已实现波动率双幂变差:用 Bipower 检验把连续波动与跳跃剥开

某天收盘,你算出来「今日已实现波动率 3.1%」。昨天还是 1.2%。

你第一反应是:「市场出大事了,这是个跳跃。」

但等等——3.1% 里有几成是连续的日内波动(正常该有的),又有几成是真正的瞬时跳跃(开盘跳空、盘中闪崩、重大新闻)?如果分不开,你既没法给期权准确定价(跳跃风险要单独定价),也没法定量「今天到底有多异常」。

已实现方差 RV = Σ 收益² 做不到这一点:它把连续扩散和跳跃都装进平方和里,对跳跃极度敏感。一个 5 倍 sigma 的跳,平方后贡献 25 倍方差。

双幂变差(Bipower Variation, BV) 是 Barndorff-Nielsen & Shephard(2004/2006)的答案:它用「相邻收益绝对值的乘积」代替平方和,对跳跃免疫,只干净地估计连续部分的积分方差。本文从零复现 BV,并演示怎么用它把跳跃从波动里剥出来。

一、为什么 RV 分不清连续和跳跃#

高频对数收益离散化:

$dr_t = \sigma_t\,dW_t + J_t\,dN_t$

其中 $\sigma_t dW_t$ 是连续扩散,$J_t dN_t$ 是泊松跳跃(瞬时位移)。

• 真实连续方差(积分方差):$IV = \int_0^1 \sigma_t^2\,dt$
• 已实现方差:$RV = \sum_{t=1}^{n} r_t^2 \xrightarrow{p} IV + \sum J_t^2$

也就是 $RV = IV + \text{跳跃变差}$。RV 不仅估了连续部分,还把跳跃的平方也收了进来——所以 RV 永远 ≥ IV,且偏差完全由跳跃造成。

问题就在这:你看到 RV 大,不知道是 IV 大了,还是跳大了。

二、双幂变差:用绝对值乘积「跳过」跳跃#

BV 的定义是:

$BV = \mu_1^{-2} \sum_{t=2}^{n} |r_t|\,|r_{t-1}|, \qquad \mu_1 = \sqrt{2/\pi} \approx 0.7979$

为什么它能只估连续部分?关键点:

1. 用绝对值而非平方:平方对极端值(跳跃)超级敏感,绝对值温和得多;
2. 取相邻两个 bar 的乘积 $|r_t||r_{t-1}|$:在连续扩散下,$E[|r_t||r_{t-1}|] \approx \mu_1^2 \cdot IV\,/n$(用正态绝对值的一阶矩 $\mu_1$ 校正);
3. 跳跃几乎不可能同时落在相邻两个 bar:如果你只在某个 bar 跳一次,那么乘积里最多一个因子含跳,但 $|r_t||r_{t-1}|$ 的概率极限仍由连续部分主导,跳跃项以更小速率消失——于是 $BV \xrightarrow{p} IV$,完全不受跳跃影响。

一句话:BV 把「平方」换成了「相邻绝对值乘积」,跳跃在乘积里被稀释掉了,连续方差被保留。

三、合成高频数据:GBM + 泊松跳跃#

造一组日内 5 分钟(78 根)对数收益,含连续扩散 + 随机泊松跳跃:

import numpy as np

MU1 = np.sqrt(2 / np.pi)            # 0.7979
N_INTRA = 78                        # 日内 5 分钟 bar 数
SIGMA_DAY = 0.013                   # 日连续波动 1.3%
SIG_INT = SIGMA_DAY / np.sqrt(N_INTRA)
SIG_JUMP = 0.013
LAMBDA = 0.45                       # 每日跳跃强度

def sim_day(jump=True, seed=None):
    r = np.random.default_rng(seed)
    cont = SIG_INT * r.normal(size=N_INTRA)
    k = None
    if jump and r.uniform() < LAMBDA:
        k = r.integers(5, N_INTRA - 1)
        cont[k] += r.normal(0, SIG_JUMP)   # 盘中某 bar 瞬时跳
    return cont, k

def rv(x):  return np.sum(x ** 2)
def bv(x):  return (1.0 / MU1 ** 2) * np.sum(np.abs(x[1:]) * np.abs(x[:-1]))

真实连续日方差 $IV = \sigma^2 = 0.013^2 \approx 0.00017$。

四、单次演示:含跳日 RV/BV 立刻暴露#

取一个含跳日:

day, k = sim_day(jump=True, seed=7)
RV_d, BV_d = rv(day), bv(day)
print(RV_d, BV_d, RV_d / BV_d, k)
# 0.00019  0.00015  1.249  45

图 1:上=累计对数价格,第 45 根 bar 的红点是一个瞬时跳(连续扩散之外的竖直位移);下=5 分钟收益,该 bar 收益明显异常。但光看这根红 bar,你分不清「这是跳、还是连续波动的尾部」——得靠 BV 来拆。

关键读出:

• RV = 0.00019(含跳,偏大);
• BV = 0.00015(去掉跳,只估连续,逼近真实 IV=0.00017);
• RV/BV = 1.249 > 1——比值越偏离 1,跳跃越可疑。

五、蒙特卡洛:无跳日 vs 含跳日系统性分离#

跑 200 天(约 47.5% 的天含跳),对比两类:

M = 200; RVs, BVs, ratios, has_jump = [], [], [], []
for i in range(M):
    x, k = sim_day(jump=True, seed=100 + i)
    RVs.append(rv(x)); BVs.append(bv(x)); ratios.append(rv(x) / bv(x))
    has_jump.append(k is not None)

图 2:左=BV(连续)对 RV(含跳)散点,对角虚线是 RV=BV 基准线,含跳日(红)整体落在线上方;右=RV/BV 比值分布,含跳日(红)系统性右移。

实跑数字:

• 无跳日 RV/BV ≈ 1.023,紧贴 1——证明 BV 在无跳时与 RV 一致,干净还原 IV;
• 含跳日 RV/BV ≈ 1.481,显著右偏——跳跃把 RV 抬离 BV;
• BV 全样本均值 0.00018,几乎等于真实 IV=0.00017——BV 的连续方差估计是准的;
• RV 全样本均值 0.00023 > IV——正是跳跃贡献的部分。

六、跳跃检验与波动分解#

把 RV/BV 当成跳跃「筛子」,阈值取 1.10 试检:

• 含跳日命中 59/95(召回率 62%);
• 无跳日误报 21/105(误报率 20%)。

召回不算高、误报不算低——这正是朴素阈值法的软肋,也是 BNS 要建正式检验统计量的原因(见下一节)。

更准确的做法是直接分解:

$JV = \max(RV - BV,\; 0) \qquad\text{(跳跃变差)}$ $RV = BV + JV$

图 3:上=每日 RV/BV 时序,越过橙色阈值 1.10 的红点判为跳跃日;下=把每日总方差拆成蓝色(连续 BV)与红色(跳跃 JV)——一眼看出「波动哪天来自跳、哪天只是连续颠簸」。

七、更严谨:BNS 正式跳跃检验统计量#

朴素比值阈值依赖经验,且有限样本下方差大。BNS 给出带渐近零分布的正式检验: