做市商库存风险与 Glosten-Milgrom 模型：报价如何随信息调整 • halo 的技术博客

买卖价差（bid-ask spread）是市场里最普遍的现象之一，但它在学术上有个经典之问：价差从哪里来？ 一种朴素答案是「做市商要赚手续费」。Glosten 与 Milgrom 在 1985 年给出了一针见血的另一种解释：价差来自逆向选择（adverse selection）——因为总有人比你知道得多，做市商和这些「知情者」做对手盘会亏钱，于是用价差给自己买保险。

本文先用 Glosten-Milgrom（以下简称 G-M）的序贯交易模型，把「报价如何随每一笔订单的信息更新」讲清楚；再补上一层更贴近实盘的现实：库存风险——做市商不是无情的贝叶斯机器，它怕持仓太大，于是报价会随库存整体移动、价差随库存加宽。所有数字和配图都由文末代码真实生成。

一、模型设定：两类交易者 + 一个不知情的做市商#

资产真实价值 V 只有两个可能：V_H=110 或 V_L=90，做市商事先只知道先验概率 π = P(V=V_H) = 0.5。市场里有两类交易者：

知情者（占比 μ=0.4）：确切知道 V，永远朝赚钱方向交易——V=V_H 就买，V=V_L 就卖；
不知情/流动性交易者（占比 1−μ）：买卖各半（δ=0.5），方向纯随机。

做市商只看得到「买」或「卖」这个方向，看不到对方是不是知情者。它要做的是：根据订单方向，用贝叶斯更新对 V 的信念，然后报出一个让期望不亏的买卖价。

二、贝叶斯报价：买单价高、卖单价低#

记 a = P(买 | V=V_H)、b = P(买 | V=V_L)。因为知情者在 V=V_H 时必买、V=V_L 时必卖，而不知情者买卖各半：

a = μ·1 + (1−μ)·δ          # V 高时来买单的概率
b = (1−μ)·δ                 # V 低时来买单的概率
P(买) = a·π + b·(1−π)
π' = a·π / P(买)            # 看到一笔买后，V=V_H 的后验概率

plaintext

对称地可得看到卖单后的后验 π''。做市商的报价就是条件期望：

def make_model(V_H=110, V_L=90, mu=0.4, delta=0.5, gamma=0.05, kappa=0.01):
    def quotes(pi, I=0.0):
        a = mu * 1.0 + (1 - mu) * delta        # P(buy | V=V_H)
        b = (1 - mu) * delta                    # P(buy | V=V_L)
        c = (1 - mu) * (1 - delta)              # P(sell| V=V_H)
        d = mu * 1.0 + (1 - mu) * (1 - delta)   # P(sell| V=V_L)
        p_buy  = a * pi + b * (1 - pi)
        p_sell = c * pi + d * (1 - pi)
        pi_buy  = a * pi / p_buy                # P(V=V_H | buy)
        pi_sell = c * pi / p_sell               # P(V=V_H | sell)
        ask_gm = pi_buy  * V_H + (1 - pi_buy)  * V_L   # 来买单时的期望价值
        bid_gm = pi_sell * V_H + (1 - pi_sell) * V_L   # 来卖单时的期望价值
        nu = pi * V_H + (1 - pi) * V_L                  # 后验均值
        s_info = ask_gm - bid_gm                          # 逆向选择价差
        reservation = nu - gamma * I                      # 库存风险：保留价下移
        spread = s_info + 2 * kappa * abs(I)              # 价差随 |库存| 加宽
        half = spread / 2.0
        return dict(ask=reservation+half, bid=reservation-half,
                    mid=(ask_gm+bid_gm)/2, nu=nu, ask_gm=ask_gm,
                    bid_gm=bid_gm, spread=spread, s_info=s_info)
    return quotes

python

关键点：Ask = E[V | 来了一笔买]，Bid = E[V | 来了一笔卖]。因为买单更可能来自「V 其实很高」的情形，所以 Ask 高于中间价；卖单反之。两者的差，就是逆向选择价差。

三、单笔订单如何移动报价#

代入初始 π=0.5，模型直接给出：

初始：Ask = 104.00，Bid = 96.00，价差 = 8.00，中间价 = 100.00；
来一笔买：后验 π → 0.700，新 Ask = 106.90，中间价上移到 104.00；
来一笔卖：后验 π → 0.300，新 Bid = 93.10，中间价下移到 96.00；
连续两笔买：π → 0.927，中间价 → 106.90；连续两笔卖：π → 0.073，中间价 → 93.10。

单笔买/卖后买/卖/中间价如何移动

这张图把机制钉死了：买单价整体抬高、卖单价整体压低，中间的裂口就是做市商为「可能被知情者剥削」付的保费。只要有知情者（μ>0），这个裂口就存在；若 μ=0（全是随机流动性），买和卖的条件期望相等，价差归零——这正是 G-M 的核心结论：价差 = 信息不对称的价格。

四、序贯更新：中间价如何收敛到真实价值#

把上面的单步更新串成一条交易流：每一笔订单后，做市商更新 π，再据新 π 报下一笔价。下面模拟 400 笔、真实价值固定 V=110（知情者因此永远买）的情形：

def simulate(V_true, n_trades=400, pi0=0.5, mu=0.4, delta=0.5,
             gamma=0.05, kappa=0.01, seed=20260712):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    Q = make_model(mu=mu, delta=delta, gamma=gamma, kappa=kappa)
    pi, I = pi0, 0.0
    mids, invs, pis = [Q(pi, I)["mid"]], [I], [pi]
    for _ in range(n_trades):
        if rng.random() < mu:                      # 知情者
            side = "buy" if V_true == 110 else "sell"
        else:                                       # 不知情者
            side = "buy" if rng.random() < delta else "sell"
        q = Q(pi, I)
        if side == "buy":
            pi, I = q["pi_buy"], I - 1.0           # 做市商卖出 => 库存 -1
        else:
            pi, I = q["pi_sell"], I + 1.0          # 做市商买入 => 库存 +1
        mids.append(q["mid"]); invs.append(I); pis.append(pi)
    return np.array(mids), np.array(invs), np.array(pis)

python

结果（真实 V=110）：

末后验 π = 1.000，信息中间价（后验均值 ν）收敛到 110.00，恰好等于真实价值；
但做市商库存：均值 −67.2，标准差 34.3，min −128，max 0。

序贯交易：中间价收敛到真实 V，做市商被逆向选择成净空头

两条线讲了一个完整的故事：上面，随着知情买盘持续涌入，做市商不断上调对 V 的信念，中间价平滑地爬向 110——价格发现发生了。下面，因为买多卖少，做市商一直在「卖」，库存滚成了深度净空头。这就是逆向选择的真实代价：你正确地更新了价格，却被知情者「跑在前面」，账户上留下一堆不想持有的头寸。

五、库存风险：报价随持仓整体下移、价差随库存加宽#

纯粹贝叶斯做市商有个不现实的假设：它对所有库存水平一视同仁。真实做市商有风险约束——持仓越大，越怕再来一笔同向单把它打爆。Avellaneda-Stoikov 式的处理是引入保留价格（reservation price）：

r(I) = E[V] − γ·I

plaintext

γ 是库存厌恶系数。库存 I 为正（多仓）时，保留价格下移——做市商不那么想再加仓了；报价以 r(I) 为中心、再叠加逆向选择半价差。同时，为承担库存风险，价差额外加宽 2κ|I|：

reservation = nu - gamma * I            # 库存越大，保留价越低
spread = s_info + 2 * kappa * abs(I)   # 库存越大，价差越宽
half = spread / 2.0
ask = reservation + half
bid = reservation - half

python

代入参数（γ=0.05, κ=0.01）：

库存 +20 时，中间价整体下移 1.00 点（不愿再加仓）；
库存 |I|=20 时，价差在 8.00 的基础上额外加宽 0.40 点（为库存风险收费）。

库存风险：价差随 |库存| 加宽、中间价随库存下移

这张图把「库存风险」量化了：左轴是价差，纯逆向选择部分（8.00）是水平的底线，往上翘的是库存风险溢价；右轴是中间价，随库存增大整体下沉。它解释了实盘里一个常见现象——做市商在积累了大量多仓后，会主动把报价压低来劝退买家、吸引卖家，从而自我去库存；反之亦然。

六、真实陷阱（模型与现实的鸿沟）#

两值假设太粗：真实价值是连续的，G-M 用两值只为闭式可解。连续值下要换成连续先验 + 似然，结论（价差=逆向选择）不变，但报价公式要重做。
κ、γ 不是白来的：正文为演示取了常数。实盘里它们来自做市商的风险预算与库存约束，应随账户规模、波动率动态调整，而非写死。
「知情者永远正确」是理想：真实知情者也有信息误差、也有仓位限制。一旦知情者会错，做市商的贝叶斯更新会系统性偏误。
忽略了竞争：G-M 是单一垄断做市商。多做市商竞争会把价差压到接近零（只留手续费/库存成本），此时价差更多反映库存与执行成本，而非纯信息不对称。
订单流不是 i.i.d.：真实里买卖有自相关、有批量、有算法刷单。序贯独立假设下得出的「平稳价差」在闪崩/事件时会瞬间撕裂——这时 VPIN 之类的订单流毒性指标才是真正该看的。
库存会触发强平：模型里库存可以无限滚到 −128。实盘有保证金和止损，库存到阈值会被强制平仓，那时「平滑去库存」变成「踩踏平仓」。

七、结论#

Glosten-Milgrom 用最少的假设讲清了一件事：买卖价差首先是信息不对称的保险费，而不是做市商的暴利。一笔买单推高报价、一笔卖单压低报价，中间的裂口就是做市商为「可能正在和知情者对手交易」付的代价；随着订单流累积，中间价收敛到真实价值，价格发现完成。

但纯贝叶斯做市商不懂害怕。加上库存风险后，报价不再只是信息的函数，也是持仓的函数：库存越大，保留价格越低、价差越宽——做市商用这两条把手，一边定价信息、一边管理风险。理解这两层（逆向选择 + 库存），才算真正看懂了做市商屏幕上的那串买卖价。

完整可复现代码（含 G-M 贝叶斯报价、单步更新、序贯模拟、库存风险扩展、三张配图）已随本文生成脚本一并运行，所有统计数字均来自该脚本的真实输出。