Longstaff-Schwartz 最小二乘蒙特卡洛：给美式期权一个可落地的定价引擎 • halo 的技术博客

欧式期权有 Black-Scholes 封闭解，美式期权没有。原因很本质：美式期权可以在到期前任意时点行权，而”现在行权还是继续持有”是一个依赖未来的最优停止问题——你今天的决定取决于”如果我持有下去，未来能值多少”，而未来还没发生。这没有解析解。

结论先放这：Longstaff-Schwartz(2001) 的最小二乘蒙特卡洛（LSM）是给美式期权定价最通用、最接地气的引擎。它的思路极其 pragmatic——先模拟大量标的路径，然后从到期日倒着往回走，在每个行权日用最小二乘回归，用”当前标的价格 S”去估计”继续持有下去的价值”，只要”立即行权价值 > 继续持有价值”就在那条路径上提前行权。本文从零实现 LSM，画出提前行权边界与收敛曲线，并对照欧式价验证”美式价 ≥ 欧式价、提前行权溢价为正”。

和二叉树比，LSM 的最大卖点是维度：二叉树每多一个标的，网格节点数指数级膨胀，三个标的就基本跑不动；LSM 的路径数只随标的数线性增加，五六个标的的篮子期权照样能算。这也是为什么工业界给美式、百慕大、甚至带路径依赖的期权定价，几乎都首选 LSM 或其变体。

GBM 模拟的标的路径：美式看跌在 S<K 时进入价内，可能提前行权

一、为什么美式没有 BS 公式#

欧式期权只需在到期日比较”行权价 vs 现货”，现金流确定，于是 BS 用无套利复制给出了封闭解。美式期权多了一个最优停止时间 $\tau$ ：

$V_0 = \sup_{\tau\le T} \mathbb{E}^Q\!\left[e^{-r\tau}\max(K-S_\tau,0)\right]$

$\sup$ 对停止时间取，意味着你要对所有可能的行权时机找最优的那个——这在连续时间、多标的下没有封闭解。早期的办法是二叉树 / 有限差分，但那是维度灾难：标的一多（篮子期权、多资产雪球），网格立刻爆炸。

LSM 的聪明之处在于：蒙特卡洛天然支持高维和路径依赖，它把”最优停止”翻译成”在每个行权日做一次最小二乘回归”这样可计算的子问题。

换个角度理解：最优停止要求你”在不知道未来时决定现在”，而蒙特卡洛恰好给了你大量”已经发生的未来”——模拟出来的整条路径。于是你可以先看到每条路径最终值多少，再倒回去问”如果当时在某个价位行权，是不是比走到最后更划算”。回归做的就是这件”倒回去问”的事，且只对价内路径问，因为价外行权价值为 0、问了也是白问。

二、LSM 算法#

设定：标的服从 GBM， $M$ 个时间步， $N$ 条路径，行权价 $K$ ，无风险利率 $r$ 。

第 1 步：模拟路径。 对每条路径 $j=1..N$ ，从 $S_0$ 出发用 GBM 走到到期：

$S_{j,t+1} = S_{j,t}\exp\!\Big((r-\tfrac12\sigma^2)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z\Big),\quad Z\sim\mathcal N(0,1)$

第 2 步：初始化现金流。 到期日 $T$ 的 payoff 贴现到 $t=0$ ：

$\text{CF}_j = \max(K-S_{j,T},0)\,e^{-rT}$

第 3 步：从 $t=M-1$ 倒推到 $t=1$ （核心）。 对每个行权日：

只看价内路径 $\mathcal I = \{j: S_{j,t}<K\}$ （价外立即行权价值为 0，参与回归只会污染）
用基函数把未来的现金流对当前标的价格回归。本文用三次多项式（用 moneyness $x=S/K$ 提升数值条件）： $\phi(x) = [1,\; x,\; x^2,\; x^3]$ 在 $\mathcal I$ 上最小二乘拟合 $\text{CF}_{j\in\mathcal I}$ 对 $\phi(S_{j,t}/K)$ ，得到系数 $\beta$ ，于是继续持有价值 $\hat c(S) = \phi(S/K)\beta$
计算立即行权价值（贴现到 $t=0）：$ e_t = (K-S_{j,t}),e^{-rt\Delta t}$
对路径 $j\in\mathcal I$ ，若 $e_t > \hat c(S_{j,t})$ ，就提前行权：把 $\text{CF}_j$ 更新为 $e_t$
非价内、或不提前行权的路径，保留原来的（更晚行权/到期的）现金流

第 4 步：定价。 所有路径走完后，期权价格就是平均现金流：

$\hat V_0 = \frac1N\sum_{j=1}^N \text{CF}_j$

直觉：倒推时，回归给出”持有下去大概值多少”，只要有路径”现在行权比持有更值钱”，这条路径就在当下 lock in 利润。这就是最优停止的近似解。

三、从零实现（Python）#

下面这段代码与配图完全一致，可直接跑（经典 LS 参数 $S_0=36, K=40, r=6\%, \sigma=20\%, T=1$ ）：

import numpy as np

S0, K, r, sigma, T = 36.0, 40.0, 0.06, 0.20, 1.0
M = 50
dt = T / M

def simulate_paths(n_paths, seed=20260711):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    Z = rng.standard_normal((n_paths, M))
    S = np.zeros((n_paths, M + 1)); S[:, 0] = S0
    drift = (r - 0.5*sigma**2)*dt; vol = sigma*np.sqrt(dt)
    for i in range(1, M + 1):
        S[:, i] = S[:, i-1]*np.exp(drift + vol*Z[:, i-1])
    return S

def basis(x):
    return np.column_stack([np.ones_like(x), x, x**2, x**3])

def lsm_price(n_paths, seed=20260711):
    S = simulate_paths(n_paths, seed)
    CF = np.maximum(K - S[:, -1], 0.0) * np.exp(-r*T)   # 到期 payoff，贴现到 t=0
    for t in range(M - 1, 0, -1):
        itm = S[:, t] < K
        if not itm.any():
            continue
        x = S[itm, t] / K
        X = basis(x)
        beta, *_ = np.linalg.lstsq(X, CF[itm], rcond=None)   # 回归：继续持有价值
        cont = X @ beta
        exercise_t0 = (K - S[itm, t]) * np.exp(-r*t*dt)
        do_ex = itm.copy(); do_ex[itm] = exercise_t0 > cont
        CF[do_ex] = (K - S[do_ex, t]) * np.exp(-r*t*dt)        # 提前行权
    return CF.mean()

# 欧式看跌 BS 价（下界参考）
from math import log, sqrt, exp, erf
d1 = (log(S0/K) + (r+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T)); d2 = d1 - sigma*sqrt(T)
N = lambda z: 0.5*(1+erf(z/sqrt(2)))
eu_put = K*exp(-r*T)*N(-d2) - S0*N(-d1)

print(f"美式(LSM, 8万路径) = {lsm_price(80000):.4f}")
print(f"欧式(BS)          = {eu_put:.4f}   （美式≥欧式，提前行权溢价为正）")

python

跑出来：美式约 4.48，欧式约 3.84，提前行权溢价为正 ~0.64——这正是美式期权比欧式”贵”的那部分。

四、结果：提前行权边界与收敛性#

LSM 最有信息量的产物是提前行权边界 $S^*(t)$ ：在每个时点，股价高于某个临界值就不值得现在行权（持有更划算），低于它就该立刻行权。下图在某行权日把”继续持有价值”和”立即行权价值”画在一起，红色区域就是提前行权区：

某行权日：内在价值超过延续价值时提前行权（红色区域）

把每个时点的临界股价 $S^*(t)$ 连起来，得到一条随时间下降/上升的边界。对美式看跌，规律很稳：越临近到期，临界股价越高——因为越晚行权，剩下的”等待期权”价值越小，你越愿意在更高一点的股价上就把利润 lock in：

提前行权边界：越临近到期，越愿意在更高股价行权

最后是收敛性。LSM 价格随模拟路径数增加稳定收敛，且始终 ≥ 欧式价（无套利的下界约束被 LSM 天然满足）：

LSM 价格随路径数收敛，且始终 ≥ 欧式价（提前行权溢价为正）

五、真实陷阱（别拿 LSM 当黑箱）#

基函数选择：多项式阶数太低 → 拟合不足，提前行权边界歪；太高 → 过拟合 + 数值病态（高次项量级爆炸）。用 moneyness $S/K$ 而不是原始 $S$ 做回归量是关键，必要时换 Legendre / 切比雪夫基。一般 3 次足够，超过 5 次要谨慎。
只在价内回归：价外路径的立即行权价值为 0，绝不该进回归样本，否则会把”0 现金流”当成信号污染 continuation 估计。
蒙特卡洛误差：每次模拟路径不同，价格有随机误差。严肃报告要带标准误，或用 对偶变量 / 控制变量 降方差，或用 LSM 的上下界（Andersen-Broadie）收窄置信区间。
高维扩展：LSM 对多标的美式（篮子期权）依然有效，但基函数要覆盖交叉项（如 $S_1S_2$ ），维度上升后回归变难、需要更多路径。
利率与分红：模型用了常数 $r$ 。若标的带股息率 $q$ ，漂移应改成 $(r-q-\tfrac12\sigma^2)$ ；常数 $r$ 假设在利率曲线陡峭时不成立，要用期限结构贴现。
边界是概率性的：LSM 用回归近似 continuation，边界不是硬阈值——深度价内可能过早、深度价外可能过晚行权，需要足够路径数才能让边界稳定。

结论#

LSM 把”最优停止”这个没有封闭解的问题，翻译成”每个行权日做一次最小二乘回归”这样朴素可算的子问题，是美式 / 百慕大 / 路径依赖期权最通用的定价引擎——它天然支持高维、天然满足”美式 ≥ 欧式”的无套利约束。记住它给的是估计值而非精确解：基函数形态和路径数量决定了精度，价外路径不能进回归，正式交付要带蒙特卡洛标准误。把它当成”用回归逼近最优停止”的工具，而不是能凭空给出精确美式价的神谕。

工程上还有两个常用增强：一是用对偶变量（antithetic variates）让正负扰动路径成对出现，方差能砍掉一大截；二是 Andersen-Broadie 上下界，用一组”嵌套”模拟给出价格的高估与低估，让你在交付前就能报告一个置信区间，而不是只给一个会随随机种子抖动点儿的数字。