状态条件 Kelly：把 regime 概率写进最优杠杆

Kelly 公式大概是仓位管理里被引用最多、也被误用最多的一个式子。连续时间近似下它非常紧凑：最优杠杆 $f^* = \mu / \sigma^2$（无风险利率设 0），投入这个比例，长期对数增长率最大。问题出在那两个希腊字母上——μ 和 σ 是谁的 μ 和 σ？ 教科书默认是「市场的」，一个数。但市场不是一个分布：牛市和熊市的均值符号相反、波动差近三倍，用全样本平均出来的 μ/σ² 算杠杆，等于给两个完全不同的赌局下同一个注。

结论先放这：把 regime 概率写进 Kelly，增长率和稳健性同时改善，且改善幅度大到不像是免费的。两状态马尔可夫市场（牛：年化 +12%/12%，熊：-18%/32%，牛市平均持续一年、熊市四个月）模拟 60 年实测：无条件 Kelly 年化对数增长只有 2.7%、最大回撤 78%；用 Hamilton 滤波实时推断状态概率、按条件矩重算杠杆的状态条件 Kelly 做到 10.2%、回撤 57%——距离「每天都知道真实状态」的作弊上限（11.3%）只差一个百分点。更反直觉的发现在参数误差实验里：熊市均值估错 ±15 个年化百分点，状态条件 Kelly 的增长率几乎纹丝不动，无条件 Kelly 却从 2.7% 跌到 0.8%。

为什么无条件 Kelly 两头不讨好#

先把三个杠杆数摆出来。牛市参数下 $f^*_{bull} = \mu_b/\sigma_b^2 = 8.33$（理论值，实操会截断）；熊市 $f^*_{bear} = -1.76$（该做空或至少清仓）；用平稳分布（75% 牛 / 25% 熊）加权出的无条件矩算出 $f^*_{uncond} = 1.23$。

1.23 这个数对牛市严重保守（放弃了大部分增长），对熊市严重激进（在年化 -18%、波动 32% 的环境里还满仓带杠杆）。它不是两个最优解的折中，而是两个错误的平均。 Kelly 的对数效用对「在坏状态里加杠杆」的惩罚是超线性的——熊市里 1.23 倍杠杆吃一次 -6% 的日损失，净值直接 -7.4%，这类日子的复利损耗就是 78% 最大回撤的来源。

条件化的数学形式很直接。设 $p_t = P(\text{牛市} \mid \mathcal{F}_{t-1})$ 是基于昨天为止信息的状态概率，则今天收益的条件矩是混合矩：

$\mu_t = p_t\,\mu_b + (1-p_t)\,\mu_c, \qquad \sigma_t^2 = p_t(\sigma_b^2+\mu_b^2) + (1-p_t)(\sigma_c^2+\mu_c^2) - \mu_t^2$

状态条件 Kelly 就是 $f_t = \mu_t / \sigma_t^2$。注意方差公式里的第三项：混合分布的方差不只是方差的加权平均，还要加上「均值不确定」贡献的那一块——p 在 0.5 附近时你不知道自己在哪个状态，这份无知本身就是风险，公式会自动把杠杆压下来。这是条件化框架送的第一份礼物：模糊时刻自动去杠杆，不需要额外的风控规则。

观察者不知道状态：Hamilton 滤波#

真实世界没人给你发牛熊标签，状态必须从收益率里实时推断。两状态高斯混合下这是标准的 Hamilton 滤波（1989），每天两步：

import numpy as np
from scipy import stats

# 已知参数：mu_b, sig_b（牛）, mu_c, sig_c（熊）, 转移概率 p_bb, p_cc
lik_b = stats.norm.pdf(r, mu_b, sig_b)   # 每天收益在两个状态下的似然
lik_c = stats.norm.pdf(r, mu_c, sig_c)

p_bull = np.empty(n)
prior = pi_stationary                     # 初始用平稳分布
for t in range(n):
    if t > 0:                             # 预测步：昨天的后验推今天的先验
        prior = p_bull[t-1] * p_bb + (1 - p_bull[t-1]) * (1 - p_cc)
    num = prior * lik_b[t]                # 更新步：贝叶斯
    p_bull[t] = num / (num + (1 - prior) * lik_c[t])

# 杠杆用滞后一天的概率算（信号在 t-1 收盘确认，t 日执行）
p_lag = np.concatenate([[pi_stationary], p_bull[:-1]])
mu_mix  = p_lag * mu_b + (1 - p_lag) * mu_c
var_mix = p_lag * (sig_b**2 + mu_b**2) + (1 - p_lag) * (sig_c**2 + mu_c**2) - mu_mix**2
leverage = np.clip(mu_mix / var_mix, 0.0, 2.0)   # 截断：禁止做空、上限 2 倍

两个实现细节。第一，杠杆必须用滞后概率：$p_t$ 依赖 t 日收益，用它决定 t 日仓位是 look-ahead，回测直接作废。第二，截断不是可选项：纯牛市概率下公式给 8.3 倍杠杆，那是「参数完全正确 + 连续调仓 + 无跳空」的理论产物，任何一条不成立都足以爆仓；本实验统一截断到 [0, 2]。

滤波效果：60 年里 90 次状态切换，逐日判断准确率 97.1%。但准确率是个宽容的指标，真正的成本在切换识别延迟——切换发生后滤波概率越过 0.5 需要中位数 3 天、均值 3.4 天、90 分位 6 天。也就是说每次入熊，你平均要用牛市杠杆硬扛 3 天熊市收益。这份延迟成本已经如实计入下面所有回测数字。

60 年对决#

五个策略同一份数据，全部杠杆截断 [0, 2]，滞后一天执行：

四个读法。第一，无条件 Kelly 和买入持有几乎打平（2.7% vs 2.6%），回撤反而更深——「最优」杠杆没带来任何增长优势，因为它的最优性建立在「收益 iid 同分布」这个被 regime 结构公然违反的前提上。第二，条件化的增长差距是 7.5 个百分点年化，60 年复利下来是净值差两个数量级；来源不神秘：熊市平均把杠杆压到 0 附近（滤波概率图下半部分清晰可见），躲过了复利最怕的深坑。第三，滤波版距全知版只差 1.1 个百分点——97% 的准确率加 3 天延迟，只吃掉了条件化红利的一小部分；信息论上讲，regime 信号的价值大头在「大方向对」，不在「零延迟」。第四，半 Kelly 几乎不亏增长（10.1% vs 10.2%）——对数增长在最优杠杆附近是平顶抛物线，砍一半杠杆只损失顶点附近的一点点曲率，却把所有参数误差的安全边际翻倍。实务上无条件推荐半状态 Kelly。

真正被低估的红利：参数误差保险#

Kelly 最著名的软肋是对 μ 的估计误差极度敏感——μ 通常要几十年数据才能估准，而 $f^*$ 对 μ 是线性放大。把熊市年化均值故意估错 ±15 个百分点（真值 -18%，扫描 -33% 到 -3%）：

状态条件 Kelly 的增长率在整个误差区间里几乎是一条水平线，无条件 Kelly 却对同一个误差敏感得多。原因值得想清楚：熊市里条件 Kelly 给出的原始杠杆本来就是负的，被 [0, 2] 截断压在 0 上——熊市均值再怎么估错，杠杆反正是 0，错误进不了组合；而无条件 Kelly 把熊市均值揉进全局平均，误差直接污染那个全天候使用的常数杠杆。条件化 + 截断的组合等于给参数误差上了一道结构性绝缘。这比「多赚 7 个点」更重要：增长率是模拟里的承诺，稳健性才是实盘里的现金。

诚实的边界#

本实验的参数是上帝视角。 滤波时用了真实的 μ、σ、转移概率——真实世界里这些全要从数据估计（EM 算法或贝叶斯 MCMC），而 regime 参数的估计误差比 iid 参数更凶：熊市样本天然稀少（本设定下只占 25%），熊市均值的标准误大得惊人。参数估计误差会把「距作弊上限 1.1 pp」的差距进一步拉开，但参数误差实验表明条件化框架对此有相当的容忍度。

两状态高斯是玩具。 真实市场的 regime 更像连续谱而非二值开关，状态数选择本身就是模型风险（三状态？波动 regime 和均值 regime 分开？）。好消息是框架是通用的：滤波概率换成任何状态推断器（HMM、变点检测、甚至宏观指标打分），混合矩公式照用。

切换瞬间依然裸奔。 3 天的中位识别延迟意味着每次入熊要硬吃几天熊市收益，且这几天恰恰是波动最大的日子。跳跃式崩盘（一天 -10%）里滤波再快也来不及——这是所有基于日频推断的仓位系统的共同宿命，解法在框架外：尾部对冲或恒定的深尾资本预留。

交易成本未建模。 状态条件杠杆在概率模糊期会频繁小幅调仓，本实验零成本假设下这是免费的，实盘要加调仓带宽（比如杠杆变动小于 0.2 不动手），会轻微侵蚀增长差距但不改变结论量级。

Kelly 公式本身没有错，错的是喂给它的分布。把「市场是一个分布」升级成「市场是几个分布的马尔可夫混合」，同一个公式的输出质量完全不同——仓位管理的进步往往不在公式，在条件信息集。