益。

import numpy as np

def wasserstein1(x, y):
    """1-Wasserstein 距离：排序后经验 CDF 之差的均值（Earth Mover's Distance）。"""
    x = np.sort(x); y = np.sort(y)
    n = max(len(x), len(y))
    xs = np.interp(np.linspace(0, 1, n), np.linspace(0, 1, len(x)), x)
    ys = np.interp(np.linspace(0, 1, n), np.linspace(0, 1, len(y)), y)
    return float(np.mean(np.abs(xs - ys)))

def soft_alloc(w, beta):
    """softmax(−β·w)：离标杆越近(w 越小)权重越大；β 控制集中度。"""
    z = -beta * np.asarray(w, float)
    z -= z.max()
    e = np.exp(z)
    return e / e.sum()

这里 W1 用排序后的经验分布做线性插值再求逐点差均值，是 1-Wasserstein 的标准闭式近似（等价于两个经验 CDF 之差的 L1 范数），不需要解线性规划、跑得快。

二、数据：人工埋一个「样本内幸运」陷阱#

5 个资产的日收益：asset0 是「质量标杆」（μ 最高、σ 适中），asset1~asset3 是普通资产，asset4 我们故意在样本内前 500 天注入一串正向外生跳点（均值 +6%、概率 10%），样本外 500 天不再注入。

T, INS, N = 1000, 500, 5
rng = np.random.default_rng(20260714)
mu    = np.array([0.0007, 0.0003, 0.0004, 0.0002, -0.0002])
sig   = np.array([0.0080, 0.0100, 0.0120, 0.0090, 0.0090])
R = np.zeros((T, N))
for i in range(N):
    R[:, i] = rng.normal(mu[i], sig[i], T)
# 仅在样本内给 asset4 注入正向外生跳点（幸运肥尾），样本外消失
spike_mask = (np.arange(T) < INS) & (rng.random(T) < 0.10)
R[spike_mask, 4] += rng.normal(0.060, 0.020, spike_mask.sum())

Rin, Roos = R[:INS], R[INS:]
target = Rin[:, 0]                      # 标杆 = asset0 样本内分布
W1 = np.array([wasserstein1(Rin[:, i], target) for i in range(N)])
w_ot = soft_alloc(W1, beta=300.0)      # OT 软分配
w_mean = softmax(Rin.mean(0) * 4000.0) # 均值贪婪（对比组）
w_equal = np.ones(N) / N

样本内各资产特征（注意 asset4 被肥尾抬高）：

asset4 样本内 Sharpe 3.92，是标杆的 2.6 倍——肉眼看就是「冠军」。但那全是样本内跳点撑的。

三、W1 距离矩阵：谁和标杆分布像#

把 5 个资产样本内分布两两算 W1，得到距离矩阵：

asset0 到自己的距离当然是 0；asset4 到 asset0 的 W1 是 0.00539，是全部资产里最大的——因为它多了一截样本内肥尾，形状离标杆最远。asset3（W1=0.00092）反而离标杆最近。这正是 OT 要抓的信号：「形状远」≈「靠外生事件撑的、不可持续」。

四、三种分配：OT 锁标杆，均值贪婪被陷阱骗走#

把 OT 分配、均值贪婪、等权三种权重摆一起：

对比极其刺眼：

• 均值贪婪完全被样本内均值骗了——asset4 样本内均值最高，权重 100% 压进去；
• OT 分配看的是分布形状：asset4 的 W1 最大，被压到 6.8%；反而把权重给了分布形状最接近标杆的 asset0(34.1%) 和 asset3(25.9%)。

这就是 W1 的「形状免疫力」：它不在乎 asset4 样本内均值多高，只在乎**「你这个高是怎么来的」**——靠外生跳点堆出来的高，形状离标杆远，权重就被打下来。

五、分布叠加：OT 组合贴着标杆，避开肥尾#

把标杆分布、陷阱 asset4 分布、OT 组合 OOS 收益分布叠在一起：

asset4 的分布（橙色）明显右拖了一条肥尾——那是样本内的外生跳点。但 OT 组合（蓝线）的 OOS 收益分布几乎贴着标杆（绿），根本没有那条肥尾：因为 OT 只给了 asset4 不到 7% 的权重，它的肥尾被稀释到几乎看不见。

六、样本外：OT 完胜均值贪婪#

四种配置在样本外（asset4 跳点消失后）的累计净值：

均值贪婪把 100% 押在陷阱上，OOS 直接腰斩、回撤 −35.6%；OT 分配不仅躲过一劫，还靠「贴着标杆」拿到了 OOS Sharpe 2.03，比等权（1.51）高出 34%。差别的源头只有一个：配置依据是「分布形状」还是「样本内均值」。

七、五类真实陷阱#

1. 标杆选错，全盘错：OT 是「相对标杆的形状相似度」，标杆 Q 的质量决定一切。我们选了 asset0 的真实分布当标杆——但若你用一个被样本内噪声污染的分布当标杆，OT 会把「噪声形状」当模板，权重反而追着噪声走。实盘标杆应取长期可信的核心资产/宽基指数，且最好用 walk-forward 滚动更新，别用一段特殊行情当永恒标杆。
2. β 是隐形的集中度旋钮：softmax(−β·W1) 里 β 越大越集中。β=300 时 OT 把 34% 给了 asset0；β 调小会趋近等权，调大则退化为「只买离标杆最近的那一个」。β 必须样本外调参，且警惕「在同一段历史上既选 β 又评估」的双重偷看。
3. W1 对样本量敏感：经验分布用排序近似，尾部只有几十个样本时，W1 的尾部距离估计很抖。日频 500 天在小样本下尾部仍然稀疏——真实资产至少用 3~5 年日频，或用月度收益补充尾部信息，否则 W1 会过度反应少数极端点。
4. 只治「形状不可持续」，不治「真 alpha」：OT 的卖点是「排除靠外生事件撑的伪冠军」，但它不会主动发现真有 alpha 的资产——一个分布形状离标杆远但样本外持续赚钱的资产，OT 也会压低它权重。OT 是「稳健的被动型配置」而非「alpha 挖掘机」，别指望它替你选股。
5. 合成数据局限：本面板是「4 普通 + 1 样本内肥尾」的自洽合成，只为干净演示 W1 的形状免疫力。真实资产收益有厚尾、波动聚集、相关性时变；分布距离会随 regime 漂移，OT 权重要滚动重算并监控权重 PSI，分布突变时重新审视标杆与 β。

八、结语#

最优传输给资产配置提供了一个比 μ/σ 更「看形状」的尺子：

• W1(Earth Mover’s Distance) 比较整个分布的形状，天然惩罚「靠一次性外生事件堆出来的高收益」；
• softmax(−β·W1) 把距离直接变成权重，离标杆分布越近权重越大，且 β 平滑可控；
• 在我们的合成里，它把样本内「幸运肥尾」陷阱的权重从均值贪婪的 100% 压到 6.8%，OOS Sharpe 从 −0.72 拉回 2.03。

和之前聊过的风险平价、最小方差、鲁棒优化放一起看：风险平价/最小方差管的是「波动与相关性」，OT 管的是「分布形状的可持续性」——它不预测方向，只筛掉「形状不可信」的资产。落地时把它当作配置层的正则项（例如和风险平价结果做凸组合），而不是独立决策，工程上最稳。

注：本文收益面板为自洽合成数据（asset4 含仅在样本内出现的外生跳点），用于演示 W1 对「形状不可持续收益」的免疫力；真实资产需 3~5 年日频、标杆取长期可信核心资产、权重滚动重算并监控 PSI。