Garman-Klass 波动率：把开高低收四价一起塞进波动估计

问题：Parkinson 只用了高低价，还有两个价格白扔了#

上一篇我们验证了 Parkinson (1980) 估计量：它用日内最高价和最低价的极差，方差效率是 close-to-close（CC）的 5.3 倍。但 Parkinson 只用了两个数字——H 和 L。每根 K 线其实有四个价格：开（O）、高（H）、低（L）、收（C）。开盘价和收盘价被 Parkinson 直接扔掉了。

同样在 1980 年，Mark Garman 和 Michael Klass 在 On the Estimation of Security Price Volatilities from Historical Data 里问了一个自然的问题：如果把 OHLC 四个价格全部用上，能榨出多高的效率？

他们的答案是 Garman-Klass 估计量：

$\hat\sigma^2_{GK} = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{H}{L}\right)^2 - (2\ln 2 - 1)\left(\ln\frac{C}{O}\right)^2$

第一项是极差项（和 Parkinson 同源，但系数是 1/2 而非 1/(4ln2)），第二项是开收项，系数 $2\ln 2 - 1 \approx 0.386$。GK 证明了在几何布朗运动（GBM）假设下，这个组合是极差 + 开收信息的最小方差无偏组合，理论效率约为 CC 的 7.4 倍——比 Parkinson 更高。

本文用固定随机种子（20260801）的受控模拟，回答三个问题：GK 到底比 Parkinson 高效多少？它的效率优势有没有隐藏代价？以及——当真实世界不满足 GBM 的零漂移假设时，会发生什么？

理论：四价组合为什么最优#

GK 的推导思路是把「一天的价格轨迹」拆成三块信息：

1. 开收位移 $\ln(C/O)$：一天从开盘走到收盘的净位移，这正是 CC 用的东西。
2. 日内极差 $\ln(H/L)$：一天探索过的最大范围，这是 Parkinson 用的东西。
3. 两者的协方差结构：在布朗运动里，极差和位移不是独立的，GK 把这个相关性也算进去了。

Garman 和 Klass 证明，在无漂移 GBM 下，任何形如 $a\cdot(\ln H/L)^2 + b\cdot(\ln C/O)^2$ 的无偏估计量中，方差最小的组合就是 $a = 1/2$、$b = -(2\ln 2 - 1)$。这个组合的理论方差约为 CC 的 $1/7.4$。

有意思的是那个负号：开收项前面是减号。直觉上”用更多信息应该加”，但 GK 的负号说明——极差项 $\frac{1}{2}(\ln H/L)^2$ 本身已经系统性高估了方差（因为极差总是大于净位移），需要用开收项减掉一部分修正。这个负号是 GK 能保持无偏的关键，也是它对某些异常（比如漂移）敏感的根源，后面会看到。

作为对照，我们同时验证 Rogers-Satchell (1991) 估计量：

$\hat\sigma^2_{RS} = \ln\frac{H}{C}\ln\frac{H}{O} + \ln\frac{L}{C}\ln\frac{L}{O}$

RS 的设计目标不是最高效率，而是对漂移免疫——它的构造保证了即使价格有非零漂移，估计量依然无偏。这个差别将成为本文最关键的分水岭。

受控模拟设计#

数据生成：用 GBM 生成日内价格路径。基准参数：日内扩散波动率 $\sigma = 0.02$（真实日内方差 $\sigma^2 = 0.0004$），每交易日 234 个 tick 步，无漂移，无隔夜跳空。全部用 numpy 逐路径推进，每个实验 3000–4000 条蒙特卡洛路径。

四种估计量的实现：

import numpy as np

LN2 = np.log(2.0)
PARK_C = 1.0 / (4.0 * LN2)      # ≈ 0.36067
GK_C2  = 2.0 * LN2 - 1.0        # ≈ 0.38629

def cc_var(close_log, prev_close_log):
    """Close-to-close：只用相邻收盘。"""
    return (close_log - prev_close_log) ** 2

def parkinson_var(high, low):
    """Parkinson (1980)：只用高低价极差。"""
    return PARK_C * np.log(high / low) ** 2

def gk_var(o, h, l, c):
    """Garman-Klass (1980)：极差项 - 开收项，用满 OHLC。"""
    hl = np.log(h / l)
    co = np.log(c / o)
    return 0.5 * hl ** 2 - GK_C2 * co ** 2

def rogers_satchell_var(o, h, l, c):
    """Rogers-Satchell (1991)：对漂移免疫。"""
    hc, ho = np.log(h / c), np.log(h / o)
    lc, lo = np.log(l / c), np.log(l / o)
    return hc * ho + lc * lo

逐图分析#

图1：GK 的方差最小，四价确实最省#

左图是 4000 条路径、每条 200 个交易日的日均方差估计分布，右图是四种估计量的箱线图。真实日内方差是 0.0004（黑色虚线）。

关键读数：

• 效率比 CC/GK = 8.42x。GK 的估计方差只有 CC 的 1/8.4，标准差从 3.99e-5 压到 1.37e-5。用另一种说法：GK 用 200 天数据提供的信息量，相当于 CC 需要约 1680 天（8.4 × 200）才能达到的精度。
• GK 比 Parkinson 再高一档：效率比 GK/PARK = 1.58x。四价确实比两价更省，Parkinson 扔掉的开收信息不是没用的。
• 代价：GK 偏差 -11.6%，比 CC 的 +0.09% 和 Parkinson 的 -8.3% 都更负。这是离散采样导致的系统性下偏——日内 234 步的离散极差小于连续极差，GK 因为更重用极差项而放大了这个下偏。

一句话：GK 用更大的偏差换来了更小的方差。在偏差可以事后修正、而方差不能凭空减小的场景下，这笔交易通常划算——但前提是偏差稳定可预测。

图2：8.4 倍效率对样本量稳定#

左图是 RMSE 随样本天数的下降曲线（双对数坐标）。GK 的 RMSE 线始终在 CC 下方，而且在小样本区（5–40 天）差距最大——这正是 GK 最有价值的地方：在数据稀缺时，GK 用同样的天数给出精度高得多的估计。

右图是效率比随样本量：跨 5 天到 320 天，CC/GK 效率比稳定在 8.34x 到 9.11x 区间，CC/Parkinson 稳定在 5.2x–5.4x。两条线都没有随样本量发散——这个 8.4x 是一个稳健的结构性优势，不是小样本偶然。

值得注意的一个细节：在样本量很大（160、320 天）时，GK 的 RMSE 曲线开始变平，而 CC 继续下降。原因是 GK 有 -11.6% 的系统性偏差，样本量再大也消不掉偏差（RMSE = 方差 + 偏差²），而 CC 无偏，样本量足够大时 CC 的 RMSE 最终会追上来。这提醒我们：GK 的优势在小到中样本，大样本+无漂移场景下 CC 的无偏性反而占优。

图3：漂移污染——GK 与 Rogers-Satchell 的分水岭#

这是本文最重要的发现，也是理解”为什么会有 Rogers-Satchell”的关键。

GK 的推导假设零漂移。当真实价格存在漂移（趋势）时，会发生什么？我们把日漂移 μ 从 0 逐步加到 0.04：

读这张表：

• CC 被漂移彻底污染：μ=0.02 时上偏 100%，μ=0.04 时上偏 400%。因为 CC 用净位移 $r^2$，而漂移直接进入位移——趋势越强，CC 把趋势误当成波动。
• Parkinson 也被污染：μ=0.04 时上偏 136%。极差会被漂移拉大（价格单向走时高低价差扩大）。
• GK 在漂移下反转：从 μ=0 的 -11.6% 一路爬到 μ=0.04 的 +34%。GK 那个负的开收项在无漂移时正确修正极差，但漂移让开收项 $(\ln C/O)^2$ 膨胀，减得过多又不够——净效果是 GK 从下偏翻成上偏。μ≈0.02 时恰好穿过零点（+0.21%），纯属巧合。
• 只有 Rogers-Satchell 免疫：RS 偏差从 -11.65% 到 -17.70%，几乎不受漂移影响（那点变化主要来自漂移下极差本身的离散偏差变化，不是漂移污染）。

这就是 RS 存在的全部理由：它牺牲了一点效率（CC/RS = 6.50x < CC/GK = 8.42x），换来了对漂移的免疫。在强趋势资产（比如趋势明显的成长股、加密货币的单边行情）上，GK 会系统性高估波动率，而 RS 给出诚实的答案。

实践含义很直接：如果你的标的在估计窗口内有明显趋势，别用 GK，用 Rogers-Satchell。 或者先对价格去趋势再用 GK。

图4：隔夜跳空——GK 继承了 Parkinson 的盲区#

GK 用的是日内四价，隔夜跳空（前收→次开）不进入任何一根日 K 的 OHLC 内部结构。所以 GK 和 Parkinson 一样，对隔夜波动完全不可见。

我们把隔夜/日内波动比从 0 加到 1.5，以总方差（日内 + 隔夜）为基准衡量偏差：

关键观察：

• CC 始终无偏（±0.4% 内）。为什么？因为 CC 用相邻收盘价的差，这个差自动包含了隔夜跳空——从前收到次收，中间的隔夜位移被完整捕捉。这是 CC 唯一的、也是被严重低估的优势。
• GK 随隔夜比单调恶化：隔夜比 1.0 时低估总方差 55.8%，1.5 时低估 72.8%。隔夜波动越大，GK 漏掉的越多。
• GK 和 Parkinson 的隔夜盲区几乎一样严重（两条线基本重合）——因为它们都只看日内。

对 A 股、港股这类隔夜跳空显著的市场，这是 GK 的致命限制。GK 测的是”日内波动率”，不是”总波动率”。 如果你要的是包含隔夜风险的总波动率（做 VaR、期权定价、隔夜持仓风险），GK 会系统性低估。这正是下一篇 Yang-Zhang 估计量要解决的问题——它把隔夜、开盘、日内三块波动分开估计再加总。

对抗式检验#

在信任任何结论前，先用四个对抗情形验证实现正确性：

1. CC 无偏基准：无漂移、无隔夜时 CC 偏差 +0.09%，紧贴真实值——说明数据生成引擎和真实方差校准正确。✅ 通过。
2. 效率排序符合理论：CC/GK (8.42x) > CC/RS (6.50x) > CC/PARK (5.31x)，与 Garman-Klass 理论预测的”四价 > RS > 两价”一致。✅ 通过。
3. 漂移免疫的方向正确：只有 RS 在漂移下保持稳定（-11.65% → -17.70%），GK/PARK/CC 全部随漂移上偏——这与 RS 的设计目标完全吻合。✅ 通过。
4. 隔夜盲区方向正确：GK/PARK 随隔夜比单调恶化，CC 始终无偏——符合”日内估计量看不见隔夜”的机制。✅ 通过。

四项全过，这套实现可以信任。

已知偏差与诚实边界#

• 离散采样下偏：GK 在离散 GBM 下对真实日内方差有约 -11.6% 的系统性下偏（比 Parkinson 的 -8.3% 更负，因为 GK 更重用极差项）。实盘中数据频率越低，偏差越大，需要用修正因子。
• 零漂移假设：这是 GK 最容易被忽略的前提。任何有趋势的标的（成长股、单边行情、宏观趋势品种）都会让 GK 上偏。图3 显示 μ=0.02 时 GK 恰好穿零纯属巧合，不能指望漂移”刚好抵消”偏差。
• 隔夜盲区：GK 只测日内波动率。用 GK 估出的数字去做隔夜风险管理（VaR、隔夜 gap risk）会系统性低估，隔夜比 1.0 时低估过半。
• 跳（jump）敏感：和 Parkinson 一样，价格跳会放大极差，让 GK 高估——这与离散采样的下偏方向相反，实际偏差取决于”连续扩散 vs 跳”哪个主导。
• OHLC 数据质量：GK 用满四个价格，对数据质量的依赖也最高。复权错误、涨跌停截断的高低价、盘前盘后成交混入的开收价，都会污染 GK 的估计。

代码实现#

以下是 GK 的最小可运行实现，配合真实 OHLC 数据使用：

import numpy as np
import pandas as pd

LN2 = np.log(2.0)
GK_C2 = 2.0 * LN2 - 1.0

def garman_klass_volatility(df, cols=("open", "high", "low", "close"),
                            annualize=252):
    """
    Garman-Klass 年化波动率。
    df: 含 OHLC 列的 DataFrame
    返回: 每日 GK 年化波动率序列（对单日方差直接年化）
    """
    o, h, l, c = (df[x] for x in cols)
    hl = np.log(h / l)
    co = np.log(c / o)
    daily_var = 0.5 * hl ** 2 - GK_C2 * co ** 2
    daily_var = daily_var.clip(lower=0)  # 极端情况下可能为负，截断到 0
    return np.sqrt(daily_var * annualize)

def rogers_satchell_volatility(df, cols=("open", "high", "low", "close"),
                               annualize=252):
    """Rogers-Satchell 年化波动率：有趋势时用它替代 GK。"""
    o, h, l, c = (df[x] for x in cols)
    hc, ho = np.log(h / c), np.log(h / o)
    lc, lo = np.log(l / c), np.log(l / o)
    daily_var = (hc * ho + lc * lo).clip(lower=0)
    return np.sqrt(daily_var * annualize)

# 用滚动窗口平滑（推荐做法）：
def gk_rolling(df, window=20, annualize=252):
    o, h, l, c = df["open"], df["high"], df["low"], df["close"]
    hl = np.log(h / l); co = np.log(c / o)
    dv = 0.5 * hl ** 2 - GK_C2 * co ** 2
    return np.sqrt(dv.rolling(window).mean().clip(lower=0) * annualize)

注意那个 clip(lower=0)：GK 的单日估计在极端情况下（开收位移很大而极差很小）可能给出负方差，这是它组合结构的副作用。实践中要么截断到 0，要么用滚动窗口平均（跨天平均后为负的概率极低）。

三段式总结#

A. 实现细节#

• 数据口径：模拟用日内扩散 $\sigma=0.02$、$\sigma^2=0.0004$、每交易日 234 步 GBM，3000–4000 条蒙特卡洛路径，固定种子 20260801。
• 估计量口径：GK = $\frac{1}{2}(\ln H/L)^2 - (2\ln2-1)(\ln C/O)^2$，用满 OHLC；RS = $\ln(H/C)\ln(H/O)+\ln(L/C)\ln(L/O)$；CC 用相邻收盘对数收益平方；Parkinson 用极差。
• 效率比口径：$\text{Var}(\hat\sigma^2_{CC})/\text{Var}(\hat\sigma^2_{GK}) = 8.42$（经验），即 CC 的估计方差是 GK 的 8.4 倍。
• 偏差修正：离散 GBM 下 GK 约 -11.6% 系统性下偏，可用 $1/(1-0.116)$ 修正——但仅在确认无漂移、无隔夜时。

B. 已知偏差#

• 零漂移是硬假设：漂移 μ=0.02 时 GK 偏差从 -11.6% 翻成 +0.2%，μ=0.04 时上偏 34%。有趋势的标的必须改用 Rogers-Satchell 或先去趋势。
• 隔夜盲区：GK 只测日内。隔夜/日内比 1.0 时对总方差低估 55.8%。做隔夜风险管理不能用 GK。
• 负方差风险：GK 单日估计可能为负，必须截断或滚动平均。
• 数据质量放大：GK 用满四价，对复权错误、涨跌停截断、盘前盘后混入最敏感。

C. 结果解读#

• GK 的真正价值：在日内扩散主导、无明显趋势、隔夜效应弱的场景（外汇、黄金、高频日内），GK 是效率最高的实用估计量——8.4 倍于 CC，1.58 倍于 Parkinson，在小到中样本时优势最大。
• 何时改用 Rogers-Satchell：只要标的在估计窗口内有明显趋势，GK 就会上偏，RS 是唯一免疫漂移的选择，代价是效率略低（6.5x vs 8.4x）。趋势不确定时，RS 更安全。
• 何时回到 CC：当样本量非常大、且需要包含隔夜的总波动率时，CC 的无偏性反而占优——它是唯一自动吸收隔夜跳空的估计量。
• 通往 Yang-Zhang 的桥：GK 和 Parkinson 共享的隔夜盲区，正是 Yang-Zhang (2000) 要解决的问题——把隔夜、开盘、日内三段波动分开估计再最优加权，同时免疫漂移和跳空。这是波动率估计量族谱里的下一站。
• 研究 vs 实盘：GK 的 8.4x 效率在干净模拟里非常漂亮，但真实市场的 OHLC 有涨跌停截断、复权噪声、流动性缺口，实际效率会打折。用前务必在历史数据上验证偏差方向和幅度。