可转债定价：把转股权、回售与赎回装进一棵二叉树 • halo 的技术博客

可转债（Convertible Bond）是所有固定收益里最”拧巴”的品种：它表面是一张债，骨子里是一个转股看涨期权，中间还夹着回售和赎回两道防线。面值是债，转股比率是期权，回售是持有人手里的看跌保护，赎回是发行人手里的看涨权利。三个期权塞进一张票，定价不能把它当债券贴现了事。

结论先放这：用 Tsiveriotis-Fernandez (1998) 的两成分二叉树，可以把可转债干净地拆成”股权成分 E + 债务成分 D”，整张债 V = E + D。 股权成分装着转股权（用无风险利率贴现），债务成分装着债券底与赎回权（用含信用利差的 risky 利率贴现）。在 S0=25（初始平价）、σ=35%、信用利差 q=2% 的基准情形下，可转债价值 V0=112.46，高于面值 100——溢价部分就是那份转股期权 + 债底的合体。附完整 Python 与三类真实陷阱（中阶）。

可转债价值 vs 股价：凸性 hockey-stick（债务底 + 转股看涨期权）

一、为什么可转债不能直接贴现#

一张普通公司债，现金流固定，用信用利差折个现就完事。可转债不行，因为它的现金流在”转股”和”持有到期”之间分叉：

转股权：股价涨破转股价，持有人把债换成股票，赚的是 CR·S − 面值 这份看涨期权的钱；
回售权（put）：股价长期低于转股价，持有人可按约定价把债卖回给发行人，相当于一个保护性的看跌期权；
赎回权（call）：股价远高于转股价，发行人可按约定价强制赎回，逼持有人转股，相当于发行人的一个看涨期权。

三股力量叠加，可转债的价值曲线既不是纯债的直线，也不是纯股的斜线，而是一条带凸性的 hockey-stick：股价极低时有债券底托着，股价极高时几乎等于转股价值 CR·S。下面这张二叉树热力图把”时间 × 股价状态”下的价值铺开，看得很直观：

可转债价值二叉树热力图 (横轴时间 T, 纵轴股价, 颜色=价值)

二、Tsiveriotis-Fernandez 两成分分解#

核心思想：把可转债拆成两个成分，各自用对的贴现率。

股权成分 E：装着转股权。转股是”无风险”的权利（不会违约消失），所以 E 用无风险利率 r 贴现；
债务成分 D：装着债券底和赎回博弈。这部分有信用风险，所以用含信用利差的利率 r+q 贴现（q 是年化信用利差）。

在 CRR 二叉树上，设步长 dt = T/N，上涨 u = e^{σ√dt}、下跌 d = 1/u，风险中性概率 p = (e^{r·dt} − d)/(u − d)。每节点递归：

E[i,j] = max( CR·S[i,j] ,  e^{−r·dt} · 𝔼[E 续持] )     # 转股 or 续持(无风险贴)
D[i,j] = max( 0 ,  e^{−(r+q)·dt} · 𝔼[D 续持] − 票息 )    # 债底 or 续持(risky贴)
V      = E + D

plaintext

到期时：若转股更划算（CR·S_T > 面值+票息），则债务成分归零（债已变成股票），E = CR·S_T，D = 0；否则 E = 0，D = 面值+票息。这就是”转股则债消失”的关键——它让信用风险只贴在还没转股的那部分上。

import numpy as np

def cb_value(S0, sigma, r, q, F=100.0, Kc=25.0, c=0.02, T=3.0, N=120):
    CR = F / Kc                      # 转股比率
    dt = T / N
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt)); d = 1.0 / u
    p = (np.exp(r * dt) - d) / (u - d)
    p = min(max(p, 1e-6), 1 - 1e-6)
    disc_rf = np.exp(-r * dt)        # 股权成分贴现
    disc_cr = np.exp(-(r + q) * dt)  # 债务成分贴现(risky)
    coupon = c * F * dt

    # 股票树
    S = np.zeros((N + 1, N + 1))
    for i in range(N + 1):
        for j in range(i + 1):
            S[i, j] = S0 * (u ** j) * (d ** (i - j))

    E = np.zeros((N + 1, N + 1)); D = np.zeros((N + 1, N + 1))
    conv_T = CR * S[N, :]
    E[N, :] = np.maximum(conv_T, 0.0)
    D[N, :] = np.maximum(F + coupon - conv_T, 0.0)   # 转股则债务归零

    for i in range(N - 1, -1, -1):
        for j in range(i + 1):
            contE = disc_rf * (p * E[i + 1, j + 1] + (1 - p) * E[i + 1, j])
            contD = disc_cr * (p * D[i + 1, j + 1] + (1 - p) * D[i + 1, j]) - coupon
            conv = CR * S[i, j]
            E[i, j] = max(conv, contE)               # 转股 or 无风险续持
            D[i, j] = max(0.0, contD)                # 债底 or risky续持
    return E + D

# 基准: 面值100, 转股价25→转股比率4, 票息2%, 3年, σ=35%, q=2%
V0 = cb_value(25.0, 0.35, 0.03, 0.02)[0, 0]
print(f"V0 = {V0:.2f}")   # 112.46

python

三、凸性、债券底与转股价值#

把价值曲线对股价扫一遍，三件事一目了然：

债券底（图中虚线，约 F·e^{−qT} ≈ 94.2）：股价再怎么跌，可转债也跌不穿这条信用折现值——这是债的兜底；
转股价值 CR·S（图中灰虚线）：股价越高，可转债越贴着它走，纯债属性让位给股票属性；
凸性：在平价附近（S≈Kc=25），价值曲线上凸——这正是转股期权 Δ 随股价上升而放大留下的痕迹。

可转债价值 vs 信用利差：债务成分暴露

信用利差 q 是另一个关键旋钮。q 越高 → 债务成分 D 被 risky 贴现压得越狠 → 可转债越往下塌成”纯转股期权”。上图把 q 从 0 扫到 12%，V0 单调下滑；当 q→0（无信用风险）时，债底几乎等于面值，可转债溢价最小；q 很大时，债底消失，它基本就是一张 Long Call。

四、转股溢价与对冲比率 Δ#

交易可转债最关心的两条曲线：

转股溢价 = V / (CR·S) − 1：平价附近最低（转股最划算），股价两端升高（要么纯债属性强、要么期权时间价值厚）；
对冲比率 Δ = dV/dS：深度虚值（股价远低于转股价）时趋 0（债性主导，股价涨跌不影响价值），深度实值时趋 CR=4（已等同持 4 股）。

可转债的两条关键曲线：转股溢价与对冲比率

s_grid = np.linspace(8, 60, 120)
prem, delta, h = [], [], 0.25
for s in s_grid:
    vp = cb_value(s + h, 0.35, 0.03, 0.02)[0, 0]
    vm = cb_value(s - h, 0.35, 0.03, 0.02)[0, 0]
    delta.append((vp - vm) / (2 * h))
    prem.append((cb_value(s, 0.35, 0.03, 0.02)[0, 0] / (4 * s) - 1) * 100)

python

Δ 这条曲线是 Delta 对冲的命根子：你持有可转债多头、想用股票空头对冲，要卖的股数就是 Δ × 持仓面值 / (CR·S)。注意 Δ 在平价附近变化最陡，意味着平价附近的 gamma（Δ 变化率）最大，对冲再平衡最频繁、最烧交易成本。

五、三类真实陷阱（必看）#

1. 别把回售当”免费看跌期权”直接加。 回售权只在约定窗口（通常最后几年、且股价持续低于回售价）才生效，不是全程有效的欧式 put。真要建模，回售是”带触发条件 + 限窗口”的美式看跌，必须作为状态依赖的 early-exercise 边界塞进递归，而不是在 V 上简单 + Put价值。漏掉触发条件会系统性高估回售价值。

2. 别把赎回当”免费看涨期权”直接减。 赎回是发行人的权利，建模时它是持有人的约束：一旦股价涨破赎回触发价，发行人会赎回逼你转股，所以可转债价值在赎回价之上被”压平”到转股价值。正确做法是递归里对 V 取 min(V, 转股价值)（赎回约束），而不是另算一个 call 减去。把它当独立看涨期权从 V 里减，会双重计数、低估可转债。

3. 忽略信用利差 q，等于把债底焊死在面值。 上面图 3 已经显示：q 从 0 升到 12%，V0 掉了一大截。很多教学代码直接拿无风险利率 r 贴现整个可转债，等于假设发行人永不违约——这会高估债底、高估可转债整体价值，在信用利差走阔（危机）时偏离最狠。T-F 分解的意义，正是让信用风险只贴在”还没转股的债务成分”上，而非污染转股期权。

结语#

可转债定价的本质，是把”债券 + 转股看涨 + 回售看跌（限窗）+ 赎回看涨（约束）“四块积木，按各自的风险属性塞进同一棵二叉树：股权成分用无风险贴、债务成分用 risky 贴，转股则债消失。理解这条主线，你就能看懂打新可转债的定价逻辑、债底保护为什么在熊市里是真缓冲，以及为什么平价附近的可转债 gamma 最肥、对冲最贵。下回看到”转股溢价""债底""赎回触发”，你知道它们在二叉树的哪一格、用什么利率贴现。