分数阶差分与平稳性：在保留记忆和通过 ADF 之间求平衡

每一本时间序列教材都教同一件事：价格不平稳，差分一次变成收益，就平稳了，可以往模型里喂了。这话没错，但它藏了一个代价——差分是一把很钝的刀，它在换来平稳性的同时，把序列的记忆砍得一点不剩。

结论先放这：在本文的合成序列上，一阶差分后的序列与原始对数价格的相关系数只剩 0.005，“当前价位是高是低”这个信息完全蒸发；而分数阶差分只差 d=0.37 这么多，就已经通过 ADF 检验（p=0.039），同时保住 91.1% 的记忆，对真实均值回归成分的捕捉相关系数 0.416（一阶差分只有 0.073）。

但本文真正想让你带走的，是反面那一半：FFD 的固定窗口截断，本身就会伪造平稳性。在一条真实 I(1) 的纯随机游走上做同样的 d=0.37 分数阶差分，窗宽 311 时 ADF 的错误拒绝率高达 73%，窗宽 1669 时飙到 93%——名义显著性水平只有 5%。也就是说，你手上那个”通过了 ADF”的分数阶差分特征，很可能只是被截断制造出来的幻觉。所有图表均由下文 Python 真实计算，固定种子可复现，非占位图。

一、为什么整数阶差分是一种浪费#

先把问题摆清楚。机器学习模型（以及绝大多数统计推断）需要输入特征是平稳的——均值方差不随时间漂移，否则样本内学到的系数拿到样本外根本不成立。但价格序列是 I(1) 的，直接喂进去就是伪回归。

标准解法：差一次，得到收益率，平稳了。问题在于这一刀砍掉的东西太多。

价格序列里有两类信息：一类是”往哪儿走”（增量、动量），一类是”现在在哪儿”（水平、相对估值）。一阶差分只保留第一类，第二类被完全抹除。可”现在这个价位相对历史是贵是便宜”，恰恰是均值回归类策略的全部信息源。

用本文的合成数据说话。我构造一个真值完全已知的对数价格：

$\log P_t = \underbrace{T_t}_{\text{随机游走趋势 I(1)}} + \underbrace{x_t}_{\text{OU 平稳偏离}}$

其中 $T_t$ 是纯随机游走（不可预测），$x_t$ 是 Ornstein-Uhlenbeck 均值回归过程（半衰期 35 天）——这是整条序列里唯一的可预测成分。谁能把 $x_t$ 挖出来，谁就拿到了 alpha。

import numpy as np

N, THETA, SIG_X, SIG_T, DRIFT = 5000, 0.02, 0.012, 0.012, 0.0003

def make_series(seed=20260801, n=N):
    """log_price = 随机游走趋势(I(1)) + OU 平稳偏离(唯一可预测源)"""
    rng = np.random.default_rng(seed)
    x = np.zeros(n)
    for t in range(1, n):
        x[t] = (1 - THETA) * x[t - 1] + SIG_X * rng.standard_normal()
    trend = np.cumsum(DRIFT + SIG_T * rng.standard_normal(n))
    return np.log(100.0) + trend + x, x

结果很干脆：原始对数价格 ADF p=0.606（不平稳，符合预期）；一阶差分 ADF p≈0（平稳），但它与原序列的相关系数只有 0.005，与真实 OU 偏离 $x_t$ 的相关系数只有 0.073。它把唯一有用的东西一起扔了。

二、分数阶差分：把 d 从整数放开到实数#

分数阶差分的想法出奇简单：既然 $(1-B)^1$ 砍太狠、$(1-B)^0$ 又不平稳，那就让指数 $d$ 取实数。用二项式展开：

$(1-B)^d = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{d}{k}(-B)^k = \sum_{k=0}^{\infty} w_k B^k$

权重可以递推生成，这是整个方法的核心，四行代码：

$w_0 = 1, \qquad w_k = -w_{k-1}\cdot\frac{d-k+1}{k}$

def frac_weights(d, size):
    w = [1.0]
    for k in range(1, size):
        w.append(-w[-1] * (d - k + 1) / k)
    return np.array(w)

关键性质在于权重的衰减速度：

• $d=1$：权重是 $[1, -1, 0, 0, \dots]$——只用两期，记忆长度为 1
• $d=0$：权重是 $[1, 0, 0, \dots]$——原序列照抄，记忆无限长但不平稳
• $0<d<1$：权重呈双曲衰减（比指数慢得多），拖着一条长尾，这条尾巴就是”记忆”

右图已经埋下了第一个坑：权重理论上是无穷长的，实务必须截断。López de Prado 的 FFD（Fixed-Width Window Fracdiff） 做法是设一个阈值 τ，丢掉所有 $|w_k| < \tau$ 的尾部：

TAU = 1e-4

def frac_weights_ffd(d, tau=TAU, max_size=20000):
    w, k = [1.0], 1
    while k < max_size:
        x = -w[-1] * (d - k + 1) / k
        if abs(x) < tau:
            break
        w.append(x); k += 1
    return np.array(w)

def frac_diff_ffd(series, d, tau=TAU):
    """FFD：等长输出，前 width-1 个为 NaN（保证每个点用同样多的历史）"""
    w = frac_weights_ffd(d, tau)
    width = len(w)
    out = np.full(len(series), np.nan)
    if width <= len(series):
        out[width - 1:] = np.convolve(series, w, mode="valid")
    return out, width

注意 mode="valid" 加前置 NaN 这个写法：它保证每个输出点都用了完全相同数量的历史，不会出现前面几点用 5 期、后面用 500 期的情况——这正是 FFD 相对”扩张窗口”版本的核心改进，第五节会看到两者差多远。

三、扫描 d：平稳性与记忆的权衡曲线#

现在做那件标准操作：从 d=0 扫到 d=1，每一档同时记录 ADF 统计量（平稳性）和”与原序列的相关系数”（记忆保留）。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

for d in np.round(np.arange(0.0, 1.0001, 0.05), 2):
    ffd, width = frac_diff_ffd(logp, d)
    a = ffd[~np.isnan(ffd)]
    stat, p = adfuller(a, regression="c", autolag="AIC")[:2]
    corr = np.corrcoef(ffd[~np.isnan(ffd)], logp[~np.isnan(ffd)])[0, 1]

这张图是分数阶差分的招牌：ADF 统计量随 d 增大单调下降（越来越平稳），记忆保留随 d 增大单调下降（越来越少）。最小可用 d* 就是刚好穿过 5% 临界值那个点：

看上去完美：只付出 8.9% 的记忆损失就换来平稳性，而传统做法要付 99.5%。

但先别急着高兴。 这张漂亮的权衡曲线有一个致命前提——它假设 ADF 通过就等于”真的平稳”。下一节我要证明这个前提在 FFD 下经常是错的。

四、最硬的坑：截断本身就会伪造平稳性#

这是本文的核心发现，也是绝大多数分数阶差分教程不会告诉你的。

做一个对抗式实验：拿一条真实 I(1) 的纯随机游走（我知道它绝对不平稳，因为是我生成的），对它做完全一样的 d=0.37 分数阶差分，然后看 ADF 检验怎么说。理论上 ADF 应该只有 5% 的概率错误拒绝原假设。

def make_rw(seed, n=N):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    return np.log(100.0) + np.cumsum(DRIFT + 0.017 * rng.standard_normal(n))

for tau in [1e-2, 3e-3, 1e-3, 3e-4, 1e-4, 3e-5, 1e-5]:
    ps = []
    for sd in range(30):                       # 30 个独立随机游走
        f, W = frac_diff_ffd(make_rw(5000 + sd), 0.37, tau=tau)
        ps.append(adfuller(f[~np.isnan(f)], regression="c", autolag="AIC")[1])
    print(f"窗宽 W={W:5d}  错误拒绝率={np.mean(np.array(ps) < 0.05):.0%}")

结果触目惊心：

在一条百分之百的随机游走上，窗宽 311 的 FFD 让 ADF 有 73% 的概率宣布”已平稳”。 这不是随机波动，是系统性偏误。

机制不难理解：FFD 的截断权重和不等于零（真正的 $(1-B)^d$ 展开需要无穷项才收敛），截断后的滤波器在低频段留了一个有限增益，等效于对原序列做了一次带通滤波——滤掉了单位根那个最低频成分。ADF 看到的已经不是原序列，而是被人为削掉低频的版本，当然更容易判平稳。窗口越长，截断权重越接近完整展开，低频压制越彻底，伪平稳就越严重。

这直接推翻了”扫 d 找最小可用 d*“这个流程的可靠性。右图给出第二记重击：同一个数据生成过程，只换随机种子，跑 20 次，d* 从 0.00 一直摆到 0.55，标准差 0.138。 你在自己数据上辛苦扫出来的 d*=0.37，很大程度上是这一次抽样的运气，不是数据的内在属性。

五、FFD vs 扩张窗口：同一个 d，两条完全不同的序列#

LdP 原书给了两个版本：扩张窗口（expanding，权重不截断，可用历史全用上）和 FFD（固定宽度）。很多人以为它们只是实现细节的差别。

def frac_diff_expanding(series, d, tau=TAU):
    n = len(series)
    w = frac_weights(d, n)
    skip = len(frac_weights_ffd(d, tau))
    out = np.full(n, np.nan)
    for t in range(skip, n):
        out[t] = np.dot(w[:t + 1][::-1], series[:t + 1])
    return out

在同一条序列、同一个 d=0.37 下，两者的相关系数是 -0.10——不是 0.99，是接近正交甚至微负。

原因是扩张窗口的每个点用的历史长度不同（t=500 时用 500 期，t=4999 时用 4999 期），等于对不同时点施加了不同的滤波器，序列的方差结构随时间系统性变化（后半段/前半段标准差比 0.63）。它算出来的东西严格来说不是一个同分布的特征。

实务结论：永远用 FFD，不要用扩张窗口。如果你在复现别人的分数阶差分结果时数字对不上，先确认对方用的是哪个版本。

六、预测力检验：d* 到底值不值这些麻烦#

平稳性只是手段，能不能预测才是目的。把四种特征（d=0 / d*=0.37 / d=1 / oracle 真实 $x_t$）分别做样本内 6:4 切分、样本内定系数、样本外应用：

三个诚实的观察：

1. 一阶差分确实是废的。 Sharpe -0.06、与真实可预测成分相关 0.073——它把 alpha 连根拔了，这一点分数阶差分的批评完全成立。

2. d* 在固定系数场景下确实最好（0.92 vs 0.67）。 因为 d=0 的原始价格不平稳，样本内估的系数拿到样本外时价格水平已经漂走了，系数失效；d* 平稳，系数可迁移。这是分数阶差分的真实价值所在。

3. 但一旦你用因果滚动 z 做标准化，d=0 反而更好（0.95 vs 0.68）。 这是必须说破的一点：滚动 z 本身就是一种隐式差分——减去滚动均值这个动作，已经把非平稳的水平漂移消掉了。如果你的流程后面本来就有滚动标准化，分数阶差分带来的增量就非常有限，甚至是负的。

所以分数阶差分不是万能钥匙。它真正有价值的场景是：你要把特征直接喂给一个固定系数的模型（线性回归、需要跨期可比输入的树模型），且流程里没有其他去均值机制。

七、四项对抗式检验#

检验一：纯随机游走上不该有 alpha。 对 d=0.37 的 FFD 特征在随机游走上跑同一套因果滚动 z 策略，样本外 Sharpe = -0.02，干净归零。策略逻辑本身没有偷看未来。

检验二：look-ahead 对照。 把因果滚动 z 换成全样本均值/标准差做 z（一个非常隐蔽的 look-ahead），随机游走上的 Sharpe 从 -0.02 跳到 0.40——凭空造出 alpha。这也解释了为什么真实序列上 look-ahead 版本（0.34）反而低于因果版本（0.68）：全样本标准化在有趋势的序列上会把信号方向搅乱，它不是”更好的作弊”，只是”另一种错”。任何标准化都必须因果。

检验三：置换检验。 打乱收益顺序 300 次重跑，真实 Sharpe 0.68 超过置换分布 95 分位 0.53，经验 p 值 0.020。但注意最大值到了 0.89——这说明这个 alpha 虽然显著，但离”稳如泰山”还很远。

检验四：τ 敏感性。 同一个 d=0.37，τ 从 1e-2 调到 1e-5：

记忆保留从 99.8% 一路掉到 29.2%，而 d 完全没变。 这意味着”d=0.37 保留了 91% 记忆”这句话严格来说是不完整的——它只在 τ=1e-4 下成立。报告分数阶差分结果时，d 和 τ 必须同时给出，只给 d 等于没给。

八、五条实务准则#

1. d 和 τ 是一对超参数，不是一个。 只报 d 无法复现。窗宽 W 才是真正决定滤波器形态的量，建议直接报 (d, τ, W) 三元组。

2. 别把 ADF 通过当作平稳性的证明。 在你的真实数据上，先做本文第四节那个实验：用同样的 (d, τ) 对一条模拟随机游走做 FFD，看 ADF 错误拒绝率。如果超过 20%，你的 ADF 结论就不可信，需要改用对截断更稳健的检验（如 KPSS 双向确认，或直接看方差比检验）。

3. d* 不稳定，别精调。 20 个种子的 d* 标准差 0.138。与其花力气把 d 优化到小数点后两位，不如固定一个经验值（0.3–0.5 是常见区间）并做敏感性检查——如果结论在 d=0.3 和 d=0.5 之间会翻转，那这个结论本身就不可信。

4. 只用 FFD，不用扩张窗口。 同一个 d 下两者相关 -0.10，不是同一个东西。

5. 先问流程里有没有别的去均值机制。 如果后面接滚动 z、截面排序、分位数分桶，非平稳性其实已经被处理掉了，分数阶差分的增量可能是负的（本文 0.68 vs 0.95）。它的主场是固定系数、跨期可比的输入。

结语#

分数阶差分的核心洞察是对的：整数阶差分是一把过钝的刀，在平稳性和记忆之间存在一整条连续的权衡曲线，而 d=1 是这条曲线上最极端、往往也最浪费的一点。本文的数据支持这个判断——d*=0.37 保住 91.1% 记忆并通过 ADF，捕捉真实可预测成分的相关系数 0.416，是一阶差分（0.073）的近 6 倍，固定系数场景下样本外 Sharpe 0.92 对 -0.06。

但它同时是一个比看起来脆弱得多的工具：截断窗口会在纯随机游走上伪造 73% 的 ADF 拒绝率，d* 跨样本标准差 0.138，τ 的一档变化能让记忆保留从 99.8% 掉到 29.2%，两种实现版本的相关系数只有 -0.10。这些都不是”实现细节”，而是会直接改变结论符号的东西。

下次有人跟你说”我做了分数阶差分，ADF 通过了”，正确的追问只有三个：τ 是多少，窗宽多少，你在随机游走上验过错误拒绝率吗。 前两个答不上来，结果不可复现；第三个答不上来，那个”通过”多半是截断变出来的。