序数模式熵：用涨跌排列的「形状」识别市场状态切换

上一篇文章我们讲了**排列熵（PE）**怎么用一个数区分规则正弦、混沌、纯随机。但那只是 PE 的「静态刻画」。真正在量化里值钱的是它另一半能力：把 PE 做成实时状态监测器。

结论先放这：排列熵不关心价格涨了多少，只关心局部涨跌的「形状」。当行情从「有序趋势市」滑进「无序震荡/危机市」时，局部形状会从「少数几种反复出现」变成「乱七八糟全都有」——PE 会随之从低抬到高。用滑动窗 PE + 模式转移矩阵 + 加权 PE（WPE），我们能在合成「有序-无序」交替行情上以 97.6% 正确率实时识别 regime。所有图表均由下文 Python 真实计算，非占位图。

一、PE 快速回顾：它量的是「形状」不是「幅度」#

PE（Bandt-Pompe 2002）只做一件事：看窗口内点相对大小的排列，不看绝对价格。

1. 取 m 个点的窗口，用 argsort 的秩把它映射成 0..m-1 的一个排列（比如 [3,1,2] → 秩排列 (2,0,1)）；
2. 把整条序列切成重叠窗口，数每种排列模式出现的频率；
3. 对频率算香农熵，再除以 log(m!) 归一化到 [0,1]。

import numpy as np, math

def perm_index(perm):
    """把 0..m-1 的排列映射成 Lehmer 码 0..m!-1"""
    m = len(perm); avail = list(range(m)); idx = 0
    for i, p in enumerate(perm):
        k = avail.index(p); idx = idx * (m - i) + k; avail.pop(k)
    return idx

def pattern_of(window):
    """窗口内相对大小排序 → 秩排列 (0..m-1 各一次)"""
    return tuple(np.argsort(np.argsort(window, kind="stable")))

def permutation_entropy(x, m=5, tau=1):
    """标准排列熵（归一化到 [0,1]）"""
    x = np.asarray(x, float); n = len(x); L = (m - 1) * tau
    counts = np.zeros(math.factorial(m))
    for i in range(n - L):
        w = x[i:i + L + 1:tau]
        counts[perm_index(pattern_of(w))] += 1
    p = counts[counts > 0] / counts.sum()
    H = -np.sum(p * np.log2(p))
    return float(H / math.log2(math.factorial(m)))

在三个经典序列上（各 2000 点）：

PE(正弦)     = 0.2161   ← 形状固定，少数模式反复出现 → 低熵
PE(混沌)     = 0.6787   ← 确定但不重复 → 中熵
PE(白噪声)   = 0.9947   ← 完全无序 → 近满熵
PE(随机游走) = 0.9168   ← 高波动，但增量 i.i.d. → 也近满熵

这里藏着一个最容易被误解的边界：PE(随机游走)=0.92 和 PE(白噪声)=0.99 几乎一样高——尽管随机游走的波动比白噪声大一整个量级。原因：PE 只数「涨跌形状」，随机游走的增量是独立同分布的，局部形状同样乱。所以——

PE 量的是序列的「确定性/结构」，不是「波动大小」。高波动随机游走和低波动随机游走，PE 一样高。

这条边界决定了下节怎么设计 regime 检测：要让 PE 能区分的两段，必须在结构上不同（有序 vs 无序），而不是只在波动大小上不同。

二、变成实时监测器：滑动窗 PE#

把 PE 从「整条序列算一个值」升级成「在长度为 W 的滚动窗口上算一串值」，就得到一条随时间走的 PE 曲线。关键实现：每个窗口内要含足够多的重叠模式（用 60 点窗口、m=5），否则只剩一个模式、熵恒为 0。

def sliding_pe(x, m=5, tau=1, win=60, step=1):
    """在长度 win 的局部片段上算 PE（片段内含多模式才有意义）"""
    x = np.asarray(x, float); centers, vals = [], []
    for i in range(0, len(x) - win + 1, step):
        centers.append(i + win // 2)
        vals.append(permutation_entropy(x[i:i + win], m, tau))
    return np.array(centers), np.array(vals)

构造一段「有序-无序」交替的合成行情：有序段用平滑正弦 + 极小噪声（局部形状固定 → 低 PE），无序段用纯白噪声（形状乱 → 高 PE），两段振幅相同（都是 0.02，确保只在结构上不同）。跑滑动 PE：

PE 区分 regime 正确率 = 97.6%
有序段 PE 均值 = 0.520   无序段 PE 均值 = 0.778   分类阈值 = 0.649

有序段 PE 低且稳、无序段 PE 高且抖，阈值 0.65 一刀下去判对 97.6%。PE 曲线在每次切换点都干净地翻过阈值——这正是「用涨跌形状抓状态切换」的直观证据（见首图）。

模式频率直方图把这件事说得更死：有序段只有 93/120 种模式被用到、且少数模式被反复使用（聚堆）；无序段 120/120 种全出现、铺得均匀。

三、转移矩阵：把「形状」连成马尔可夫链#

单个窗口的 PE 是「此刻有多乱」。要更进一步看「乱的结构有没有变化」，把相邻窗口的模式编号连起来，得到一个模式间的马尔可夫转移矩阵 T[a,b]=P(下一窗口模式=b | 本窗口模式=a)。

def pattern_sequence(x, m=5, tau=1):
    x = np.asarray(x, float); L = (m - 1) * tau
    return np.array([perm_index(pattern_of(x[i:i + L + 1:tau]))
                     for i in range(len(x) - L)])

def transition_matrix(seq, m=5):
    T = np.zeros((math.factorial(m),) * 2)
    for a, b in zip(seq[:-1], seq[1:]):
        T[a, b] += 1
    rs = T.sum(axis=1, keepdims=True); rs[rs == 0] = 1
    return T / rs

def mean_row_entropy(T):
    """转移矩阵平均每行香农熵(bit)，范围 [0, log2(行数)]"""
    H = -np.sum(T[T > 0] * np.log2(T[T > 0]))
    return float(H / T.shape[0])

对有序段和无序段分别建转移矩阵：

转移平均行熵  有序 = 0.397   无序 = 1.692   （无序更均匀 → 更高）
用到的模式数  有序 = 93/120  无序 = 120/120

有序段的转移矩阵「集中」——某个模式出现后，下一窗口大概率还是那几种固定模式（平均行熵 0.40）；无序段「到处跳」——每个模式之后都可能接任意模式（平均行熵 1.69，接近满熵）。这给你一个第二维度的 regime 信号：不只是「现在多乱」（PE），还有「乱得有没有记忆结构」（转移熵）。两者可以组合成更稳的状态识别器。

四、加权 PE（WPE）：对振幅敏感的那一版#

标准 PE 只看秩（ordinal），对振幅完全免疫——这通常是优点（抗量纲），但有时是缺点。比如一段低振幅信号里突然插了一段大振幅尖峰，标准 PE 因为只看形状，几乎纹丝不动；而 加权排列熵 WPE（Fadlallah 2013） 用窗口振幅方差给每个模式加权，尖峰窗口权重骤增，曲线会明显抬起。

def weighted_pe(x, m=5, tau=1):
    """加权排列熵 WPE：用窗口振幅方差给模式加权，抑制小幅噪声伪迹"""
    x = np.asarray(x, float); n = len(x); L = (m - 1) * tau
    weights = np.zeros(math.factorial(m))
    for i in range(n - L):
        w = x[i:i + L + 1:tau]
        weights[perm_index(pattern_of(w))] += np.sum((w - w.mean()) ** 2)
    W = weights.sum()
    if W <= 0:
        return 0.0
    p = weights[weights > 0] / W
    return float(-np.sum(p * np.log2(p)) / math.log2(math.factorial(m)))

基准是平滑低振幅信号，中间插入一段大振幅尖峰。两种熵对比：

尖峰处 PE 与 WPE 最大差 = 0.266   （WPE 被尖峰窗口权重抬起，PE 纹丝不动）

怎么选：做纯粹的状态/结构识别（趋势市 vs 震荡市）用标准 PE——它只抓形状，干净；做异常检测、想让「振幅突变」也报警时用 WPE——它同时编码形状和振幅。别混用：把 WPE 当结构指标会把「单纯放量」误读成「状态切换」。

五、在量化里它能干什么（以及诚实边界）#

能干的：

1. 趋势/震荡状态识别：滑动 PE 低 = 有序（趋势市，可考虑趋势跟随），高 = 无序（震荡/危机，可切震荡策略或降仓）。
2. 危机预警：危机市局部形状无序化，PE 抬升往往领先于波动率本身的跳变——可作为波动率的「结构先行指标」。
3. regime 组合信号：PE（当前有多乱）+ 转移熵（乱得有没有结构）双维度，比单用 PE 更抗单一窗口噪声。
4. 异常/跳空检测：WPE 对振幅突变敏感，适合做「形状没变但量能突变」的告警。

诚实边界（最重要的一条）：

1. PE 量结构不量波动：高波动随机游走 PE 也满（≈0.92）。想用 PE 区分的 regime，必须在结构上不同，光波动大小不同分不出来（本文 demo 两段振幅刻意相同）。
2. m 太小假饱和：m=2/3 时模式太少，正弦都可能显示高熵，失去区分力；常用 m=5~7。
3. m 太大稀疏：m=7 就有 5040 种模式，短窗口数不全，熵被低估。
4. 平局处理：价格有相等值时 argsort 的秩不唯一，需在实现里约定稳定排序（本文用 kind="stable"）。
5. 非因果：滑动 PE 在窗口中心取值，用到未来信息；实盘要把窗口右对齐到「当前」，或用 step 保证只用已发生数据。

六、五类真实陷阱（必看）#

1. 波动误读陷阱：以为「PE 高 = 波动大」。错。PE 高 = 结构无序，高波动随机游走和低波动白噪声 PE 一样高。
2. 窗口长度陷阱：滑动窗太短（只有 m 个点）熵恒为 0；太长则 regime 切换被平滑掉。本文用 60 点窗口配 m=5 是平衡点。
3. m 选择陷阱：m 太小假饱和、m 太大稀疏，两者都让 PE 失真；先在小样本上扫 m 看 PE 对已知结构是否敏感。
4. 超前泄漏陷阱：滑动 PE 用了窗口中心作为取值点，含未来数据。实盘必须右对齐到当前时刻，或只用历史窗口。
5. WPE/PE 混用陷阱：把 WPE（对振幅敏感）当纯结构指标，会把「单纯放量」误判为「状态切换」，在放量不换趋势时疯狂误报。

结语#

序数模式熵的真正价值不在「把正弦/混沌/噪声分成三档」，而在把它做成一台实时状态监测器：滑动窗 PE 告诉你「此刻行情有多无序」，转移矩阵的转移熵告诉你「乱得有没有结构记忆」，WPE 在你要抓振幅突变时补上权重。三者组合，就能在有序趋势市与无序震荡/危机市之间画出清晰的实时边界——本文合成行情上正确率 97.6%。但它也不是银弹，最大的诚实边界是：PE 量的是结构不是波动，高波动随机游走的 PE 同样满值。把它和上一篇的 DCov/能量距离放一起看，你会得到一套层次分明的工具：DCov 管「变量间有没有非线性关系」、能量距离管「两段行情是不是同一种分布」、序数模式熵管「行情现在处在哪种结构状态」。

完整可复跑代码与全部图表脚本已随本文生成（gen_ope.py），三档经典序列 PE、滑动 PE 状态识别、模式转移矩阵、WPE vs PE 振幅敏感性均由该脚本真实计算。