在线投资组合 OLMAR：跟随均值回复的在线再平衡算法

大多数投资组合方法都活在「批处理」的世界里：先拿一段历史，估一个协方差矩阵，解一次优化，得到一组权重，然后拿去用。但真实的交易是逐日到来的——今天收盘，你必须为明天定好仓位，而你手里只有到今天为止的数据。这就是在线投资组合选择(Online Portfolio Selection, OLPS) 要解决的问题：把组合更新写成一个每天迭代一次的规则，不回头重算全历史。

本文聊 OLPS 里最经典、也最实用的一支——OLMAR(On-Line Moving Average Reversion)，由 Li 和 Hoi 于 2012 年提出。它的核心信仰只有一句话：价格会向移动平均线回复。 今天跌破均线的资产，明天大概率反弹；今天冲高的，明天大概率回落。OLMAR 把这个均值回复的信念，写成一条闭式的在线更新规则。

我们用 6 只资产、756 个交易日(3 年)、带均值回复结构和一次系统性崩盘的合成市场，把它跑成看得见的数据：OLMAR 总收益 41.9%，年化 12.38%，显著跑赢等权买入持有的 17.5% 和 UCRP(均匀恒定再平衡)的 30.0%；20 个种子里 12/20 跑赢 UCRP。但代价也很实：日均换手率高达 104%，最大回撤 −42.3%——比 UCRP 的 −22% 深了近一倍。这正是在线反转策略的两面性。

一、OLPS 的问题设定#

设有 M 只资产，第 t 天的价格相对(price relative) 向量为

x_t = p_t / p_{t-1}   （逐元素相除，x_{t,i} > 1 表示第 i 只资产当天上涨）

组合用权重向量 b_t 表示，落在单纯形 Δ_m = {b : b_i ≥ 0, Σ b_i = 1} 上(只做多、满仓)。第 t 天的组合收益倍数是 b_t · x_t，累计财富

S_n = Π_{t=1}^{n} (b_t · x_t)

OLPS 的目标：在不预知未来的前提下，逐日选 b_t，让最终 S_n 尽可能大。评价基准通常有三个：

• UCRP(Uniform Constant Rebalanced Portfolio)：每天再平衡回等权 b = 1/M；
• 等权买入持有(BAH)：初始等权买入后不动，权重随价格漂移；
• 事后最优单一资产(Best Stock)：上帝视角选出 3 年涨最多的那只——这是任何不预知未来的算法都追不上的作弊上界。

二、核心思想：移动平均反转#

OLMAR 的灵魂是预测下一期价格相对。它不用复杂模型，只用一条移动平均：

x̃_{t+1,i} = MA_w(p)_i / p_{t,i} = (1/w · Σ_{k=0}^{w-1} p_{t-k,i}) / p_{t,i}

直觉极简单：MA_w / p_t 就是「均线相对于当前价的位置」。

• 当前价 p_t 低于均线 → x̃ > 1 → 预测反弹 → 加仓；
• 当前价 高于均线 → x̃ < 1 → 预测回落 → 减仓。

这就是均值回复(mean reversion)在组合层面的翻译。它和动量策略正好相反——动量追涨杀跌，OLMAR 抄底止盈。

import numpy as np

WIN = 5   # 移动平均窗口

def predict(prices, t, window=WIN):
    """用 MA_w(p_t)/p_t 预测 t+1 的价格相对向量。"""
    if t < window:
        return np.ones(prices.shape[1])
    ma = prices[t - window + 1 : t + 1].mean(0)
    return ma / prices[t]

三、在线更新规则：被动-主动的闭式解#

有了预测 x̃，OLMAR 怎么把它变成新权重？它借用了在线学习里的被动-主动(Passive-Aggressive, PA) 框架：在「预测收益不低于阈值 ε」的约束下，找一个离当前权重最近的新权重。写成优化问题：

b_{t+1} = argmin_{b ∈ Δ_m}  (1/2)‖b − b_t‖²   s.t.  b · x̃ ≥ ε

「离 b_t 最近」就是被动(passive)——不轻易动仓；「满足 b·x̃ ≥ ε」就是主动(aggressive)——一旦预测足够强就调仓。它有一个漂亮的闭式解：

λ_t = max(0, (ε − b_t · x̃) / ‖x̃ − x̄·1‖²)   （x̄ 是 x̃ 的均值）
b_{t+1} = b_t + λ_t · (x̃ − x̄·1)

然后把 b_{t+1} 投影回单纯形 Δ_m(去掉负权重、重新归一)。λ_t 是自适应步长：当预测收益 b_t·x̃ 已经超过 ε 时 λ_t = 0(不动仓)；差得越远，调仓越猛。

def project_simplex(v):
    """把向量投影到单纯形 {b>=0, sum b=1}（Duchi 2008）。"""
    u = np.sort(v)[::-1]
    css = np.cumsum(u)
    rho = np.nonzero(u * np.arange(1, len(v) + 1) > (css - 1))[0][-1]
    tau = (css[rho] - 1) / (rho + 1.0)
    return np.maximum(v - tau, 0)

def olmar_step(b, x_pred, eps=10.0):
    x_bar = x_pred.mean()
    denom = float(((x_pred - x_bar) ** 2).sum())
    lam = max(0.0, (eps - float(b @ x_pred)) / denom) if denom > 1e-12 else 0.0
    return project_simplex(b + lam * (x_pred - x_bar))

ε 是反转强度阈值：越大越激进(愿意为追预测偏离当前仓位越远)，越小越保守。这是 OLMAR 唯一真正需要调的超参数(窗口 w 是第二个)。

四、回测结果：在均值回复市场里跑赢等权#

把逐日更新串起来，跑完整 3 年：

def olmar(X, prices, window=5, eps=10.0):
    T, M = X.shape
    b = np.ones(M) / M
    rets = np.zeros(T); W = np.zeros((T, M))
    for t in range(T):
        W[t] = b
        if t > 0:
            rets[t] = float(b @ X[t]) - 1.0   # 昨收后定的 b，今日实现
        x_pred = predict(prices, t, window)
        b = olmar_step(b, x_pred, eps)
    return rets, W

主要数字(canonical seed, ε=10, w=5)：

三个关键观察：

1. 总收益碾压等权：OLMAR 的 41.9% 是买入持有的 2.4 倍，接近「事后最优单资产」这个作弊上界的 74%——对一个不预知未来的在线算法，这个成绩相当可观。
2. Sharpe 却和 UCRP 打平(都是 0.50)：因为 OLMAR 的收益是靠加大波动换来的(波动 37.4% vs UCRP 22.1%)。风险调整后并没有免费的午餐。
3. 回撤更深：−42.3% vs −22.2%。图里的崩盘窗口(阴影)清楚显示 OLMAR 在系统性下跌中因为「越跌越买」而吃了更大的回撤，但也正因如此在随后的反弹里赚回更多。均值回复策略的宿命：在真反转里封神，在单边趋势里被反复打脸。

五、超参数敏感性：ε 和窗口 w#

OLMAR 的表现对两个超参数敏感。先看反转强度 ε：

• ε 太小(接近 1)：约束 b·x̃ ≥ ε 几乎总是满足，λ_t ≈ 0，OLMAR 退化成「几乎不动仓」，收益接近 UCRP；
• ε 太大(>20)：每天都拼命调仓追预测，换手爆炸、噪声主导，Sharpe 反而下滑；
• 中段(ε≈8~15) 取得收益和稳健的平衡。

再看移动平均窗口 w：

• 窗口过短(w=2~3)：均线贴着价格跑，MA/p ≈ 1，反转信号被日内噪声淹没；
• 窗口过长(w>20)：均线太钝，反转信号滞后，错过反弹拐点；
• 中等窗口(w≈5~10)通常最优。原论文默认 w=5，与我们的合成结果一致。

六、权重演化：崩盘后主动加仓被错杀资产#

OLMAR 最有辨识度的行为，是在系统性崩盘后逆势加仓。看权重演化热力图：

崩盘窗口(两条虚线之间)里，被砸得最狠的资产价格远低于均线，MA/p 飙升，OLMAR 把权重猛砸向它们。如果随后是真反弹，这份逆势加仓就是超额收益的来源；如果是趋势性崩塌(价格继续跌、均线跟着下移)，这份加仓就是灾难。这就是均值回复策略在实盘里最危险的地方——它无法区分「超跌反弹」和「基本面崩塌」。

七、鲁棒性：20 个种子#

单次结果可能侥幸。跑 20 个不同种子的合成市场确认：

• OLMAR Sharpe 均值 0.85 ± 0.54，UCRP 0.51 ± 0.03；
• OLMAR > UCRP：12/20 个种子。

两个信息量很大的细节：其一，OLMAR 的 Sharpe 标准差(±0.54)远高于 UCRP(±0.03)——它是高方差策略，赢的时候赢很多，输的时候也输得难看。其二，12/20 的胜率说明「均值回复能否跑赢等权」高度依赖市场是否真的均值回复；在 8/20 的样本里，市场的趋势性让 OLMAR 反而吃亏。这和真实世界一致：OLMAR 在震荡市封神，在单边趋势市(尤其是持续下跌)会被反复止损打脸。

八、六大真实陷阱#

1. 交易成本吞噬：这是头号坑。我们测出 OLMAR 日均换手率 104%——意味着几乎每天把组合翻个底朝天。纸面 41.9% 的收益，扣掉双边 10bps 的成本后会被腰斩。任何 OLMAR 实盘都必须把成本写进目标函数，或用 ε 和最小调仓阈值抑制换手。
2. 趋势市失效：OLMAR 假设均值回复。遇到单边趋势(尤其是持续下跌的熊市)，「越跌越买」会持续加仓下跌资产，回撤急剧放大。必须叠加趋势过滤(如价格跌破长期均线时禁止加仓)。
3. 单纯形约束丢空头：标准 OLMAR 只做多(权重非负)。它无法做空「预测下跌」的资产，等于浪费了一半反转信号。要用空头需改用允许负权重的变体(如带杠杆约束的在线镜像下降)。
4. 预测即真理的幻觉：MA/p 只是一个极粗糙的价格预测。把它当成「真实的下期收益」会系统性高估策略能力。实盘中应把 x̃ 视为信号而非预言，并叠加多种预测(OLMAR 的后继 RMR、WMAMR 就是在改进预测)。
5. 投影引入的隐性再平衡：单纯形投影会把负权重截断为 0 再归一，这本身是一次「隐性交易」。回测里若不把投影前后的权重差计入换手，会低估真实成本。
6. 窗口/ε 的过拟合：w 和 ε 很容易在历史上调到最优，样本外失效。必须用 walk-forward 或时间序列交叉验证选参，且警惕「在同一段历史上既选参又评估」的双重偷看。

九、结语#

OLMAR 的价值不在于它是「最赚钱的算法」——它显然不是，风险调整后甚至只和等权再平衡打平。它的价值在于范式：把投资组合从「批处理优化」变成「逐日在线更新」，用一条闭式规则(预测→PA 更新→单纯形投影)完成再平衡，天然适配流式数据和实盘节奏。

对量化研究者而言，OLMAR 最该记住的三件事：

• 它是纯均值回复策略，只在震荡市有效，遇到趋势市会被反复打脸——上线前务必叠加 regime 判断或趋势过滤；
• 换手率是它的阿喀琉斯之踵，104% 的日换手意味着不控成本就是给券商打工；
• 它属于 OLPS 家族的起点，后续的 RMR(用中位数替代均值抗离群)、PAMR、CWMR、OLMAR-2(多窗口)都是在「预测」和「更新」两个环节上打补丁。理解了 OLMAR 的骨架，整个在线组合选择的谱系就通了。

它和之前聊过的均值回复配对交易、风险平价再平衡是同一套思想在不同层的投影：在震荡里赚回复的钱，在趋势里认亏离场。

注：本文价格序列为带均值回复结构 + 一次系统性崩盘的自洽合成数据，用于演示 OLMAR 算法机制；真实市场的均值回复强度时变、且常被趋势和跳空打断，落地需接入真实价格、扣真实交易成本、叠加趋势过滤与 regime 判断，并做样本外与 walk-forward 验证。