宏观因子定价模型：把收益率曲线拆成水平/斜率/曲率风险 • halo 的技术博客

一条收益率曲线有几十个期限点（3 月、1 年、5 年、10 年、30 年……），看起来是高维对象。但做过利率的人都知道：整条曲线的变动，几乎只用三个数字就能解释。这就是「宏观因子定价」在固定收益里的经典形态——把收益率曲线投影到少数几个共同因子上，再对这些因子定价、对冲、预测。

最干净的工具是 Nelson-Siegel（1987）模型。它把期限 $\tau$ 上的收益率写成三个宏观因子的线性组合：

$y(\tau) = \beta_0 + \beta_1 \frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda} + \beta_2\left(\frac{1-e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda} - e^{-\tau/\lambda}\right)$

$\beta_0$ = 水平（level）：长端水平，所有期限同载，代表「整体利率水位」；
$\beta_1$ = 斜率（slope）：短端高、长端趋于 0，代表「陡峭/倒挂」；
$\beta_2$ = 曲率（curvature）：中端凸、两端负，代表「 belly 相对两端」的扭曲；
$\lambda$ = 衰减参数，控制曲率峰值出现的位置（本文取 $\lambda=2.5$ ）。

本文用一段 10 个期限、约 12 年的日度数据，亲手把曲线拆开，并证明：收益率曲线的变动是三维的——前 3 个主成分恰好对应水平/斜率/曲率，累计解释 99.6% 的跨期限波动。

一、为什么要把曲线拆成因子#

如果你要管理一个债券组合，面对 30 个期限点，逐个对冲是不可能的。但三个因子就够了：

水平因子动，意味着「整体加息/降息」，所有久期一起动；
斜率因子动，意味着「短端相对长端」变化，曲线陡峭化或平坦化；
曲率因子动，意味着「中段相对两端」变化，蝴蝶（butterfly）交易。

把曲线投影到这三个因子上，组合的风险就从高维降成三维，定价、对冲、预测都变得可操作。这正是宏观因子定价的精髓：用少数共同因子逼近高维对象的变动。

二、三个因子的期限载荷#

Nelson-Siegel 的优雅之处在于，三个因子对各个期限的「影响力（载荷）」是固定的函数形状：

$\text{level}_i = 1,\qquad \text{slope}_i = \frac{1-e^{-x_i}}{x_i},\qquad \text{curv}_i = \frac{1-e^{-x_i}}{x_i} - e^{-x_i},\quad x_i=\tau_i/\lambda$

水平载荷恒为 1（所有期限平等）；斜率载荷从 1 单调降到 0（短端敏感、长端不敏感）；曲率载荷在中期达到峰值、两端为负（中段最敏感）。下面的载荷曲线一眼就能看出三个因子的「作用范围」。

三因子的期限结构载荷：斜率递减、曲率中端凸

三、Python：合成曲线 + 最小二乘反拟合#

下面这段代码生成合成收益率曲线，并用最小二乘把每天的曲线「反拟合」回三因子。真实落地时，这三因子就是你对任意一天曲线做的回归系数。

import numpy as np

taus = np.array([0.25, 0.5, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 20, 30])   # 期限（年）
lam = 2.5

def ns_loadings(tau, lam=lam):
    x = tau / lam
    L0 = np.ones_like(tau)                 # level
    L1 = (1 - np.exp(-x)) / x              # slope
    L2 = L1 - np.exp(-x)                   # curvature
    return np.vstack([L0, L1, L2]).T       # T × 3

# 三因子：慢变过程（水平带趋势、斜率/曲率均值回复）
T = 252 * 12
rng = np.random.default_rng(7)
b0 = np.zeros(T); b1 = np.zeros(T); b2 = np.zeros(T)
b0[0], b1[0], b2[0] = 0.035, 0.012, 0.0
for t in range(1, T):
    b0[t] = 0.992*b0[t-1] + 0.008*0.035 + rng.normal(0, 0.0006)
    b1[t] = 0.95 *b1[t-1] + 0.05 *0.012 + rng.normal(0, 0.0009)
    b2[t] = 0.90 *b2[t-1] + rng.normal(0, 0.0011)
L = ns_loadings(taus)
Y = L @ np.vstack([b0, b1, b2]) + rng.normal(0, 0.0004, size=(len(taus), T))   # 加观测噪声
Y = Y.T                                     # T × N

# 用最小二乘把每天的曲线反拟合成三因子
bhat = np.zeros((T, 3))
for t in range(T):
    bhat[t] = np.linalg.lstsq(L, Y[t], rcond=None)[0]
Yfit = bhat @ L.T
r2 = 1 - ((Y - Yfit)**2).sum(1) / ((Y - Y.mean(1, keepdims=True))**2).sum(1)

python

四、拟合优度：R² 中位数 0.99#

把反拟合出的曲线叠回原始观测点，拟合非常好。本文合成数据下，NS 拟合的中位数 R² = 0.9921（最差一天也有 0.8481）——也就是说，三个因子就几乎完整还原了整条曲线的形状。下面是某天真实观测（散点）与 NS 拟合（实线）的对比。

Nelson-Siegel 三因子拟合收益率曲线

这里有个诚实提醒：合成数据的观测噪声很小（0.04bp 量级），所以 R² 接近 1 是「设计如此」。实盘里，短端受流动性、repo、票息效应干扰，拟合 R² 会低一些，但三个因子解释 95%+ 的曲线变动仍是业界共识。

五、三个因子随时间怎么走#

把反拟合出的 $\hat\beta_0, \hat\beta_1, \hat\beta_2$ 画成时间序列，就是三条「宏观状态」曲线：水平随加息/降息周期缓慢移动，斜率在陡峭与倒挂间往复，曲率小幅波动。它们就是曲线变动的「底层驱动」。

宏观三因子随时间演化：水平/斜率/曲率各自缓慢移动

六、PCA 验证：曲线是三维的#

最硬的证据来自主成分分析。把全样本收益率矩阵（T×N）做协方差分解，看前几个主成分解释多少跨期限波动：

Yc = Y - Y.mean(axis=0)
cov = np.cov(Yc, rowvar=False)
eigval, eigvec = np.linalg.eigh(cov)
order = np.argsort(eigval)[::-1]
var_exp = eigval[order] / eigval[order].sum()
cum_var = np.cumsum(var_exp)

python

结果是：PC1 解释 96.83%、PC2 解释 2.53%、PC3 解释 0.23%，前 3 主成分累计 99.60%。 换句话说，整条曲线 99.6% 的变动落在三个维度里。而且这三个主成分的形状，恰好对应 NS 的水平、斜率、曲率载荷——PCA 从数据里「无监督」地重建出了 Nelson-Siegel 从经济学里「有监督」设定的三因子。这就是宏观因子定价的根基：收益率曲线的低秩结构，是数据本身告诉你的，不是强加的。

收益率曲线是三维的：前 3 主成分≈水平/斜率/曲率

七、真实陷阱（最容易翻车的地方）#

$\lambda$ 不是免费的。 NS 的载荷形状依赖 $\lambda$ 。固定 $\lambda=2.5$ 是惯例，但不同市场、不同段（短端 vs 长端）最优 $\lambda$ 不同；更稳健的做法是把 $\lambda$ 也作为拟合参数（Svensson 扩展加了第 4 个因子和第 2 个衰减参数）。
长端样本稀疏、短端噪声大。 30 年、20 年期限流动性差，观测点本身带买卖价差噪声，拟合会被长端 outlier 拉偏。实务要对不同期限点加权（流动性权重）。
因子是「统计因子」不是「定价因子」。 NS/PCA 给出的是描述性因子（曲线怎么动），不等于风险溢价因子（曲线为什么动、该赚什么钱）。要把它们变成定价因子，还需接上期限溢价、预期假说等经济约束（如 affine term structure model）。
水平因子与通胀/政策强相关，但滞后。 $\beta_0$ 的缓慢移动反映货币政策周期，用它预测短端利率要小心时变——加息周期里水平因子的「趋势」会突然被政策转向打破（regime shift）。
截面 vs 时序混淆。 本文的 R² 是横截面拟合（同一天不同期限），证明「曲线形状能用 3 因子描述」；但它不证明「因子能预测未来收益率」。预测需要单独的时序检验，两者不能混为一谈。

八、小结#

宏观因子定价在利率市场的标准答案，就是用 Nelson-Siegel 把收益率曲线拆成水平、斜率、曲率三个因子：水平是整体水位，斜率是陡峭/倒挂，曲率是 belly 扭曲。本文用合成数据演示，三因子 NS 拟合 R² 中位数达 0.99，而 PCA 从数据里无监督地重建出同样的三维结构（前 3 主成分解释 99.6% 波动）。把高维曲线压成三维因子，债券组合的风险管理、对冲与预测才真正可操作——这就是「用少数共同因子逼近高维对象」的宏观因子定价思想。

本文曲线由 Nelson-Siegel 三因子 + 观测噪声合成，量级仅用于演示方法。实盘落地请用真实国债收益率（如 FRED 的 DGS 序列、或中国国债收益率曲线），把 $\lambda$ 作为拟合参数或改用 Svensson 四因子，并对长端流动性差的点降权。本文仅作研究方法示例，不构成任何投资建议。