标签： #粗糙波动率

2014 年 Gatheral-Jaisson-Rosenbaum 的《Volatility is Rough》用一个惊人简单的标度回归推翻了三十年的建模共识：对数波动率的增量满足单参数标度律 ζ(q)=qH，而全球市场估出的 H 普遍在 0.05-0.15——波动率路径比布朗运动粗糙得多，既不是经典 SV 模型假设的 H=0.5，更不是长记忆文献猜想的 H>0.5。本文用 Python 从零实现分数布朗运动模拟、复现标度回归并从模拟数据中精确恢复 H，解释粗糙波动率为何一击命中经典模型三十年解释不了的短端 ATM skew 幂律爆炸，并实现 Nuzman-Poor 分数核预测器与 AR/HAR 基准对比。最后厘清最容易误解的一点：H 小意味着反持久而非长记忆，粗糙性与波动率聚类是两个不同尺度的现象（高阶）。

经典随机波动率把波动率当成普通布朗运动(H=1/2)，所以短端隐含波动率斜度只该 ∝ 1/√T。但真实股权微笑短端比这还陡得多——模型漏了什么？Gatheral-Jaisson-Rosenbaum(2014) 的答案是：波动率不是平滑的，它是「粗糙」的，Hurst 指数 H≈0.1。本文用分数布朗运动重写波动率的记忆，自包含 Monte Carlo 实跑：① 粗糙(H=0.1)路径锯齿状、平滑(H=0.5)温和漂移；② 平均 variogram 回收 H≈0.11（对照 H=0.5 回收≈0.47，二者都受小样本滞后偏误轻微下压）；③ 粗糙 Bergomi 短端偏度 ∝ T^{H−1/2}：T=0.05 年时 4.18、T=2.0 年时仅 0.95，短端陡约 4.4 倍。附完整 Python 与六类真实陷阱（高阶）。