滚动窗口协整：用 DCC 抓住会『断』的长期关系 • halo 的技术博客

教科书里的协整很美：两只价格一价之差是平稳的，于是「价差一偏离均值就做反向、赚均值回复的钱」。但落地最常被打脸的一句话是——协整会断。今天还平稳的价差，可能因为一只标的换了主营业务、行业政策转向、或者流动性结构变化，对冲比悄悄漂移，价差里混入随机游走项，从此不再均值回复。本篇要解决的，就是怎么在关系断掉的当天就发现它，并且把组合从「用错的旧对冲比」切换到「自适应新对冲比」。

结论先放这：用固定对冲比 β=1.0 的静态协整，在断裂后价差标准差被放大 6.8 倍、半衰期从 1.5 个交易日直接退化到非平稳（∞）；而用长度 120 的滚动窗口重估对冲比 β̂(t)，能把断裂时的跳变（β 从 1.0 跳到 1.5）抓出来（估计均值 1.00→1.33），再叠加 DCC-GARCH 动态条件相关（ρ 从 0.82 阶跃降到 0.62，降幅 24.6%）作为二阶协同信号，自适应价差在断裂后标准差仍只有 0.024、半衰期 1.63 个交易日，继续均值回复。抓住会断的关系，靠的不是「相信协整」，而是「持续重新检验协整」。

价格与静态价差：协整关系在 t=550 断裂，β 跳变后静态价差持续漂移

一、协整为什么会断：从生成过程说起#

为了干净地演示「断」，我们构造一对价格：x 是随机游走 I(1)，y = βₜ·x + ε，其中 ε 是平稳的 AR(1) 价差项。关键设定是 βₜ 在 t=550 处从 1.0 结构性跳到 1.5，且突变后特质波动放大（σ_ε 从 0.005 升到 0.018）：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(20260715)
T, break_t = 1000, 550
x = np.cumsum(rng.normal(0.0, 0.010, T))            # x: 随机游走 I(1)
beta_true = np.where(np.arange(T) < break_t, 1.0, 1.5)   # βₜ 在断裂点跳变
sig_e = np.where(np.arange(T) < break_t, 0.005, 0.018)   # 突变后特质波动放大
e = rng.normal(0.0, sig_e)
eps = np.zeros(T)
for t in range(1, T):                                # 平稳 AR(1) 价差项
    eps[t] = 0.6 * eps[t - 1] + e[t]
y = beta_true * x + eps

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注意断裂后的真实价差应该是 y − 1.5·x = ε（平稳）。但如果你不知道 β 变了，仍用旧的 β=1.0，写出来的价差是：

$s_t = y_t - 1.0\cdot x_t = (1.5-1.0)\cdot x_t + \varepsilon_t = 0.5\cdot x_t + \varepsilon_t$

多出来的 0.5·xₜ 就是随机游走项——它让 sₜ 不再平稳。这才是「协整断了」的本质：不是价差波动变大，而是价差里混进了一个非平稳成分。

二、检测手段一：滚动窗口 Engle-Granger 重估对冲比#

标准 EG 检验是「全样本 OLS 估 β」。但全样本会把断裂前后的 β 混在一起，得到一个 1.25 的折中值，两边都不准。正确做法是在长度 L=120 的滚动窗口上重估 β̂(t)，让估计随时间滑动：

L = 120
beta_hat = np.full(T, np.nan)
for t in range(L, T):
    sl = slice(t - L, t)
    Xw = np.vstack([np.ones(L), x[sl]]).T
    co = np.linalg.lstsq(Xw, y[sl], rcond=None)[0]
    beta_hat[t] = co[1]                              # 滚动对冲比 β̂(t)

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跑出来：断裂前 β̂ 均值 1.003，断裂后均值 1.328——虽然因窗口平滑略低于真实 1.5，但跳变本身清晰可见。这就是第一道警报：当 β̂(t) 的持续水平相对于历史中枢偏移超过阈值（比如 ±2 个滚动标准差），就判定「对冲比漂移」。

三、检测手段二：DCC-GARCH 动态条件相关#

对冲比是「一阶」关系；但协整断裂往往也伴随二阶协同性下降——两只标的价格一起动的强度变弱。我们用 DCC(1,1) 在收益上估动态条件相关 ρ_t。先对两资产收益做滚动标准化（去条件波动），再用指数加权更新拟相关矩阵 Q：

rx, ry = np.diff(x), np.diff(y)
# 60 日滚动标准差标准化
def roll_std(s, w):
    out = np.full(len(s), np.nan)
    for i in range(w, len(s)):
        out[i] = np.std(s[i-w:i], ddof=1)
    return out
sx, sy = roll_std(rx, 60), roll_std(ry, 60)
ux = rx / sx; uy = ry / sy                       # 标准化收益
a, b = 0.04, 0.94
Q = np.cov(np.stack([ux, uy])[:, ~np.isnan(ux)])   # Qbar 作为长期基准
rho = np.full(len(rx), np.nan)
for t in range(len(rx)):                          # DCC(1,1) 递推
    if np.isnan(ux[t]): continue
    u = np.array([ux[t], uy[t]])
    Q = (1-a-b)*Qbar + a*np.outer(u, u) + b*Q
    rho[t] = Q[0,1] / np.sqrt(Q[0,0]*Q[1,1])

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结果：断裂前 ρ≈0.82，断裂后跌到 0.62，降幅 24.6%。ρ 的阶跃下降和 β̂ 的跳变几乎同步发生——两个信号互相印证，误报率比单用其中一个低得多。

双信号检测：滚动对冲比跳变 + DCC 条件相关阶跃下降，在断裂点同步报警

四、价差质量诊断：断裂前后，稳态差多少#

光有警报还不够，要量化「关系断了之后价差到底变成什么样」。用 OU 回归 Δs = φ·s_{t-1} + η 估半衰期：φ<0 均值回复（半衰期 = −ln2/φ），φ≥0 非平稳（→∞）。比较静态价差与自适应价差在断裂干净段（过渡期之后）的表现：

价差口径	断裂前 std	断裂后 std	半衰期（断裂后）
静态（β=1.0）	0.0057	0.0385（6.8×）	∞（非平稳）
自适应（β̂(t)）	≈平稳	0.0236	1.63（仍均值回复）

静态价差在断裂后标准差被放大近 7 倍且彻底失去均值回复性——任何基于它 z-score 的套利都会持续亏在「随机游走那一侧」；自适应价差标准差稳定、半衰期短，协整关系被「接住」了。

断裂后静态价差漂移放大、自适应价差保持平稳带状

五、把检测变成执行：自适应配对#

实战里不是「发现断了就清仓」，而是用 β̂(t) 实时重建价差：

sp_adp = np.where(np.arange(T) < L, np.nan, y - beta_hat * x)   # 滚动自适应价差
# 交易时只用截至 t-1 的窗口算 z-score，避免前视：
def signal(sp, t, warm):
    win = sp[t-warm:t]
    m, s = np.mean(win), np.std(win, ddof=1)
    return np.clip(-(sp[t-1]-m)/s, -1, 1)      # 价低→做多价差

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当 β̂ 跳变触发「关系重置」，窗口会自然地把新对冲比吸收进来，价差回到平稳带。关键是检测与执行共用同一条 β̂(t) 序列，而不是检测一套、交易另一套——很多回测看似能抓住断裂，是因为它偷用了「断裂后已知 β=1.5」，那才是真前视。

六、六类真实陷阱（高阶必读）#

1. 滚动窗口的滞后偏差。 窗口 L=120 意味着 β̂(t) 对断裂的反应延迟约 L/2 期。真实突变是瞬时的，估计是平滑的——断裂刚发生的几十期里，β̂ 仍半新半旧，价差会短暂失真。应配合更短的「突变专检」（如 CUSUM、Sup-F 结构突变检验）缩短告警延迟。

2. DCC 对波动状态的敏感。 ρ 的下降可能只是「各自波动变大」而非「协同性真降」。本例同时放大了特质波动，ρ 下跌部分来自波动状态切换。务必区分「相关结构变化」与「波动水平变化」，可改用绝对相关或相关系数去条件化后再判。

3. 过渡期假信号。 断裂后β̂ 从旧值爬向新值的过程中，价差会经历一段「半旧半新」的非平稳过渡。这段窗口既不算旧关系也不算新关系，应显式标记为「重组期」、暂停加仓，而不是照常 z-score 交易。

4. 幸存者与point-in-time。 真实里「哪对该做协整」本身是选股问题。用事后挑出的高相关对回测，会严重幸存者偏差——必须在配对形成日 point-in-time 检验协整，再持有，而不是全样本挑完再回测。

5. 交易成本与容量。 自适应重估 + 重组期调仓会增加换手。若手续费/冲击超过均值回复收益，再「正确」的检测也不赚钱。本例完全未计成本，落地必须扣费后看净夏普。

6. 伪断裂（regime 内的正常漂移）。 β 的小幅时变是常态，不等于断裂。阈值设太敏会频繁重置、白白亏手续费；设太钝又接不住真断裂。阈值应基于 β̂ 的历史滚动标准差、而非固定绝对偏移。

七、代码清单与落地路径#

完整可运行脚本：generate_rolling_cointegration_break_images.py，含数据生成、滚动 EG、DCC(1,1) 与半衰期诊断（配图同源）。落地到真实研究时：

用 point-in-time 数据库取候选对的日度收盘，先全样本 EG 粗筛协整对；
对每对跑滚动 β̂(t)（窗口 60~120），监控 β̂ 相对其滚动中枢的偏移（>2σ 告警）；
并行跑 DCC 得到 ρ_t，与 β̂ 跳变做「双信号与」确认，降低误报；
告警触发后进入过渡期（如 20 日），用新窗口 β̂ 重建价差、重置 z-score 基准，过渡期只减仓不加仓；
扣手续费/冲击后评估净夏普与最大回撤，只有净收益覆盖重置成本才上实盘。

协整的价值不在于「找到一对永不分离的资产」，而在于承认任何长期关系都会在某天松动，并建立一套持续重新检验、自动修复的机制。能抓住会断的关系，比相信关系永不断，更接近于真实的钱。

本文为量化专栏第 N 篇。所有数值来自自洽合成（含结构性断裂设定），仅用于演示检测与自适应机制；真实断裂强度、检测延迟与净收益请以 point-in-time 无幸存者偏差数据库为准。