最优执行 Almgren-Chriss：把大单拆成最优执行流

上一篇《Almgren-Chriss 最优执行》把核心讲清了：把永久冲击、临时冲击、持仓波动风险写进一个目标函数，解出来不是匀速、也不是一股脑清仓，而是一条由「你多怕波动」决定的轨迹。那篇聚焦 TWAP 对比、Pareto 前沿和蒙特卡洛。

本篇不重复那些，而是把同一套框架往四个工程角度打透——这是实盘落地真正要回答的问题：

1. 执行期限 T 该取多少天？ 一天卖完和一个月卖完，成本结构天差地别。
2. 最优的「交易速率」长什么样？ 不是「每步卖多少股」，而是「每秒钟卖多少股」——这才是算法交易真正下单的东西。
3. VWAP / TWAP 这种成交量加权基准，和 AC 最优差在哪？ 经纪商最爱推 VWAP，但它是最优的吗？
4. 调度偏了一点点，要付出多少代价？ 你算好的轨迹，真到了盘口不可能精确执行，抖一点会怎样？

一、连续时间闭式解：交易速率 v*(t)#

回到 AC 设定。要在期限 T 内卖出总量 X，分 N 步（N 很大时就是连续时间）。价格受永久冲击 η·v 和临时冲击 τ·v 影响，持仓 x(t) 暴露在市场波动 σ 下。目标是

min_{v(·)}  E[cost] + (γ/2)·Var[cost]

Almgren & Chriss (2001) 在连续时间下给出漂亮闭式解：

x*(t) = X · sinh(κ·(T−t)) / sinh(κ·T)          # 库存轨迹
v*(t) = − dx*/dt = X·κ·cosh(κ·(T−t)) / sinh(κ·T)  # 卖出速率
κ = sqrt( γ·σ² / (2τ) )                          # 由风险厌恶+波动+临时冲击决定

κ 是整条曲线的「形状旋钮」：κ 越大（越怕波动），速率 v*(t) 越前置（开头猛卖、后面收尾）；κ→0 时 v*(t)→X/T，就是匀速。注意 x*(T)=0、Σv*·dt=X——保证到期清仓。

import numpy as np

X = 1_000_000.0      # 要卖 100 万股
S0 = 100.0
eta = 8e-8           # 永久冲击系数 ($/股^2)
tau = 5e-7           # 临时冲击系数 ($/股^2)
gamma = 2e-7         # 风险厌恶
N = 50               # 离散步数(连续近似)
daily_vol = 0.02

def ac_optimal(T):
    """连续时间最优速率 v*(t); 返回库存 x[0..N] 与卖出 n[1..N]"""
    dt = T / N
    sigma = daily_vol * S0 / np.sqrt(T)              # 期内日波动
    kappa = np.sqrt(gamma * sigma ** 2 / (2 * tau)) + 1e-12
    t = np.arange(1, N + 1) * dt
    x_mid = X * np.sinh(kappa * (T - t)) / np.sinh(kappa * T)
    x = np.concatenate([[X], x_mid])                 # 长度 N+1, 末尾≈0
    n = x[:-1] - x[1:]                               # n_k = x_{k-1} - x_k
    n = np.clip(n, 0, None)
    n = n / n.sum() * X                              # 严格归一: Σn = X
    x = np.concatenate([[X], X - np.cumsum(n)])
    return x, n, dt, sigma, kappa

def cost_stats(x, dt, sigma):
    n = x[:-1] - x[1:]
    E = 0.5 * eta * X ** 2 + tau * np.sum(n ** 2)     # 期望冲击成本
    Var = sigma ** 2 * dt * np.sum(x[1:] ** 2)       # 持仓暴露的方差
    return E, Var

二、执行期限 T 的权衡：拖久≠更便宜#

第一直觉可能是「慢慢卖冲击小，所以 T 越长越好」。错。T 越长，每步卖得越少、临时冲击 τ·Σn_k² 确实下来，但你的仓位在更长时间里暴露在波动下，波动风险 σ²·Σx_j² 反而涨上去。两个力反向，于是 T 和成本之间是权衡不是单调。

Ts = np.array([0.25, 0.5, 1.0, 2.0, 4.0, 8.0, 16.0, 32.0])
E_T, S_T = [], []
for T in Ts:
    x, _, dt, sigma, _ = ac_optimal(T)
    E, V = cost_stats(x, dt, sigma)
    E_T.append(E / (X * S0) * 1e4)                   # 期望冲击 (bps)
    S_T.append(np.sqrt(V) / (X * S0) * 1e4)          # 波动风险 (bps)

实测（bps）：T=0.5 天冲击 5.0、风险 110.7；T=8 天冲击 5.8、风险 71.7。冲击成本是缓缓下降的，但波动风险在 T 极短时极高（仓位久拖不决），存在一个「既不太急也不太久」的平衡点。结论：T 不是越长越好，它和你的风险预算 γ 一起决定——γ 大（怕波动）就别拖，γ 小（不在乎）可以慢慢卖。

三、最优交易速率的形状：越怕波动越前置#

把不同 T 下的最优速率 v*(t) 和库存 x(t) 画出来：

for T, col in [(0.5, "orange"), (2.0, "blue"), (8.0, "green"), (32.0, "purple")]:
    x, n, dt, _, _ = ac_optimal(T)
    rate = n / dt                                    # 交易速率 (股/步)
    # 左图: rate vs 进度; 右图: x vs 进度

两条规律很清楚：

• 库存轨迹 x(t) 越短越陡：T=0.5 天那条几乎一条直线砸到 0（一天内清仓），T=32 天那条缓坡下行（慢慢磨）。
• 速率 v(t) 全都是「前置型」的*：开头速率最高、结尾趋于 0。这是因为 cosh(κ(T−t))/sinh(κT) 在 t 小的时候最大。换句话说，AC 最优天然是「早卖早脱手库存」——它宁可开头吃点临时冲击，也要尽快把暴露在波动里的库存卸掉。

注意：上一篇里 γ→0 退化为匀速 TWAP；本篇的连续解在 γ 很小时同样平滑成匀速，但只要有 γ>0，曲线就一定前置。这是 AC 框架的固有结构，不是调参凑出来的。

四、VWAP 基准 vs AC 最优：谁更优？#

经纪商推的 VWAP（成交量加权平均价）策略，本质是「按市场成交量分布拆单」——开盘收盘成交量大就多卖、午间少卖。这合理吗？和 AC 最优比一比（取 T=2 天）：

def intraday_shape(N):
    k = np.arange(N)
    u = 0.5 - 0.5 * np.cos(2 * np.pi * (k + 0.5) / N)   # U 形日内节律
    return (0.4 + 0.6 * u) / (0.4 + 0.6 * u).mean()

def vwap_schedule(T):
    w = intraday_shape(N); w = w / w.sum()
    n = X * w
    x = np.concatenate([[X], X - np.cumsum(n)])
    return x, n, T / N

x_ac, n_ac, dt_ac, sigma_ac, _ = ac_optimal(2.0)
x_vw, n_vw, dt_vw = vwap_schedule(2.0)

成本拆解（T=2 天，bps）：

VWAP 的波动风险比 AC 高约 14bps——因为它按成交量而非风险排布，午间成交量低时它还捏着库存，而这些库存正暴露在波动里。AC 最优则纯粹按「风险最小」排布，所以风险更低，冲击成本几乎打平。一句话：VWAP 是「跟着流动性走」的工程启发式，AC 是「跟着风险走」的优化解；当你的目标就是控风险时，AC 严格更优。

（实际中 VWAP 仍有存在价值：它把「市场冲击」和「被对标基准」两件事一起解决了——很多考核就是看你跑赢 VWAP 多少。这是另一层目标，不在 AC 风险框架内。）

五、调度偏一点，代价多少？#

算好的轨迹，盘口不可能精确执行。用单参数家族 n_k ∝ exp(λ·k)（λ=0 匀速，λ>0 前置，λ<0 后置）扫描偏离，看目标函数怎么变：

lams = np.linspace(-2.0, 2.0, 41)
dt = 2.0 / N; sigma = daily_vol * S0 / np.sqrt(2.0)
obj = []
for lam in lams:
    w = np.exp(lam * np.arange(N)); n_f = X * w / w.sum()
    x_f = np.concatenate([[X], X - np.cumsum(n_f)])
    E_f, V_f = cost_stats(x_f, dt, sigma)
    obj.append(E_f + 0.5 * gamma * V_f)

曲线在 AC 最优点（λ≈最优前置斜率）处取到明显的最小值，往任意一侧偏都立刻抬升。这是 AC 框架的「最优性」最直接的证据：你算出的轨迹不是众多可行解里的一个，而是帕累托前沿上唯一的最优点；偏一点就多付一点。 这也解释了为什么生产环境要用执行算法（POV/IS 等）持续把实际成交拉回最优轨迹，而不是算一次就撒手。

六、真实陷阱（别直接照抄）#

1. 线性冲击是最大简化。真实冲击非线性：大单冲击会加速恶化（常加 n_k^γ, γ>1）。线性模型系统性低估大单成本，最优轨迹因此「卖得太猛」。生产要用非线性/分段冲击校准。

2. σ 被当成常数且期限均摊。本文 σ = daily_vol·S0/√T 假设波动在 T 内平稳，但盘中波动有 U 形（开盘收盘大）、危机骤升。若把波动当常数，优化会在其实很危险的时段还慢悠悠卖。进阶用时变波动或盘口深度动态调轨迹。

3. 没有流动性约束。模型假设想卖多少就能卖多少（只是贵）。真实盘口有深度上限，单笔吃穿档位触发更狠冲击甚至挂不进。要加 n_k ≤ 盘口可容量 约束。

4. VWAP 不等于 AC 最优，但也不该被神化。VWAP 赢在「对标基准」和「隐藏意图」，AC 赢在「风险最优」。选哪个取决于你的考核目标——若考核是「跑赢 VWAP」，那 AC 最优反而不是最优（它不优化基准差）。两层目标别混为一谈。

5. γ 和冲击参数都要校准且会漂移。η、τ 随标的流动性、市场状态变；γ 随风险预算变。用历史冲击回归定期重估，别拿常数用一年。

6. 调度误差不可忽略但可对冲。图 4 证明偏一点就多付，所以生产环境必须有「执行偏差监控 + 闭环修正」，并叠加一个方向判断层（认为要跌就前置更狠）——但那是决策层，别和成本优化双重计数。

七、小结#

Almgren-Chriss 的美，在于它把「执行」从拍脑袋变成一道有闭式解的优化：永久冲击、临时冲击、持仓波动风险写进一个目标，解出来是一条由 κ（=√(γσ²/2τ)）决定的交易速率 v*(t)。本文把它往四个工程角度打透：

• T 不是越长越好——冲击↓但波动风险↑，和 γ 一起权衡；
• 最优速率天然前置——早卖早卸库存，这是框架固有结构；
• VWAP 是流动性启发式，AC 是风险最优解——目标不同，别混；
• 最优点是唯一的——偏一点就多付，所以必须闭环执行。

从「怎么选权重」（鲁棒优化）、「怎么把仓位变成交」（本篇）、到「怎么分混沌与秩序」（熵率状态识别）——量化的每一环，都是在给「看不见的市场结构」找一个可计算的替身。