贝叶斯期权定价 MCMC：用马尔可夫链蒙特卡洛给奇异期权定价

经典期权定价（Black-Scholes、二叉树、Merton 跳扩散闭式）都有一个隐含前提：模型参数是已知的。给个 σ=0.2、r=0.02、T=1，公式吐出一个确定的价格。可现实里 σ 是噪声最大的量——你用 252 天日收益估出来的 σ，换个样本能差出 30%。点估计定价把这份不确定性悄悄『藏』掉了：它给你一个数，却假装这个数精确无误。

结论先放这：贝叶斯期权定价把参数当成随机变量，从观测到的收益里抽出它的后验分布，再对后验做预测定价——于是期权公允价天然带一个可信区间，而不是一个假精确的点。本文以没有闭式解的亚式（算术平均）看涨期权为例，用 numpy + scipy 从零实现随机游动 Metropolis 抽样，在 GBM 合成数据上证明：σ 真值 0.20 被后验均值 0.201 无偏还原（接受率 37.5%），贝叶斯预测定价给出后验均值 2.88 与 95% 可信区间 [0.04, 14.85]，而频率学派 plug-in 点估计只给 1.10——两者的巨大分歧恰恰源于「参数可观测不确定性」是否被诚实计入。附完整 Python 与四张真实计算图。

一、为什么点估计定价是「假精确」#

期权定价的输入是 (μ, σ)，输出是价格 V。当你用历史收益估出 σ̂、代入 BS 公式得 V̂ 时，整套流程假设了 σ̂ = σ_{真}。但 σ̂ 本身有分布：

• 用 1 年数据估 σ，标准误约 σ/√(2T) ≈ 10%——一个 ±10% 的 σ 误差，对 ATM 期权价格的影响常常超过 10%；
• 对奇异期权（亚式、回望、障碍），价格对 σ 更敏感、且无解析解，σ 的不确定性更藏不住；
• 点估计把 σ̂ 当真值，等于把「我可能把 σ 估错了」这件事从结果里抹掉。

贝叶斯的解法：不要一个点，要一整条后验。

二、核心思想：贝叶斯后验 + 后验预测定价#

设标的日度对数收益 r_t ~ N((μ−σ²/2)Δt, σ²Δt)，参数 θ=(μ, σ)。

• 似然：p(r|θ) = ∏ N(r_t; (μ−σ²/2)Δt, σ²Δt)
• 先验：对 μ 取弱信息正态、对 σ 取半正态（逼 σ>0）
• 后验：p(θ|r) ∝ p(r|θ)·p(θ)，无闭式，但能用 MCMC 抽样

定价不再代入「一个点」，而是对后验里的每一个 θ 样本都算一次期权价格 V(θ)，得到价格的后验预测分布 p(V|r)。它的均值就是贝叶斯公允价，分位数就是可信区间。

这正是点估计与贝叶斯的分水岭：plug-in 只用了后验的「一处」（点估计），贝叶斯用了「整个后验」。

三、从零实现：随机游动 Metropolis#

MCMC 家族里最朴素也足够好用的是随机游动 Metropolis：从某点出发，在周围加高斯扰动提一个候选，按后验比值决定接受与否。

import math
import numpy as np

def logpost(mu, sig, rets, dt, mu0=0.05, a_mu=0.5, a_sig=0.3):
    """对数后验（含先验）。rets: 观测日度对数收益序列。"""
    if sig <= 0:
        return -1e18
    m = (mu - 0.5 * sig ** 2) * dt
    s = sig * math.sqrt(dt)
    ll = np.sum(-0.5 * ((rets - m) / s) ** 2 - np.log(s))     # 似然
    lp = -0.5 * ((mu - mu0) / a_mu) ** 2                       # μ 先验 N(0.05,0.5)
    lp += -0.5 * (sig / a_sig) ** 2 + math.log(sig)            # σ 半正态先验 + Jacobian
    return ll + lp

def metropolis(rets, dt, n_iters=20000, burn=4000, thin=8, seed=20260901):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    p0 = np.array([0.05, math.log(0.20)])                      # 用 log σ 保证 σ>0
    prop_cov = np.diag([0.02, 0.012])
    cur = p0.copy()
    lp_cur = logpost(cur[0], math.exp(cur[1]), rets, dt)
    chain = np.zeros((n_iters, 2))
    n_acc = 0
    for i in range(n_iters):
        prop = cur + rng.multivariate_normal([0, 0], prop_cov)
        lp_prop = logpost(prop[0], math.exp(prop[1]), rets, dt)
        if math.log(rng.random()) < (lp_prop - lp_cur):
            cur, lp_cur = prop, lp_prop
            n_acc += 1
        chain[i] = cur
    post = chain[burn::thin]
    return post, n_acc / n_iters

# —— 亚式（算术平均）看涨期权：无闭式解，必须蒙特卡洛 ——
def asian_call(mu, sig, S0=100.0, K=100.0, r=0.02, T=1.0, n_steps=252, n_paths=8000, seed=42):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    d = T / n_steps
    Z = rng.standard_normal((n_paths, n_steps))
    logS = np.log(S0) + np.cumsum((mu - 0.5 * sig ** 2) * d + sig * np.sqrt(d) * Z, axis=1)
    avg = np.exp(logS).mean(axis=1)                            # 算术平均价
    pay = np.maximum(avg - K, 0.0)
    return math.exp(-r * T) * pay.mean()

后验抽出来后，取 154 个后验样本、每个跑 8000 路径蒙特卡洛，得到价格的预测分布。

四、结果：后验把 σ 真值还原了，区间才诚实#

合成数据用真实 σ=0.20 的 GBM 日收益（252 天），跑出来的数字：

最值得讲清的是那个巨大的可信区间 [0.04, 14.85]，它宽得吓人，但这是诚实的：亚式看涨对 σ 极敏感，而 252 天数据对 σ 的约束本来就很弱。后验均值 2.88 比 plug-in 的 1.10 高一倍多，不是谁算错了，而是：

• plug-in 把 σ 钉死在 MLE 点，密钥是「假设我知道 σ 的精确值」；
• 贝叶斯把 σ 当分布，定价时对所有可能的 σ 做了概率加权——低 σ 给出便宜价、高 σ 给出贵价，平均下来落在更高的 2.88。

换句话说，那个宽区间不是 bug，是「我其实没那么确定 σ 是多少」这件事被正确传到了价格上。

五、它和普通蒙特卡洛定价的区别#

很多人会问：蒙特卡洛定价本身也要采样，和贝叶斯有什么不同？关键在第一层采样对象：

• 普通 MC 定价：σ 给定（固定），只抽价格路径 S，得到 V(σ) 一个点（加 MC 误差条）。
• 贝叶斯定价：σ 也是随机变量（抽后验），对每个 σ 再抽价格路径，得到 p(V|r) 一整条分布。

所以贝叶斯多了一层「参数不确定性」的积分。它对奇异期权、数据短（小样本）、模型参数高度不确定的场景最有价值——这些场景里 σ 的不确定性大到不能忽略。

六、进阶与诚实的坑#

1. 先验不能太弱也不能太强。本文 σ 用半正态先验（尺度 0.3），若换极宽先验，可信区间会被先验拖得更宽；若用强信息先验，又可能盖住数据。先验的选择要显式披露。
2. MCMC 收敛要检查。本文只跑了 20000 迭代、看迹图平稳就收工；严肃做法要用多链 Gelman-Rubin R̂、有效样本量 ESS 诊断。接受率 37.5% 落在随机游动 Metropolis 的舒适区（20%–50%）。
3. 亚式期权用算术平均，MC 有偏差且慢。实务可用控制变量法（geometric Asian 作控制）把 8000 路径压到几百；本文为可读性用裸 MC。
4. 它不能救「模型错」。贝叶斯只量化「给定 GBM 假设下的参数不确定性」；若真实过程有跳、有随机波动，GBM 后验再精确也是错的模型。要扩展到随机波动/跳扩散，只需把状态空间变大、MCMC 升级成 M-H 或 NUTS。

七、结论#

经典期权定价把模型参数当精确已知，可 σ 是噪声最大的量，点估计定价把参数不确定性悄悄藏掉，给你一个假精确的数。贝叶斯 MCMC 反过来：用随机游动 Metropolis 从观测收益里抽出 σ 的后验（本文 σ 真值 0.20 被后验均值 0.201 无偏还原），再对后验做预测定价——亚式看涨的公允价变成一条带 95% 可信区间 [0.04, 14.85] 的分布，后验均值 2.88 与 plug-in 点估计 1.10 的分歧，正是「是否被诚实计入参数不确定性」的体现。对奇异期权、小样本、参数高度不确定的场景，这份区间不是误差，而是定价该有的诚实。完整生成脚本与四张计算图见 gen_quant_sep01_articles.py（仓库内），所有数值固定 seed 可复现。