回撤的序列依赖：自相关如何放大最大回撤

先说结论：同样的均值、同样的日波动率，只把日收益的一阶自相关从 0 调到 +0.3，五年路径的中位最大回撤就从 32.9% 涨到 40.8%，p95 从 54.0% 涨到 64.9%——一个夏普比率完全看不见的参数，把回撤放大了四分之一。机制不神秘：正自相关让亏损扎堆，回撤是亏损的”连击计数器”，对扎堆天然敏感。理论上这就是长期波动率乘数 $\sqrt{(1+\phi)/(1-\phi)}$ 在起作用（$\phi=0.3$ 时乘数 1.36）。这件事有两个直接的工程推论：第一，iid 自助法评估回撤分布会系统性偏乐观——实测 $\phi=0.3$ 的序列，iid 重抽样把中位 MaxDD 从 40.8% 压到 30.4%，因为打乱顺序恰好销毁了自相关；块自助（b=50）能收回大部分（32.8%）但仍不完整。第二，反向操作同样成立：估值平滑制造正自相关的同时压低报告波动率，但压不掉 MaxDD——报告序列的 MaxDD/波动率比值升高，是私募基金平滑收益的统计指纹。

这篇接在条件回撤优化之后，回答一个更基础的问题：MaxDD 到底由收益分布的哪些性质决定？答案是：不只由边缘分布决定——顺序本身携带信息，而大多数风险指标对顺序视而不见。

波动率看不见顺序，回撤看得见#

夏普比率、VaR、CVaR、波动率——这些指标全部只依赖日收益的边缘分布。把一条收益序列随机打乱，它们一个数都不变。MaxDD 不同：它是路径泛函，谁在谁前面发生，直接改变谷底有多深。

用 AR(1) 做最干净的对照实验。日收益 $r_t = \phi r_{t-1} + \varepsilon_t$，调整 $\varepsilon$ 的方差使无条件日波动率恒定（年化 15%，均值 0）。三个 $\phi$ 各模拟 4000 条五年路径：

import numpy as np

def ar1_paths(phi, T, n, sigma_ann=0.15, seed=0):
    """无条件波动率恒定的 AR(1) 日收益"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    s_d = sigma_ann / np.sqrt(252)
    eps = rng.standard_normal((n, T)) * s_d * np.sqrt(1 - phi**2)
    r = np.zeros((n, T))
    r[:, 0] = eps[:, 0] / np.sqrt(1 - phi**2)
    for t in range(1, T):
        r[:, t] = phi * r[:, t-1] + eps[:, t]
    return r

def mdd_batch(r):
    wealth = np.cumprod(1 + r, axis=1)
    peak = np.maximum.accumulate(wealth, axis=1)
    return np.max(1 - wealth / peak, axis=1)

三组序列的日波动率、夏普、VaR 完全相同，任何”打乱顺序不变”的风险报表都会说它们一样危险。但 $\phi=+0.3$ 的中位 MaxDD 比 $\phi=-0.3$ 高了 15 个百分点——均值回复（负自相关）是天然的回撤保险，动量式的正自相关是回撤放大器。

放大倍数有解析近似#

直觉可以定量化。$T$ 日累计收益的方差不是 $T\sigma^2$，而是

$\mathrm{Var}\Big(\sum_{t=1}^{T} r_t\Big) \approx T\sigma^2 \cdot \frac{1+\phi}{1-\phi}$

回撤发生在”周-月”的时间尺度上，感受到的是这个长期波动率，不是日波动率。所以一个自然的猜想：MaxDD 的放大倍数 ≈ 长期波动率乘数 $\sqrt{(1+\phi)/(1-\phi)}$。

扫 $\phi \in [-0.4, 0.4]$，模拟中位 MaxDD 相对 $\phi=0$ 的倍数与理论乘数对比：

方向和量级完全一致，但模拟值系统性地比理论乘数温和（$\phi=0.4$：模拟 1.32 vs 理论 1.53）。原因是 AR(1) 的自相关在日以上尺度按 $\phi^k$ 几何衰减，五年窗口里的 MaxDD 谷底通常持续数周到数月，这个尺度上有效的”累计自相关”还没到无穷期极限。实务口径：把 $\sqrt{(1+\phi)/(1-\phi)}$ 当上界，真实放大在它的七到九成。

推论一：iid 自助会骗你#

评估策略的回撤分布，最常见的做法是把历史日收益重抽样拼成新路径。问题来了：iid 重抽样打乱了顺序，正自相关被当场销毁。

拿一条 $\phi=+0.3$ 的观测序列（5 年），分别做 2000 次 iid 自助和块自助（块长 50），与”重新模拟同 DGP”的真实分布对比：

iid 自助把中位 MaxDD 低估了 10 个百分点，p95 低估 15 个百分点——这不是小误差，这是把”很危险”评估成”还行”的级别。块自助保留了块内的自相关结构，收回大部分低估，但块与块的拼接点仍然打断依赖，且这条特定观测路径本身的运气也进入了估计。对趋势类、危机 alpha 类收益带正自相关的策略，用 iid 自助报告回撤分布是系统性的自我麻痹；反过来，对均值回复型策略（负自相关），iid 自助反而会把回撤报得过于悲观。

推论二：平滑的指纹#

正自相关不只来自市场，还来自报价方式。私募股权、房地产、部分对冲基金的报告收益带强正自相关——不是因为资产真的动量强，而是估值平滑：报告收益 $\tilde r_t = (1-\lambda) r_t + \lambda \tilde r_{t-1}$。

平滑对不同风险指标的压缩率完全不同。扫 $\lambda \in [0, 0.7]$：

$\lambda=0.5$ 时：报告波动率只剩真实的 57.8%，但报告 MaxDD 还有真实的 93.5%。波动率是逐日量，平滑直接砍它；MaxDD 累计的是整段下跌的总深度，平滑只是把同一段亏损摊到更多天上，总深度几乎不变，只是谷底来得更迟。

这给了一个实用的尽调指标：MaxDD 与波动率的比值。iid 正态世界里五年路径的 MaxDD/年化波动率有稳定的分布范围；如果一只基金报告的波动率低得漂亮、回撤却”意外地深”（比值显著偏高），加上报告收益一阶自相关为正——三个证据合在一起，就是平滑的指纹。Getmansky-Lo-Makarov（2004）用同样的逻辑从对冲基金收益的 MA 结构反推平滑程度，这里的模拟只是把它的回撤侧后果画了出来。

A. 实现细节#

• AR(1) 生成时校准 $\varepsilon$ 方差为 $\sigma^2(1-\phi^2)$，保证不同 $\phi$ 的无条件日波动率严格相同——这是全部对比的前提，漏掉这步就是在比较不同波动率
• MaxDD 用复利财富路径（cumprod）+ running peak 计算，全程向量化
• 自助实验的”真实分布”用同 DGP 独立重模拟 4000 条，不是观测路径自身的函数；iid/块自助各 2000 次，块自助允许块重叠
• 平滑实验的 $\tilde r$ 递推逐日执行，一阶自相关实测值与 $\lambda$ 几乎相等（0.1→0.099，0.5→0.499），确认了平滑与自相关的等价性

B. 已知偏差#

• AR(1) 是最简依赖结构：真实市场的序列依赖藏在波动率聚集（GARCH）、regime 切换、跳跃里，日收益本身的线性自相关通常远小于 0.3——本文的 $\phi$ 应读作”策略收益”而非”资产收益”的自相关（趋势策略、流动性提供策略的月度自相关可以到 0.2-0.4）
• 长期波动率乘数是无限期极限，有限窗口下高估放大倍数（模拟只到理论的七到九成）
• 平滑实验假设真实收益 iid，真实资产本身若已带自相关，两种效应叠加，指纹判读需先剥离市场成分

C. 结果解读#

• 顺序是被主流风险指标丢弃的信息：$\phi$ 从 −0.3 到 +0.3，夏普不变、VaR 不变、MaxDD 中位数 +15pp——任何以回撤为约束的资金配置（分数 Kelly、CDaR 优化）都必须显式建模序列依赖，否则约束是假的
• iid 自助的低估量级足以改变决策：中位低估 10pp、p95 低估 15pp，对正自相关策略至少要用块自助且块长要盖住依赖尺度（本例日自相关 0.3、块长 50 天才勉强够）
• 均值回复策略的回撤红利被系统性低估：负自相关把中位 MaxDD 从 32.9% 压到 25.6%，这是均值回复策略夏普之外的隐藏价值——同样的夏普，它的回撤路径更浅
• MaxDD/波动率比值是平滑侦测器：波动率被砍到 58% 而 MaxDD 保留 94%，两者的解耦程度直接刻画平滑强度，尽调时比单看夏普有信息量得多