小波相干性板块联动：用交叉小波看板块共振的时频结构 • halo 的技术博客

「科技和金融最近在共振吗？」——传统回答是算一个 Pearson 相关系数。但相关系数有一个致命缺陷：它只有一个数，既不分时间，也不分周期。两只股票可能在危机里高度同步、平时各走各的；也可能在「月度」周期上共振、在「日度」噪声上互不相关。把这一切压成一个 0.6，你就丢掉了所有结构信息。

小波相干性（Wavelet Coherence） 解决的就是这件事：它把「相关性」展开成一张 时间 × 频率 的地图，让你看见「在哪个时段、哪个周期尺度上，两板块在共振」。本文用 numpy 从零实现 à trous MODWT（db4 核）和交叉小波相干性，并在两只合成板块上验证。

1. 数据：一只会「发病」的联动#

我们合成两只板块日收益 tech 和 finance，都受一个共同市场因子驱动，但联动强度随时间变化：

平时（非危机）：共同暴露 β=0.3、特质波动大 → 相关仅 0.22
危机窗口（第 450–650 日）：β 跳到 0.9、特质波动骤降 → 相关飙升到 0.97（本例先不人为掺入领先-滞后，看最干净的同相共振）

两只板块日收益序列

肉眼只能看出「中间那段好像一起动了」。要精确定位、还要看是「哪个周期」在动，就得上小波。

2. à trous MODWT：把序列拆进尺度#

经典 DWT 会「砍掉」一半样本（下采样），不适合做两个序列的对齐相干。我们用 à trous（“带孔”）平稳小波变换——它在每个尺度 j 给系数插入 2^(j-1)-1 个零，使得所有尺度系数都和原序列等长、时间对齐。采用加性分解（细节 = 相邻两级平滑之差），重构误差仅 1.7e-17（冗余变换可精确还原）：

import numpy as np

h = np.array([0.483, 0.837, 0.224, -0.129, -0.129, -0.224, 0.837, -0.483])  # db4 低通形状
h = h / h.sum()                                   # 归一化为平滑核(Σ=1)

def a_trous(coeffs, j):
    if j <= 1: return np.array(coeffs, float)
    step = 2**(j-1)
    out = np.zeros((len(coeffs)-1)*step + 1); out[::step] = coeffs
    return out

def cconv(y, filt):                               # 周期卷积(FFT)
    L = len(y); fz = np.zeros(L); fz[:len(filt)] = filt
    return np.fft.ifft(np.fft.fft(y) * np.fft.fft(fz)).real

def modwt(y, J):                                  # 加性 à trous
    V = [y - y.mean()]
    W = {}
    for j in range(1, J+1):
        Vj = cconv(V[-1], a_trous(h, j))          # 逐级平滑
        W[j] = V[-1] - Vj                         # 细节 = 相邻两级平滑之差
        V.append(Vj)
    return W, V[-1]                                # 重构: y-mean = V_J + Σ W_j

python

W[j] 就是第 j 尺度的带通细节系数；它在全部尺度上与原始序列等长，正好拿来两两比对相干性。

3. 交叉小波相干性 R(j,t)#

对每个尺度 j、每个时刻 t，交叉小波相干性定义为

$R(j,t) = \frac{\bigl|S(W_x^{(j)}W_y^{(j)})(t)\bigr|^2}{S\!\bigl((W_x^{(j)})^2\bigr)(t)\;S\!\bigl((W_y^{(j)})^2\bigr)(t)}$

其中 S(·) 是时间方向上的高斯平滑（窗口 σ=12 日），作用是压制单点抖动得到「局部相干」。分子是两序列尺度系数乘积的平滑（交叉小波功率），分母是各自功率的乘积——本质就是「逐尺度、逐时刻的局部相关系数」，取值范围 [0,1]。

算出来就是下面这张时-频地图：红色 = 共振强。可以清楚看到危机窗口（白色竖带）在全部尺度上同时亮起，正是「板块共振」的时频指纹；非危机区域整体偏暗。

交叉小波相干性时频热图

4. 两板块共享的尺度能量结构#

相干性高，前提是两序列在同一尺度上有「同构」的波动。把每个尺度的平均细节系数平方（能量）画出来，科技与金融在各尺度几乎叠在一起——共同市场因子的波动被两个板块同步吸收（低频尤其明显）：

MODWT 尺度能量谱对比

5. 相干性 vs 滚动相关：局部化的价值#

把「中尺度（j=3~5，约 8–64 日）平均相干性」和「60 日滚动 Pearson 相关」叠在一起，差别一目了然：滚动相关被固定窗口平滑，危机信号被前后 30 天稀释，峰值温吞；而小波相干性精准锁死危机窗口，峰起峰落与真实 regime 完全对齐。

尺度平均相干性 vs 滚动相关

本例量化结果：危机窗口平均相干性 0.50，非危机 0.09——差距一倍以上，而滚动相关只能给一个被稀释的中间值。

6. 实战提醒（诚实版）#

相位敏感（对照实验）：作为验证，我们人为让 finance 滞后 tech 3 天重算——危机平均相干性从 0.50 掉到 0.14，而相关系数仍有 0.74。相位差直接压低相干性，说明小波相干性同时编码「幅度相关 + 相位对齐」。想看谁带谁，对交叉小波做 Hilbert 变换取相位即可（相位箭头方向即领先/滞后）。
边界效应：小波在序列两端（约几个最大尺度的宽度）不可靠，画热力图时边缘要打折扣。
平滑窗口 σ：σ 越大相干越平滑但分辨率越低，是偏差-方差权衡；本例 σ=12 日。
本文是合成数据：真实板块（沪深300 行业指数、美股 sector ETF）的联动是时变且多因子的，相干性地图会看到多个时段多个尺度的亮带，比本例更「碎」，但读法完全一致。

小结#

相关系数只给一个数，小波相干性给一张 时间 × 频率 的共振地图。用 numpy 从零实现 à trous MODWT(db4 核) 与交叉小波相干性，我们在一对「平时弱相关、危机强相关」的合成板块上，把共振精确锁定到危机窗口（平均相干性 0.50 vs 0.09），并看出它横跨全部尺度。完整实现约 30 行，四张图全部真实计算。