传播子模型 Propagator：把每笔成交的冲击衰减写成核函数#

关于市场冲击，前面几篇文章已经给出两个看似矛盾的答案。Kyle (1985) 说：冲击是线性且永久的，λ 是信息的价格，切碎订单也不会消失。平方根冲击定律说：母单冲击是凹的，I≈Y·σ·√(Q/V)，而且完成后价格会回落 1/3 到 1/2。

一个说永久，一个说回落。谁对？

Bouchaud、Gefen、Potters、Wyart 在 2004 年给出的传播子模型（propagator model）说：都对，但你们都少了一个维度——时间。每笔成交的冲击不是一个数字，而是一条随时间衰减的曲线。价格在任意时刻的位置，是所有历史成交留下的冲击残留的叠加。

这个视角一旦建立，“永久 vs 暂时”的争论就变成了一个可测量的参数：衰减指数 β。本文用模拟把这个模型的机制、预言和估计方法完整跑一遍。

一、模型：价格是历史冲击的卷积#

传播子模型把价格写成：

$p_t = \sum_{s < t} G(t-s) \cdot \epsilon_s \cdot v_s^{\gamma} + \text{noise}$

其中 $\epsilon_s = \pm 1$ 是第 $s$ 笔成交的方向（买 +1，卖 -1）， $v_s$ 是成交量（ $\gamma \approx 0.5$ ，单笔冲击也是凹的），而 $G(\ell)$ 就是传播子核——一笔成交发生 $\ell$ 步之后，它对价格的残留影响。

实证研究发现 $G(\ell)$ 是幂律衰减：

$G(\ell) = \frac{G_0}{(\ell_0 + \ell)^{\beta}}$

传播子核函数形状

左图是线性坐标下三条不同 β 的核；右图换到对数坐标，幂律衰减变成直线。三条曲线代表三种市场性格：

β=0.2（慢衰减）：一笔成交的影响 200 步后还剩 35%，冲击近似永久，接近 Kyle 的世界
β=0.5：中间地带，实证测得的股票市场大多在 β≈0.4-0.6
β=0.9（快衰减）：影响迅速消散，冲击几乎全是暂时的流动性效应

注意这个模型和 Kyle 的根本区别：Kyle 里冲击是一次性台阶（阶跃函数，永不回落），相当于 β=0 的特例。传播子模型允许台阶慢慢塌陷。

def power_kernel(lags, G0=1.0, beta=0.5, l0=1.0):
    """传播子核 G(l) = G0 / (l0 + l)^beta"""
    return G0 / (l0 + np.asarray(lags, dtype=float)) ** beta

def simulate_price(signs, vols, G0, beta, sigma_noise=0.02):
    """价格 = 所有历史成交冲击残留的叠加 + 噪声"""
    T = len(signs)
    kern = power_kernel(np.arange(1, T + 1), G0, beta)
    impact = signs * np.sqrt(vols)          # 单笔冲击 ~ eps * v^0.5
    p = np.zeros(T)
    for t in range(1, T):
        p[t] = np.sum(kern[t - 1 - np.arange(t)] * impact[:t])
    return p + np.cumsum(rng.normal(0, sigma_noise, T))

python

二、扩散性悖论：这个模型为什么必须存在#

传播子模型不是为了调和 Kyle 和平方根定律而拍脑袋发明的。它解决的是微观结构里一个更根本的悖论。

实证事实一：订单流符号有超长记忆。买单后面更可能跟买单，这个自相关是幂律衰减的， $C(\ell) \sim \ell^{-\gamma}$ ，γ≈0.5-0.7，能延续几千笔成交。原因很朴素：大机构拆单，一张母单切成几百片子单，方向全部相同。

实证事实二：价格近似随机游走。收益率自相关在几笔成交之后就归零，否则就存在裸的统计套利。

这两件事放在一起是矛盾的：如果每笔成交都推动价格（方向持续为正），而成交方向又高度可预测，那价格应该是超扩散的（趋势性强到离谱）。但它不是。

传播子模型给出的答案：核的衰减恰好抵消了订单流的记忆。新来的同向成交不断把价格往上推，但旧成交的冲击同时在塌陷，两股力量在幂律指数上精确对消：

$\beta \approx \frac{1 - \gamma}{2}$

γ≈0.5 的订单流记忆对应 β≈0.25-0.5 的核衰减。这不是巧合，而是市场自组织到临界状态的结果——做市商的报价策略恰好把可预测的订单流”定价掉”了。

我用多尺度马尔可夫链叠加生成了带幂律记忆的订单流符号（40000 笔，滞后 1/10/100 的自相关分别为 0.365/0.104/0.018，近似 $\ell^{-0.6}$ 衰减），然后在三种 β 下模拟价格：

订单流长记忆与响应函数

右图的响应函数 $R(\ell) = E[(p_{t+\ell} - p_t)\cdot\epsilon_t]$ 是这场对抗的记分牌——它测量”一笔买单之后 ℓ 步，价格平均高了多少”：

β=0.2（衰减太慢）：R(ℓ) 单调上涨不回头。旧冲击不塌陷，新同向单继续推，价格超扩散——这样的市场里跟单策略稳赚，不可持续
β=0.6（近临界）：R(ℓ) 先升后趋平。两股力量接近平衡，价格近似扩散——这是真实市场的形态
β=0.9（衰减太快）：R(ℓ) 冲高后回落。冲击塌陷快过新单补充，价格均值回归——这样的市场里反着做稳赚

真实市场只能活在中间那条线上。**β 不是自由参数，它被无套利条件钉死在临界值附近。**这是传播子模型最深刻的洞察。

三、执行实验：切碎的订单到底省不省钱#

把模型对准最实际的问题：一张母单切成 50 笔子单连续打出去，价格路径长什么样？

50笔子单执行路径

三条曲线的形状差异就是”永久 vs 暂时”之争的定量答案：

β	执行结束时峰值冲击	400 步后残留	残留/峰值
0.2（慢衰减）	0.551	0.306	55.5%
0.5	0.238	0.052	21.7%
0.9（快衰减）	0.088	0.005	5.5%

三个直接推论：

第一，执行成本要拆成两笔账。 你在执行期间支付的是沿途价格（被自己前面的子单推高），这部分由峰值段决定；执行完成后组合的持仓成本则锚定残留段。β=0.5 时残留只有峰值的 22%——你付出的冲击成本里近八成会”还给你”（浮亏收窄），但前提是你是长期持有者。高换手策略等不到冲击塌陷就要反向平仓，等于峰值买入、峰值卖出，两头挨打。

第二，拆单省钱的机制现在有了精确刻画。 平方根定律那篇文章里的传播子拆单实验（β=0.9 拆 64 片省一半、β=0.2 切碎不消失）就是这张图的直接推论：拆单省的钱全部来自衰减段——前面子单的冲击在你打后面子单时已经塌陷了一部分。β 越大塌陷越快，拆单越划算；β→0 退化回 Kyle，切碎无用。

第三，冲击套利的利润也写在这条曲线里。 如果你能识别别人的母单正在执行（订单流长记忆使这成为可能），跟着买、在峰值附近卖，赚的正是”峰值 − 残留”这段塌陷。这也是为什么实盘算法要做子单随机化——你的执行痕迹就是别人的信号。

四、从数据反解核函数：一个可复现的估计流程#

模型好看，但 G(ℓ) 能从数据里估出来吗？这里有个新手必踩的坑：不能直接用响应函数 R(ℓ) 当核。因为订单流有自相关，R(ℓ) 混合了”这笔单自己的冲击”和”它的同伙们的冲击”，直接读数会高估核的持久性。

正确做法是把价格增量对滞后冲击做多元回归。模型的差分形式是：

$\Delta p_t = \sum_{k \geq 0} [G(k+1) - G(k)] \cdot \epsilon_{t-k} v_{t-k}^{1/2} + \text{noise}$

对 80 阶滞后做 OLS，系数的累积和就是核本身。多元回归自动处理了回归元之间的自相关——这正是它比”直接读响应函数”高明的地方：

# 80 阶滞后 OLS：Delta_p 对历史冲击回归，系数累加还原 G
imp = signs * np.sqrt(vols)
dp = np.diff(prices)
X = np.column_stack([imp[Lmax-k : Lmax-k+rows] for k in range(Lmax+1)])
coef, *_ = np.linalg.lstsq(X, dp[Lmax:], rcond=None)
G_est = np.cumsum(coef)   # G(1), G(2), ..., G(Lmax+1)

python

60000 笔模拟成交（真实 β=0.5，带长记忆订单流 + 噪声）的估计结果：

核函数反解结果

估计质量：对数斜率 -0.483 vs 真实 -0.5；逐点看 G(1)=0.708 vs 0.707、G(10)=0.301 vs 0.302、G(50)=0.131 vs 0.140。前 30 步几乎完美，尾部因样本中长滞后信噪比下降而略有低估——这也是实证文献里核尾部估计普遍最吵的原因。

实操中你需要的数据是逐笔成交的方向标记（Lee-Ready 算法从报价推断，或直接用交易所的主动买卖标识）加成交量。对 A 股，Level-2 逐笔成交自带买卖方向，是做这类估计的合格原料。

五、放进工具箱：它和邻居们的关系#

至此微观结构系列的冲击模型可以画一张完整地图：

模型	冲击形状	时间维度	适用场景
Kyle λ	线性、永久	无（单期）	信息不对称定价、日频 Amihud 代理
平方根定律	凹（√Q）、部分回落	母单级粗粒度	成本预估、容量计算
传播子	单笔凹 + 幂律衰减核	逐笔完整刻画	执行调度、冲击归因、拆单优化

三者不是竞争关系而是分辨率关系：传播子是显微镜，平方根是肉眼，Kyle 是漫画。日常成本预估用平方根足够；但要回答”这 50 笔子单应该打多快、间隔多久”，只有传播子模型给得出答案——最优间隔取决于前一笔冲击塌陷的速度，也就是 β。

Almgren-Chriss 框架里那个”暂时冲击 + 永久冲击”的二分法，在传播子视角下是把幂律核粗暴近似成”一个 δ 函数 + 一个常数”。对衰减快的市场这个近似还行，对 β 小的市场会系统性低估拆单的残留成本。

六、诚实边界#

核不平稳。 G₀ 和 β 都随市场状态漂移：危机中流动性撤退，G₀ 放大、β 变小（冲击更持久）。用平静期估的核去调度危机中的执行，会严重低估成本。滚动重估是必须的。

线性叠加是近似。 模型假设各笔冲击独立叠加，但真实市场有流动性反馈：连续大买单会吓跑做市商，后续冲击边际放大。高参与率（>20% ADV）下线性叠加失效，这也是平方根定律那篇说 >50% ADV 外推无效的微观原因。

日内核与日间核不是一条曲线。 本文模拟的是逐笔尺度；跨日之后隔夜信息重置了一部分冲击记忆，日间衰减不能简单外推日内的 β。实证上隔夜段有独立的跳变结构。

方向标记有噪声。 Lee-Ready 推断的买卖方向错误率约 10-15%，方向噪声会让估出的核整体偏低（衰减显得更快）。有交易所原生标识时永远优先用原生标识。

模型的定位一句话：传播子模型是执行研究的显微镜——它不告诉你买什么，但精确告诉你买入这个动作本身如何在时间轴上花钱、以及花掉的钱有多少会流回来。

参考文献#

Bouchaud, J.-P., Gefen, Y., Potters, M., & Wyart, M. (2004). Fluctuations and response in financial markets: the subtle nature of ‘random’ price changes. Quantitative Finance, 4(2), 176-190.
Bouchaud, J.-P., Farmer, J. D., & Lillo, F. (2009). How markets slowly digest changes in supply and demand. Handbook of Financial Markets: Dynamics and Evolution.
Lillo, F., & Farmer, J. D. (2004). The long memory of the efficient market. Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, 8(3).